1、§57導數的概念及導數的幾何意義【考點及要求】了解導數的概念，理解導數的幾何意義，通過函數圖象能直觀地理解導數的 幾何意義。【基礎知識】1 . 一般地，函數 f (x)在區間x1,x2上的平均變化率為，平均變化率反映了函數在某個區間上平均變化的趨勢(變化快慢)，或說在某個區間上曲線陡峭的程度；2 .不妨設P(xi, f (Xi),Q(Xo, f(xo),則割線PQ的斜率為，設X1 X0=4X,則xi =Ax+ xo,kpQ ,當點P沿著曲線向點 Q無限靠近時，割線 PQ的斜率就會無限逼近點 Q處切線斜率，即當*無限趨近于0時，kPQ f(Xo X)"丸)無 PQX限趨近點Q

2、處切線。3.曲線上任一點(xo, f(xo)切線斜率的求法:f(XoX)f (Xo) x無限趨近于o時，k值即為(Xo, f(xo)處切線的，記為.4.瞬時速度與瞬時加速度： 位移的平均變化率：s" H，,稱為；當無限趨近于 o時, tt=to時的；速度的平均變化率:迎一t) S(to)無限趨近于一個常數,這個常數稱為 t"0t) v(to),當無限趨近于 o時，"0 v(to)無限趨近于一個常數,這個常數 tt稱為t=to時的.【基礎練習】2 ,1 .已知函數f (x) ax在區間1,2上的平均變化率為，則f (X)在區間-2,-1上的平均變化率為.2 . A、

3、B兩船從同一碼頭同時出發，A船向北，B船向東，若A船的速度為3okm/h,B船的速度為4okm/h,設時間為t,則在區間t 1,t 2上,A,B兩船間距離變化的平均速度為 【典型例題講練】例1 ,已知函數f(x)=2x+1,分別計算在區間-3, -1, 。, 5上函數f(x)的平均變化率;.探求一次函數y=kx+b在區間m, n上的平均變化率的特點；練習：已知函數f(x)=x2+2x,分別計算f(x)在下列區間上的平均變化率；1 , 2;3, 4;1, 1;2, 3【課堂檢測】1.求函數y f (x)在區間1,1 +*內的平均變化率2.試比較正弦函數 y=sinx在區間 0,- 和 , 上的平

4、均變化率，并比較大小。63 2§58導數的概念及導數的幾何意義【典型例題講練】例2.自由落體運動的物體的位移s (單位：s)與時間t (單位：s)之間的關系是：s(t)= gt2(g2是重力加速度),求該物體在時間段tl, t2內的平均速度；1 C練習：自由洛體運動的位移s(m)與時間t(s)的關系為s= - gt 2求t=t0s時的瞬時速度；(2)求t=3s時的瞬時速度；(3)求t=3s時的瞬時加速度；例3.已知f(x)=x2,求曲線在x=2處的切線的斜率。練習：1.曲線y=x3在點P處切線余率為k,當k=3時,P點的坐標為 .2.若曲線y x4的一條切線與直線 x 4y 8 0垂

5、直，則的方程為.1 21 33.曲線y 2 x2與y - x3 2在交點處切線的夾角是 .2 43 1 24.已知函數f(x) 2x-xm (為常數)圖象上處的切線與x y 3 0的夾角為，則點的2橫坐標為.5,曲線y=x3在點(1, 1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為 .36.過曲線y x x 1上一點P的切線與直線y 4x 7平仃，則P點的坐標為.1 例4.求f (x) 一過點(1,1)的切線方程 x練習：過點 P( 1,2)且與曲線 y 3x2 4x 2在點M (1,1)處的切線平行的直線方程是_【課堂小結】 【課堂檢測】1 .求曲線yx33x21在點(1, 1)處的切

6、線方程.一一一 .3.2.一一一.2 .已知函數f (x) x bx ax d的圖象過點 P (0, 2),且在點 M( 1, f ( 1)處的切線方程為6x y 7 0.求函數y f(x)的解析式；3 .已知曲線f(x) 我上的一點P(0,0)的切線斜率是否存在？說明理由 【課堂作業】1.與直線y 4x 1平行的曲線y x3 x 2的切線方程是_1 一 1 ,2 .設曲線y=-2和曲線y= 一在匕們交點處的兩切線的夾角為，則 tan的值為.xx3 .若直線y=是曲線y x3 3x2 ax的切線，則a =.4 .求曲線y x(x 1)(x 2)在原點處的切線方程§59導數的運算(1)

7、【考點及要求】理解導數的運算，能根據導數的定義，求函數y c, y x, y x2, y1的x導數；能利用導數數公式表和導數的四則運算法則求簡單函數的導數。【基礎知識】1.基本初等函數的求導公式：(C) (x ),(“ 為常數)；(ax), (a 0,a 1)(logax) =, (a 0,a 1)；注：當 a=e 時，(ex), (Inx),(sinx) , (cosx) ；2.法則1兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的，即'u(x) v(x)法則2常數與函數的積的導數，等于常數與函數的法則3兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二

8、 個函數的導數，即(u(x)v(x) 法則4兩個函數的商的導數，等于，即%(V(x) 0) .【繚礎練習】1 .求下列函數導數.(1) yx 5(2)y4x0, a 0, a,x 1) 1，(4)ylog3x (5)y1(x10gx(一)a(6) y=sin( - +x)【典型例題講練】(7) y=sin 3(8) y=cos(2 兀一x) (9) y= f (1)例1求下列函數的導數,.、32(1) y x sinx；(2)y (2x3)(3x 2)；(兩種方法)2(3) y 5x10 sin x 2-Tx cosx 9； (4) y=;.sin x(2)求 y= cosx的導數.x 3練習

9、：(1)求y=-在點x=3處的導致.x2 3(3).4 x3,，求y=-的導數.x cosxx(4) .求y 3 xlnx的導數.【課堂檢測】f (x) x(x k)(x 2k)(x3k),且 f (0) 6,則;x 2yFi(4)y=1 cosx2.求下列函數的導數:3 x(1) y= x 5(3)y= (4 x3 In x)(cos x sin x)§60導數的運算(2)例2.求滿足下列條件的函數f(x) f(x)是三次函數，且 f(0) 3, f '(0) 0, f '(1)3, f '(2) 0(2) f'(x)是一次函數，x2f'(x

10、) (2x 1)f (x) 1練習：已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象過點P(0,2),且在點M處(-1 ,f(-1)處的切線方程為6x-y+7=0 ,求函數的解析式例3.已知點P在函數y=cosx的圖象上(0W xw 2兀)，在點P處的切線斜率大于 0,求點P的橫坐標的 取值范圍.53x ax2練習：已知函數 f(x) a (a 3)x a ,且對 x R, f (x) 0,53求證： 3 a 61例4.右直線y x b為函數y 圖象的切線，求b的值和切點坐標.練習：1.求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程；2,求曲線y=x2過點(0,-1)處的切線方程；3,已知直線y x

11、1,點P為y=x2上任意一點，求P在什么位置時到直線距離最短； 【課堂小結】【課堂檢測】1 .已知函數 f (x)ax33x2 2, f "(-1)=4 ,則 a=.2 .過拋物線y x2上的點M (工，)的切線的傾斜角是.2 4 a -3 .對正整數n,設曲線y xn(1 x)在x= 2處的切線與y軸交點的縱坐標為， 則數列 的 n 1前n項和的公式是.124 .曲線y -和y x2在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 x5,已知曲線y=和這條曲線上的一點P(2,),求曲線y=在點P處的切線方程.【課堂作業】1 .若曲線y=x2- 1與y=1x3在x=x0處的切線互相垂直

12、，則X0等于.2 .求下列函數的導數：y=lg(1+cos2x) (2) y=eXlnx3 .設函數 f(x)=ax3+3x2+2，若 f' ( 1)=4,試求 a 的值.4 .已知拋物線y=ax2+bx+c通過點(1,1),且在點(2,1)處與直線y=x 3相切，求a、b、c的值.運1導數在研究函數性質中的應用【考點及要求】熟練掌握導數在研究函數性質中的應用；通過數形結合的方法直觀了解函數的單調性、極值、最值與導數的關系，會求不超過三次的多項式函數的單調區間，能在指定區間上確定不超過三次的多項式函數的極值、最值。【基礎知識】1 .用導數的符號判別函數增減性的方法：若 f (x) 0,

13、則函數f(x)為，若f (x) 0,則函數f(x)為；2 .求可導函數單調區間的一般步驟和方法：確定函數f(x)的；求f (x),令f (x) 0,解此方程，求出它在定義域外區間內的一切；把上面的各實根按由的順序排列起來，然后用這些點把函數f (x)的定義區間分成若干個小區間；確定f (x)在各個小區間內白符號，根據f(x)的判斷函數f (x)在每個相應小區間內的增減性；3 .函數極值的定義：設函數f(x)在點附近有定義，如果對附近的所有點，都有f(x) f (Xo)(或f(x) f(x。)，就說f(x0)是函數f(x)的一個極值；和統稱為極值；4 .求可導函數f(x)在a,b上的最大或最小值

14、的一般步驟和方法：求函數f (x)在(a,b)上的值；將極值與區間端點的函數值f(a), f(b)比較，確定最值。【基礎練習】1 .若函數f (x)在區間(a,b)內是一個可導函數，則 f (x) >0是f(x)在區間(a,b)內遞增的條件.2 .如果函數f(x)=x4-8x2+c在-1, 3上的最小值是一14,那么=.33.已知a 0,函數f(x) x ax在1,)是單調遞增函數，則的最大 值是32.24 .函數f (x) x ax bx a在x 1時，有極值10,那么a, b的值為.5 .已知f(x)=ax 36ax2+b在-1, 2上的最大值為3,最小值為一29,則a=.【典型例題

15、講練】例1.已知函數f(x) x3 bx2 ax d的圖象過點P(0,2),且在點M( 1,f( 1)處的切線方程為6x y 7 0.(2)求函數y f (x)的單調區間(1)求函數y f(x)的解析式練習：1.已知函數f(x) x5 ax3 bx 1 ,僅當x= 1及x=1時取得極值，且極大值比極 小值大4,求a、b的值。23 x 2.設f(x) x 2x 5 (1)求函數f(x)的單調遞增、遞減區間；2(2)當xC1, 2時，f(x)vm恒成立，求實數 m的取值范圍。【課堂檢測】1.函數f(x)x3 3x2 1是減函數的區間為 .322 .函數f(x) x ax 3x9,已知f(x)在x3

16、時取得極值，則.3 .函數y4x3 3x2 6x的單調遞減區間為，極大值為，極小值為.4 .已知：f(x)2x36x2a(a為常數)在2,2上有最大值是3,那么2,2在上的最小5 . (1)函數y f(x)的圖象過原點且它的導函數y f(x)的圖象是如圖所示的一條直線，則y f(x)的圖象的頂點在第象限3(2)如果函數f (x) xbx (為常數)在區間(0, 1)內單調遞增，并且f(x) 0的根都在區間2, 2內，那么的范圍是.，一，3_2_ .一、一6.已知函數f(x) x 3x 9x a,(1)求f(x)的單倜遞減區間;(2)若f(x)在區間2, 2上的最大值為20,求它在該區間上的最小

17、值§62導數在研究函數性質中的應用(2)【典型例題講練】例2.已知函數f(x) 2x3 ax與g(x) bx2 c的圖象都過點P(2, 0)且在點P處有相同 的切線.(1)求實數a,b,c的值;(2)設函數F(x) f(x) g(x),求F(x)的單調區間，并指出F(x)在該區間上的單調性練習：已知f(x)是三次函數，g(x)是一次函數，且f(x) - -1 g(x)= - x3+2x2+3x+7 , f(x)在x=1處有極值2,求f(x)的解析式和單調區間。例3.設a為實數，函數f(x) x3 x2 x a.(1)求f (x)的極值.(2)當a在什么范圍內取值時，曲線y f (x)

18、與x軸僅有一個交點.練習：已知向量a (x2,x 1),b (1 x,t),若函數f(x) a b在區間(1,1)上是增函數，求 t的取值范圍.【課堂小結】【課堂檢測】1.函數f (x) x3 ax2 3x 9 ,已知f (x)在x3時取得極值，則=.322.函數f (x) x 3x1是減函數的區間為.3.函數f (x)3ax x 1有極值的充要條件是.4.已知函數y xf (x)的圖象如右圖所示(其中 f '(x)是函數f(x)的導函數)，下面四個圖象中 yf (x)的圖象大致是(2x 2 + mx,1.亞】xFxMnxi-2函數取得極大偵,則m的彳%時, 341-2 -10f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(鏟)僅+5),貝U f' (0)=2.函數f(x) = x2x1D5在區間2, 3上的最大值與最小值分別是.33,已知函數y=- x 22x+3在區間a, 2上的最大值為3-,則a等于.44.設函數y=f(x)是一次函數，已知 f(0)=1 , f(1)= - 3,則該函數的導數f (x)=.5,已知函數y=3x3+2x21在區間(m, 0)上是減函數，則 m的取值范圍是 326.已知x 1是函數f(x) mx 3(m 1)x nx 1的一個極值點m, n R, m 0,(1)求m與n的關系式；(2)求f