1、解析幾何求軌跡方程的常用方法求軌跡方程的一般方法：1. 定義法：如果動點P的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。 2. 直譯法：如果動點P的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數，分別建立P點坐標x，y與該參數t的函數關系xf（t），yg（t），

2、進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）0。 4. 代入法（相關點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（x，y），用（x，y）表示出相關點P的坐標，然后把P的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。5：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數，也可直接消去參數得到軌跡方程），該法經常與參數法并用。一：用定義法求軌跡方程例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C

3、 為動點，且滿足求點C的軌跡。例2： 已知中，、的對邊分別為、，若依次構成等差數列，且，求頂點的軌跡方程.【變式】：已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。【變式】：C：內部一點與圓周上動點Q連線AQ的中垂線交CQ于P，求點P的軌跡方程.二：用直譯法求軌跡方程例3：一條線段兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，且BM=a，AM=b，求AB中點M的軌跡方程？【變式】: 動點P（x,y）到兩定點A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？三：用參數法求軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數，求出參數方程，最后消參，化為普通方程。注

4、意參數的取值范圍。例4過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程。例5: 過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程.【變式】過圓O：x2 +y2= 4 外一點A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。四：用代入法求軌跡方程 例6. 軌跡方程。yQOxNP例7: 如圖，從雙曲線上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程.【變式】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 五、用交軌法求軌跡方

5、程例8.已知橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2，求A1P1與A2P2交點M的軌跡方程.xA1A2OyNMP例9： 如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，為雙曲線的左、右頂點，求直線與的交點的軌跡方程，并指出軌跡的形狀.六、用點差法求軌跡方程例10. 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；課后作業1.在中，B，C 坐標分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，則點A的軌跡方程是_.2.兩條直線與的交點的軌跡方程是 _ .3.已知圓的方程為(x-1)2+y

6、2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是 _4.當參數m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為_。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為_。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_7.拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程。8.已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程。9.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。10、已知定點A ( 3, 0 )，P是圓x 2 + y 2 = 1上的動點，AOP的平分線交AP于M

7、，求M點的軌跡。11、已知常數，經過定點以為方向向量的直線與經過定點，且以為方向向量的直線相交于點，其中 求點的軌跡的方程，它是什么曲線； 若直線與曲線相交于兩個不同的點、，求曲線的離心率的范圍12、過點，作直線l交雙曲線于A、B不同兩點，已知。（1）、求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（2）、是否存在這樣的直線，使若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。補充例題：1.過拋物線 y 2 = 4 p x ( p 0 )的頂點作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點O在直線AB上的射影M的軌跡。2.已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，F1PF2的外角平分線為l

8、，點F2關于l的對稱點為Q，F2Q交l于點R (1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設點R形成的曲線為C，直線l y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當AOB的面積取得最大值時，求k的值 POx yABCD圖11-5-13如圖11-5-1，已知圓： 點，為圓上任意一點，直線與垂直，并交圓于另一點. （1）求證：； （2）若點在線段上，且，求點的軌跡方程.求軌跡方程的常用方法 答案CByxOA例1：由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）。例2：解：如右圖，以直線為軸，線段的中點為原點建立直角坐標系. 由題意，構成等差數列，

9、即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，故的軌跡方程為.【變式】解：設動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程例3： 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P的軌跡方程？解 設M點的坐標為 由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點的軌跡是

10、以O為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了OM=這一等量關系是此題成功的關鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設中的已知等量關系：若動點的規律由題設中的已知等量關系明顯給出，則采用直接將數量關系代數化的方法求其軌跡。2）列出符合題設條件的等式：有時題中無坐標系，需選定適當位置的坐標系，再根據題設條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運用有關公式：有時要運用符合題設的有關公式，使其公式中含有動點坐標，并作相應的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關定理和性質：有時動點規律的數量關系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關定理、性質、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等等，從而分

11、析出其數量的關系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.【變式2】: 動點P（x,y）到兩定點A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數，求出參數方程，最后消參，化為普通方程。注意參數的取值范圍。例4 【解析】分析1：從運動的角度觀察發現，點M的運動是由直線l1引發的，可設出l1的斜率k作為參數，建立動點M坐標（x，y）滿足的參數方程。解法1：設M（x，y），設直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的

12、中點， 消去k，得x2y50。 另外，當k0時，AB中點為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當k不存在時，AB中點為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2：設M（x，y），連結MP，則A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB為直角三角形化簡，得x2y50，此即M的軌跡方程。分析3：設M（x，y），由已知l1l2，聯想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事

13、實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標之間的聯系。解法3：設M（x，y），M為AB中點，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點P（2，4），且l1l2 PAPB，從而kPAkPB1， 注意到l1x軸時，l2y軸，此時A（2，0），B（0，4） 中點M（1，2），經檢驗，它也滿足方程x2y50 綜上可知，點M的軌跡方程為x2y50。【點評】1） 解法1用了參數法，消參時應注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運用了kPAkPB1，這些等量關系。用參數法求解時，一般參數可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數量，直線的斜率，點的橫，縱坐標等。也可以沒有具體

14、的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響例5: 解：設，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線OA的方程為，由解得，即，同理可得.由中點坐標公式，得，消去，得，此即點的軌跡方程.【變式】過圓O：x2 +y2= 4 外一點A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。解法一：“幾何法” 設點M的坐標為（x,y）,因為點M 是弦BC的中點，所以OMBC, 所以|OM | | ，即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化簡得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點的橫坐標為1，所以點M的軌跡方程為 （x2）2+ y2

15、=4 （0x1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內的部分。解法二：“參數法” 設點M的坐標為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由點M為BC的中點，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以點M的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程 例6. 軌跡方程。 分析：

16、題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規律的，顯然M的運動是由B的運動而引發的，可見M、B為相關點，故采用相關點法求動點M的軌跡方程。 【解析】設動點M的坐標為（x，y），而設B點坐標為（x0，y0） 則由M為線段AB中點，可得 即點B坐標可表為（2x2a，2y）yQOxNP 【點評】代入法的關鍵在于找到動點和其相關點坐標間的等量關系例7 如圖，從雙曲線上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程.解：設，則.在直線上， 又得即.聯解得.又點在雙曲線上，化簡整理得：，此即動點的軌跡方程.【變式】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A

17、、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 【解析】： 設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 用交軌法求軌跡方程 例9

18、解：設及，又，可得直線的方程為；直線的方程為.得. 又，代入得，化簡得，此即點的軌跡方程. 當時，點的軌跡是以原點為圓心、為半徑的圓；當時，點的軌跡是橢圓.六、用點差法求軌跡方程例10.分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）課后作業：【正確解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。軌跡方程里應除去點，即軌跡方程為2.兩條直線與的

19、交點的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是 .【解答】:令M點的坐標為(,則A的坐標為(2,代入圓的方程里面得:4:當參數m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為【分析】：把所求軌跡上的動點坐標x，y分別用已有的參數m來表示，然后消去參數m，便可得到動點的軌跡方程。【解答】：拋物線方程可化為它的頂點坐標為消去參數m得：故所求動點的軌跡方程為。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為【分析】：點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點M到點F（4，0

20、）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M的軌跡方程。【解答】：依題意，點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點M的軌跡是以F（4，0）為焦點、為準線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_【分析】:設動點為P，由題意，則依照點P在運動中所遵循的條件，可列出等量關系式。【解答】：設是所求軌跡上一點，依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程。【分析】：拋物線的焦點為。設ABC重心P的坐標為，點C的坐標為。其中【解答】：因點是重心，則由分點坐標公式得：即由點