1、1利用定積分的定義計算下列積分：（）；【解】第一步：分割在區間中插入個等分點：，（），將區間分為個等長的小區間，（），每個小區間的長度均為，取每個小區間的右端點，（），第二步：求和對于函數，構造和式第三步：取極限令求極限，即得 。【解】第一步：分割在區間中插入個等分點：，（），將區間分為個等長的小區間，（），每個小區間的長度均為，取每個小區間的右端點，（），第二步：求和對于函數，構造和式由于數列為等比數列，其首項為，公比為，可知其前項和為，于是第三步：取極限令求極限，即得 。2利用定積分的幾何意義，證明下列等式：；【證明】定積分的幾何意義是由直線，及軸圍成的三角形的面積，如圖可見 即知，。證畢

2、。；【證明】定積分的幾何意義是由圓弧與軸及軸所圍成的四分之一圓形的面積，如圖可見 。證畢。；【證明】定積分的幾何意義是由正弦曲線在上的一段與軸所圍成的圖形的面積，如圖可見 圖形由兩塊全等圖形組成，其中位于軸下方，位于軸上方，顯見，從而，證畢。【證明】定積分的幾何意義是由余弦曲線在上的一段與軸所圍成的圖形的面積，如左圖所示，為,而定積分的幾何意義是由余弦曲線在上的一段與軸所圍成的圖形的面積，如右圖所示，為,由于曲線關于軸對稱，可知，亦即，即知。證畢。3已知，試用矩形法公式（5.3），求出的近似值（取，計算時取4位小數）。【解】矩形法公式（5.3）為，其中（），而（）為區間的個等分點。于是，在區間

3、插入個等分點，（），對于，求出，（），于是，當時，。4證明定積分性質：；【證明】在區間中插入個等分點：，（），每個小區間的長度均為，對于函數，有： - - 定積分的定義 - - 加法結合律 - 極限運算法則 - 定積分的定義。【證明】在區間中插入個等分點：，（），每個小區間的長度均為，對于函數，構造和式，即由定積分定義得 。再由上的結論，即得。綜上得：，證畢。5估計下列積分的值：；【解】函數在區間上，有恒成立，知在區間上單調減少，于是有，亦即，從而得 ，亦即。；【解】函數，由得，而知，從而，即知，亦即，從而得 ，亦即。；【解】函數在區間上，有恒成立，知在區間上單調增加，于是有 ，亦即 ，整理得

4、 從而得 ，亦即?！窘狻孔⒁獾?，函數在區間上，有，得唯一駐點，無不可導點，對比，知在區間上有，于是有 ，亦即 。6設及在閉區間上連續，證明：若在上，且，則在上；【證明】反證法：設有，使不成立，則由題設在上，不妨設時，于是，由于在上連續，知在上可積，即由曲邊梯形面積定義知，但由于在上，即知在和上，有，于是由定積分性質5.1.4知，有，從而由已知亦即，得到，這與上面的相矛盾，從而假設不成立，即使命題得證成立。若在上，且，則；【證明】由定積分性質5.1.5，若在上，則，因此，下面只須由證明，應用反證法，設，則由的已證命題，由在上，且，則在上，這與已知相矛盾，可知假設不成立，從而命題得證。若在上，且，則在上?！咀C明】設，即由題設得，于是，待證命題轉換成為：在上，且，則在上，而這是已證命題，從而命題得證成立。7根據定積分的性質及上題的結論比較下列各組積分的大小：，；【解】當時，對不等式兩端同乘，得，亦即，即由定積分的性質（推論5.1.1）得 。，；【解】令，即有，易見當時，成立，知函數在上單調增加，又因，知當時，有，亦即當時，成立，即由定積分的性質（推論5.1.1）得 。，；【解】令，即有，由于是增函數，由得，