1、第2章光波在自由空間和波導中的傳播內容提要：光的傳播是光電信息系統研究的基本問題之一，也是光能夠記錄、存儲、處理和傳送 信息的基礎。為了解釋光在光電器件之間傳播現象，需要研究光在自由空間和波導中傳播 的行為。本章首先介紹平面波角譜的概念，并從角譜的傳播導出光在自由空間傳播的規律；同時利用光的直線傳播和波動理論，介紹光在波導中的傳播行為。2.1 球面波和平面波的復振幅表示我們知道，光是電磁波，求解 (1.10)和(i.ii)關于電磁波傳播的波動方程，可以準確解 決光的傳播問題。衍射是光波動傳播過程的普遍屬性，是光具有波動性的具體表現。電磁 波是矢量波，精確解決光的衍射問題，必須考慮光波的矢量性。

2、用矢量波處理衍射過程非 常復雜，這是因為電磁場矢量的各個分量通過麥克斯韋方程聯系在一起，不能單獨處理。 但是，在光的干涉、衍射等許多現象中，只要滿足：(1)衍射孔徑比波長大得多；(2)觀察點離衍射孔不太靠近。把光作為標量處理的結果與實際極其接近。因此，這里只討論光的 標量衍射理論。從光場的分解可知，任何復雜的波都可以用球面波或平面波的線性組合來表示，球面 波和平面波都是波動方程的基本解。因此，可將平面波作為基元函數來描述衍射現象，這 就是研究平面波衍射的角譜方法。2.1.1球面波的復振幅表示球面波是波動方程的基本解。從點光源發出的光波，在各向同性介質中傳播時形成球 形的波面，稱為球面波。一個復

3、雜的光源常常可以看做是許多點光源的集合，它所發出的 光波就是球面波的疊加。這些點光源互不相干時是光強相加，相干時則是復振幅相加。因 此，研究球面波的復振幅表示是很重要的。球面波的等相位面是一組同心球面，每個點上 的振幅與該點到球心的距離成反比。如圖2.1所示，位于平面任意點 S(Xo,y°,z°)的單色發散球面波在光場中任何一點P (x, y , z)產生的復振幅可寫做U (P)二玉ejkr(2.1)r式中，a0為離開點光源單位距離處的振幅；r為觀察點P(x, y, z)離開點光源的距離。r =( x -x。)2 (y -y。)2 (z -z°)21/2對于會聚球

4、面波，則有U (P)二屯e-j kr(2.2)r光學問題中所關心的是特定平面上的光場分布，例如，衍射場中的孔徑平面和觀察平 面，成像系統中的物面和像面等。因而光波在某一特定平面上產生的復振幅分布具有重要 意義。在圖2.1中，點光源位于X。_y°平面上S(x0, y0)點，考察與其相距z(z>0)的x _ y平 面上的光場分布，r可寫為2 2r 二z (x X。)當x-y平面上只考慮一個對f22(X X。)+(y y。) (y - y。)= z 1S點張角不大的區域時，取 r的一階近似(2.3)31 # 2 2(2.4)(XX。)+(y y。) r : z亠2z將式(2.4)代入

5、式(2.1)，因為所考慮的區域相對z很小，各點的光振動的振幅近似相等。式2 n(2.1)中分母上的r可用z近似，但在指數函數上的相位因子中，由于光的波長極短，k=-數值很大，近似式(2.4)中第二項不能省略。因此，發散球面波在X-y平面上產生的復振幅分布為a0f k2 丄21U (X, y) exp( jkz)exp j ( x x。)(y y。)(2.5)zI 2zJ在式(2.5)中，exp(j kz)是常量相位因子；隨x-y平面坐標變化的項f k22 丨exp j(x-x。) (y-y。)為球面波的(二次)相位因子。當平面上復振幅分布的表達z式中包含有這種因子時，一般就可以認為距離該平面z

6、處有一個點光源發出的球面波經過這個平面。x-y平面上等相位線方程為2(X - X。)2-(y - y°)(2.6)式中，C表示某一常量。不同 C值所對應的等相位線構成一個同心圓族，它們是球形波面 與x-y平面的交線。相位值相差2 n的同心圓之間的間隔由下式決定(2.7)2 2C1 C 2 (C1 C 2)(C1 -C2) = 2.；.z因此同心圓族由中心向外愈來愈密集。當光源位于xo-yo平面的坐標原點時，在傍軸近似下，發展球面波在x-y平面上的復振幅分布為a。U (x, y) exp( j kz) expzj上(x IL 2z(2.8)33 # a。k若z<0,上式也可以用來

7、表示會聚球面波，或者寫做(2.9)(x2 - y2)它表示經過x-y平面向距離|z|處會聚的球面波在該平面產生的復振幅分布。2.1.2平面波的復振幅表示2 n -如圖2.2所示，波矢量k表示光波的傳播方向，k i cost j cos “ cos 。在任意時刻，與波矢量相垂直的平面上振幅和相位為常數的光波稱為平面波。圖2.2平面波在x-y平面上的等相位線若空間某點P(x, y, z)的位置矢量為r,則平面波傳播到P點的相位為k r，該點復振幅的一般表達式為U (x, y, z )= a exp(j k r)= a expj k(xcos 士+ ycos : + zcos )(2.10)當觀察面

8、已定，Z變為常數時，式(2.10)可表示為# U (x, y, z) = a exp( j kz Ji -cos 2 a -cos ? B ) x exp j k(x cos a + y cos B)(211)(2.11丿=A exp jk(x cos 二 亠 y cos I'1)于是復振幅可寫為U (x, y) = A exp j k(x cos :：£ 亠 y cos)(212)式(2.12)表征了與z軸垂直并距原點z處的任一平面上平面波的復振幅分布。上式右邊可分成與(x, y)坐標有關的exp jk (x cos .：； y cos )和與(x, y)坐標無關的A兩部分

9、。前者是 表征平面波特點的特征相位因子，當平面上復振幅分布的表達式中包含有這種因子時，即 表明有一個方向余弦為cos 、cos的平面波經過這個平面；后者即 A的模是個常數，不像球面波的模與距離成反比。A的幅角則與z坐標成正比。平面波等相位線方程為xcos 二亠 ycos ： =C(2.13)式中，C表示某一常量。不同C值所對應的等相位線是一些平行直線。圖2.2中用虛線表示出相位值相差2 n的一組波面與x-y平面的交線，即等相位線。它們是一組平行等距的斜直線。由于相位值相差2 n的點的光振動實際相同，所以平面上復振幅分布的基本特點是相位值相差2 n的周期性分布。這是平面波傳播的空間周期性特點在x

10、-y平面上的具體表現，也是下面將要提出的平面波空間頻率概念的基礎。2.2 平面波的角譜及角譜的傳播2.2.1平面波的空間頻率在單色平面波中，引入與傳播方向有關的量cos Gcos Pcos '<fx , fy , fz (2.14a)/u/u/u平面波的復振幅的一般表達式變為U ( x, y, z) = a exp( j k r) = aexpj k(xcos _："ycos : + zcos )(2.14b)二 a exp j2 Mxfx ' yfy ' zf z)式(2.14a)定義的fx,fy,fz為平面波在x,y,z方向上的空間頻率。 可見，空間

11、頻率與平面波 有一定的聯系，如圖 2.3所示，一平面波的波矢量為 k,時間頻率為，其等相位面為平面，并與波矢量k垂直。圖中畫出了由原點起沿波矢量方向每傳播一個波長周期性重復出現的兩個等相位面。相鄰兩等相位面與x、y、z軸的兩交點距離分別為X,丫二一，Z (2.15)COS ：COS Icos由式(2.15)可知，空間頻率表示在 x、y、z軸上單位距離內的復振幅周期變化的次數。這就是平面空間頻率的物理意義。1 -V4 AoA35 # 圖2.3 傳播矢量k位于xo-z平面的平面波在x-y平面上的空間頻率空間頻率的意義可總結如下：(1) 對于一列平面波而言，它的空間頻率是一個常數，其大小由平面波的傳

12、播方向決 定。因此，“單頻信號”與一列平面波相對應。(2) “多頻信號”代表各個方向的不同的平面波的組合，對于單色波，空間頻率與平面波的方向余弦是對應的，因而多頻信號(復色信號)可視為方向不同的多個平面波的疊加。空間頻率不同的平面波對應不同的傳播方向，傳播方向與空間頻率對應。由于空間頻率與平面波方向相聯系，即與角度有十分密切的關系，所以空間頻率可稱 為角頻率”。如果光沿一個平面如 x-z傳播，a =90 : fx =0，對應“零頻”，即光波 沿z軸方向傳播；二越大，意味著fx越小，稱為“低頻” ；：越小，f x越大，稱為“高頻”； 當=0時，即波沿x軸方向傳播，此時fx =1/ ,稱為極限高頻

13、(見圖2.4)。©圖2.4空間頻率與傳播方向的關系(3) 光柵線密度越小，則一級衍射平面波的空間頻率越低。當平面波垂直入射到平面光柵上時，產生的多級平面衍射波具有不同的傳播方向。由光柵方程dsin壬k'可知，對于同樣波長而言，光柵常數d越大則一級衍射波的衍射角越小，由此可知光柵線密度越小則一級衍射平面波的空間頻率越低。一個普通光學圖像可視為由多種空間頻率的光信號組合而成，低頻分量反映圖像的宏 觀結構，高頻分量則反映圖像的精細結構，也就是圖像的細節。空間頻率的量綱是長度單位的倒數，通常取cm-1或mm-1。222平面波的角譜及其物理解釋平面上任意一個單色光場函數都可以分解成無窮

14、多個具有不同傳播方向、不同振幅的平面波加權的線性組合，沿不同方向傳播的平面波具有不同的空間頻率。回顧上章二維傅 立葉變換的定義，對平面上任意一個單色光場函數可做空間二維傅立葉變換，可知，平面波U (x, y, z) =aexp j2 Tt(xfx - yf y zf z)就是二維傅里葉變換的核。將平面上任意一個單色光場函數分解成不同空間頻率的平面波，這就是平面波的空間頻譜即角譜。角譜的數 學推導如下：設有一單色光波沿 z方向投射到x-y平面上，在z處光場分布為 U(x, y, z)，則函數U(x, y, z)在x-y平面上的二維傅里葉變換是A( fx，fy,z)二 U (x, y,z)exp

15、_j2 冗(xf x yf y)d xdy(2.16)-oO(2.17)這就是光場復振幅分布U(x, y, z)的角譜。同時有逆變換為U (x, y,z)二 A( fx, fy,z)exp j2 Tt(xfx - yf y)d xdy-oaCOS 二COS :,x, fy的U(x, y, z)可理解為不同空間頻率的一系列基元函數exp j2冗(xfx - yfy)的和，其疊加權重為A( fx, f y, z)。由式(2.17)可以看出，基元函數就是空間頻率為f平面波。權重因子 A(fx, fy,z)為該方向平面波即該空間頻率平面波的復振幅。因此，式(2.17)說明，單色光波在某一平面上的光場分

16、別可以看做是不同傳播方向的平面波的疊加， 在疊加時各平面波有自己的振幅和 相位，它們的 值分別為角譜的 模和幅角。因 為,cosaco sP“fx, fy，貝U A( fx , fy ,z)也可利用萬向余弦表示為：U(x,y,z)exp -j2 n 汪COSCOS :A, zcos 用 cos !：'xy dxdy (2.18)農刀由(2.18)可以看出，空間頻譜COS -： cos A,-,z i是以平面波傳播方向的角度的余弦為自37 # 變量，因此將其稱做角譜。# 223平面波角譜的傳播1.平面波角譜傳播的推導研究角譜的傳播就是要找到z=0平面上的角譜'cos acosp

17、,0 1和I k九Jz=z平面上的Acos 篇 cos(x, y)平面平行且離它距離為z的平面上的光場的復振幅分布的角譜。根據式(2.17)，圖2.5中z=0平面上的光場分布U (x, y, z)可以分別表示如下U o (x, y, 0)和z = z平面上的光場分布oOU°(x,y,0) = A 二一,.：.'cos cos I：“，,0Fxpj2 trcos - cos x -cos :-(2.19)qQU (x, y, z)二 A-oO 'COScos -,zcoscos鄧 _j2 n x d Ico(2.20)39 # 在所有的無源點上，u (x, y, z)必

18、須滿足c 2 k2)U =0(2.21)將式(2.20)代入式(2.21)表示亥姆霍茲方程，改變積分與微分的順序，注意到角譜A co», co*l, z i僅是z的函數，而復指數函數中不含z變量，可以導出Acos -z必須滿足的微分方程# 2 ddz,z k2 (1 - cos2 ： - cos2 |:，) Acos : COS | ：',z =0(2.22a)該二階常微分方程的一個基本解是A COS a''cos aCOS 1 exp( jkz.1-COS 二COS 2 -)# # 式中，c'CO浮，CO蘭 由初始條件決定。z=0平面上的角譜為A _

19、co_,_c°., 0 j,因 (丸 九丿I丸 九 丿而有''cos a''cos a# # 最后得到cos 用 cosA-COS 二 COS 2:)COSCOS :,0 exp( j kz(2.22b)# # 這是一個十分重要的結果，它給出了兩個平行平面之間角譜傳播的規律。在由已知平cos a COS B I面上的光場分布Uo(x, y, 0)得到其角譜A COS , COS ,0 I后,可以利用式(2.22b)求出它傳播到z=z平面上的角譜 A C叱，°蘭，z I再通過傅里葉逆變換求出其光場分布U (x, y, z)。角譜的傳播公式(2.

20、22b)表明，當方向余弦滿足COS Jcos? ： : 1時，平面波傳播一段距離距離z的效應只是改變了各個角譜分量的相對相位。這是由于每個平面波分量以不同方向傳播，它們到達給定的點所經過的距離不同，引入一個相位延遲因子exp對于COS用' COS " ： 1的情況，不能將COS -：i、COS ：解釋為方向余弦。由于c o S、； c o s !'10是場分布的傅立葉變換，而孔徑平面上對場施加了邊界條件即卷積,因此可能出現滿足 cos S cos .1的情況，這時，式(2.22b)中的平方根是虛數，于是公式變成COSCOS :,Z = ACOSCOS :,0 exp(

21、-z)(2.23)式中，=k . cos 2 二cos 2 I，. 1。由于是正實數，式(2.23)說明，一切滿足cos - cos 1的波動分量，將隨 z的增大而按指數衰減，在幾個波長的距離內很快衰減到零。對應于這些傳播方向的波動分 量稱為倏逝波，它們與在截止頻率以下驅動的微波波導中所產生的波非常相似。在滿足標 量衍射理論近似的情況下忽略不計。對于cos二：cos 2 - = 1，即cos =0的情況，波動分量的傳播方向垂直z軸，它在Z軸方向的凈能量流為零。2.在空間頻域平面波的傳播現象等效于對光波做空間濾波”cos acos p令fx =， fy =，把式(2.22b)改寫為A(fx，fy

22、)"。"，fy)H (fx，fy)(2.24)如果將 A( fx , fy)二 Acos ： cos :,z 和 A°(fx, fy) =A壬，心，0分別看做一個線性不變系統的輸出和輸入函數的頻譜，系統在頻域的效應可由傳遞函數表征為H(fx, fy)A( fx,fy)A°( fx，fy): 2 2exp jkz 1 一(匚)-(- fy)(2.25)41 # 2 2 1 f fxy2h其他(2.26)在滿足標量衍射理論近似條件情況下，倏逝波可忽略不計，因而傳遞函數可表示為exp jkz J (九 fx/ (九 fy),H ( fx, fy )二0公式(2

23、.26)表明，可以把光波的傳播現象看做一個空間濾波器。如圖2.6所示，在頻譜面上半徑為1/的圓形區域內，傳遞函數的模為1，對各頻率分量的振幅沒有影響，但要引入與頻率有關的相移。在這一圓形區域外，傳遞函數為零。由此可知，對空域中比波長還要小 的精細結構，或者說空間頻率大于 1/'的信息，在單色光照明下不能沿 z方向向前傳遞。光 在自由空間傳播時，攜帶信息的能力是有限的。圖2.6傳播現象的有限空間帶寬224衍射孔徑對角譜的效應假設在z=0平面處有一無窮大的不透明屏，它包含衍射結構，即開一孔a，現在研究該衍射屏幕對光波擾動的角譜的影響。定義該孔的透過率函數為Ut(x,y,O)1 (x,y)在

24、瓦t(x,y) t(2.27)U i(x,y,0)0 其它這里，沿z方向傳播的光波入射到該孔徑上的復振幅為Ui(x, y, 0)，則緊靠孔徑后的平面上出射光場的復振幅Ut(x, y, 0)為(2.28)U t(x, y,0) =U i (x,y,0)t(x,y)對上式兩邊做傅里葉變換，并利用傅立葉變換的卷積性質，角譜可表示為'COS GAt ''cos a''cos a(2.29)式中，T COL, CO-為孔徑函數的傅里葉變換。由于卷積運算具有展寬帶寬的性質，因此，弓I入使入射光波在空間上受限制的衍射孔 徑的效應就是展寬了光波的角譜，而不同的角譜分量相

25、應于不同方向傳播的平面波分量， 故角譜的展寬意味著在出射波中除了包含入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。2.3 用角譜理論推導光在自由空間的傳播2.3.1標量衍射的推導及直觀解釋本節用平面波角譜理論即從頻域的角度推導常用的衍射公式。前面已經討論過頻域的角譜傳播問題，在由已知平面上的光場分布U o(x, y, 0)得到其角譜A0(fx, fy,0)后，可以利用角譜的傳播公式(2.22b)求出它傳播到 z=z平面上的角譜A( fx, fy, z)。通過傅里葉反變換，最后得到用U。(x, y, 0)表示的衍射光場分

26、U (x, y, z)U(x,y,z)二II, ,Uo(Xo,yo,O)exp jJOOI2 n(2.30)43 expj2 nfx(x-X。) fy(y-yo)d fxdfydx°dy°這就是平面波譜衍射的基本公式。對孔徑平面的積分實際上只需對孔徑內的場做積分。式(2.30)的四重積分使用起來仍很不方便，還需要按照菲涅耳的方法進行化簡。考慮一列平面波通過一個孔徑，在孔徑后不同的平面上觀察其輻射的圖樣。如圖2.7所示，在緊靠孔徑后的平面上，光場分布基本上與孔徑的形狀相同，這個區域稱為幾何投影區；隨 著傳播距離的增加，衍射圖像與孔的相似性逐漸消失，衍射圖的中心產生亮暗變化，從

27、這 個區域開始到無窮遠處，均稱為菲涅耳衍射區；當傳播距離進一步增加時，衍射圖樣的相 對強度關系不再改變，只是衍射圖的尺寸隨距離的增加而變大，幅度隨之降低，這個區域 稱為夫瑯禾費衍射區。夫瑯禾費衍射區包含在菲涅耳衍射區內，但是通常不太確切地把前 者稱做遠場衍射，后者稱做近場衍射。圖2.7按傳播距離劃分衍射區2.3.2菲涅耳衍射公式假定孔徑和觀察平面之間距離z遠遠大于孔徑a的線度，并且只對z軸附近的一個小區域內進行觀察，則有Zx0max ' y0max 及 Z 'x2 + y2maxmax此條件等同于37t22 2z(X X。)(y y。)maxn22 2.(Lo - LJ4，4

28、'這里，Lo=('.,X： y：)max為孔徑的最大尺寸；Ll=( . x2 - y2)max為觀察區的最大區域。 這 種近似稱為菲涅耳近似或傍軸近似。 在這種情況下，對.J - '2 fx2 - ' 2fy2展開，只保留# ( f )2項，略去高次項,('2 22 21 2 221 - fx - fy ”1(fx - fy )2這樣式(2.30)可寫為U(X,y)_ exp( jkz)ki |U o(Xo,yo)exp j(X-Xo)(yy°) dx°dy°(2.31)上式還可表示為U(x,yexp(Jexp j Azj

29、jy2my。)-z(2.32)k22 I - |j(X0-y。) exp(xx。+yy。)1 2z扎zexpdx°dy°這就是常用的菲涅耳衍射公式。上一節已證明，因為波動的可疊加性，可以把光波的傳播現象看做一個線性系統，其 傳遞函數由式(2.26)表示。在菲涅耳近似下這一傳遞函數可進一步表示為(2.33)2 2H ( fx, fy) =exp( jkz)exp -j n z( fxfy )它表示在菲涅耳近似下角譜傳播的相位延遲。因子exp( j kz)代表一個總體相位延遲，它對、-2O于各種頻率分量都是一樣的，因子exp -j n z(fx fy )代表與頻率有關的相位延遲

30、，不同的頻率分量，其相位延遲不一樣。2.3.2夫瑯禾費衍射與傅里葉變換在菲涅耳衍射公式中，對衍射孔采取更強的限制條件，即取(2.34)1 2 z_ k( x。2則平方相位因子在整個孔徑上近似為k 2j (X一 2z'Il U o(Xo, yo,O)exp - jU(x, yzexpy2(2.35)(XX。+ yy°) dx°dy_1 z這就是夫瑯禾費衍射公式。在夫瑯禾費近似條件下，觀察平面上的場分布等于衍射孔徑上 場分布的傅里葉變換和一個二次相位因子的乘積。對于僅響應光強不響應相位的光電探測器，夫瑯禾費衍射就是光場的傅里葉變換。2.4光波在光波導中的傳播光在光波導中

31、的傳播行為可以用幾何光學的射線理論和電磁場在受限介質中波動理 論進行分析。2.4.1基于幾何光學的光纖維導光原理光在光纖中的傳播可以用簡單的幾何光學原理即全內反射原理來說明。典型光纖的橫截面示意圖如圖2.8所示。光纖由折射率略高的纖芯、折射率略低的包層及表面涂層組成。根據纖芯折射率徑向分布的不同，光纖可分為階躍折射率分布光纖和 漸變折射率分布光纖，如圖2.9所示。圖2.8光纖的橫截面示意圖圖2.9光纖纖芯折射率分布漸變折射牢分布丘纖光纖的導光原理可用射線理論與導波理論兩種方法進行分析。當纖芯直徑遠大于光波波長時，基于幾何光學的射線理論可以很好地解釋光纖的導光原理和特性。當纖芯直徑與 光波波長可

32、比擬時，則須用導波理論進行分析。這里，僅對階躍折射率分布光纖的射線理 論分析方法進行介紹。圖2.10表示光波在階躍折射率分布光纖中的傳播路徑。一束光線以與光纖軸線成 R的角度入射到芯區中心， 在光纖一空氣界面發生折射， 折射光與光纖軸線的夾角 H由折射定 律決定n0 sin 2 = nt sin -r(2.36)式中，n0和nt分別為空氣和纖芯的折射率。折射光到達光纖芯 一包層界面時，若入射角大于臨界角；時，將發生全反射，若包層折射率為n2，則二定義為sin c = n2/nt(2.37)所有;：-'；的光線都將被限制在光纖芯中，這就是光纖導光的基本原理。圖2.10光波在階躍折射率分布

33、光纖中的傳播路徑F面介紹光纖對光線的接收角，即數值孔徑(Numerical Aperture, NA)。為實現全反射，對光線的入射角有一個最大值限制，R與:有關系式斗=n/2 _ ：:成立。以化替代，并利用式(2.32)和式(2.37)可得no sin %櫛221/2=門勺cos二=(門勺一n2)(2.38)45 # n0sin p稱為光纖的數值孔徑，代表光纖的集光能力。對于n2、n1，NA可近似為(2.39)1 /2N A =(2 二)，丄-0 - n2) /式中，丄為光纖的纖芯與包層相對折射率差；耳是光纖的接收角。當入射角 R "：耳時，光線在纖心和包層的界面發生全內反射，因而光

34、線在光纖中傳播時不會有嚴重的衰減；然而，當.-ic時，光線在纖心和包層的界面上會發生能量泄漏，造成嚴重的衰減。這 就是幾何光學關于光線在光纖中傳播的基本原理。由于光纖很長，因此光在傳播過程中要 發生很多次反射。為了保證低衰減，我們需要百分之百地完全反射，每次反射中的一小點 衰減在多次反射后將導致巨大的衰減。到此為止，我們從幾何光學的觀點解釋了光線如何在光纖中傳播。下一個需要了解的 問題是帶寬有多大，對此可做如下估計。假設光纖長為l ,當入射角n =o 時，光線穿過光纖的最短時間為tmin。從理論上，tmin由下式給出tminn1 L(2.40)V c / nt c當光線以臨界角入射穿過光纖時需

35、花費的時間最長，為tmax時，光線在光纖中的傳播# # 距離為maxLL_sin c n2 / n1n1 L(2.41)n2# 因此，最大傳播時間為maxn 1 L / n2 n； Lc /n2c(2.42)上述兩種情況下，光纖傳播的時間差t為/ 、m lAt t max tmi n1c2 m axV(2.43)47 # 值得注意的是，傳播時間差從根本上限制了傳送信息的最大帶寬。為了避免不同傳播時間的信息相互混淆，最大帶寬B為1 1B(2.44)-t ntL / c( nt / n2 1)為了對式(2.44)有一定量的認識，我們來看下面的例子。例2.1階躍折射率光纖的纖心折射率為nt =1.5

36、，包層折射率為n2 =1.485，長度L =1 km，請計算此光纖的最大比特率。解：此光纖的最大比特率為1 1 1 B320 M b/s-t n丄 / c(nt / n2 1)1.5 10 m / 3 10m /s(1.5 /1.485 1)從這個例子可以看出，B遠小于光學載波頻率(數量級是10 14 Hz)。為了解決這個問題，必須減小光線沿不同路徑傳播的時間差。有一種光纖(即單模光纖)，它只允許光線沿一條路線傳播，這樣可以獲得更大的帶寬。不過，簡單幾何光學理論不能完全解釋這個現 象，其必須由下節所描述的更為精確的波動理論來闡述。2.4.2基于光的波動光學的波導導光理論當光纖的橫向尺度與光的波

37、長相比擬，需要更為精確的波動光學理論來分析，尤其是 模式理論，才能解釋發生在光纖中的現象。波動光學法從著名的麥克斯韋方程出發。光纖是絕緣介質，因此它的自由電荷密度亍=0，傳導電流密度J =0。另外還可假設光波是簡諧振蕩波，對這一線性系統，一般可以用基于傅里葉變換的加權求和來處理。在這些假設下，準單色光場的電場 E滿足下面的波動方程' 2 E n 2k： E 二 0(2.45)式中，k0 = /c是波數；是光的時間角頻率；c是真空中的光速；n = , J ；r是 光纖的材料折射率，它可能是角頻率的函數，即由于一般光纖具有圓柱對稱性，因此在柱坐標下解式(2.45)很方便。注意式(2.45)

38、是一個矢量微分方程，為了簡單起見，首先處理電場在z軸方向的分量Ez。這時，式(2.45)變成下面簡單的標量微分方程(2.46)2 2 2'、Ez - n k0 Ez = 0在如圖2.10所示的柱坐標下，式(2.46)可以寫成G d廣E、J込1 +¥-2V+2Ez(人，z) n2k：Ez(幾，z)二# # 2 21已+召 + 1 d P cP cP2 P2 別22已 Ez(P,©,z)cP2式(2.47)是一個線性偏微分方程,總2 )2 2+ 三7 Ez(P,©,z)+ n?k：Ez( P,©,z)= cZ丿22n2k0Ez( ?, ,z) =01

39、 ;:Ez(；?, ,z)1 : Ez(乙,z)匸 Ez(乙,z)2. 2oz(2.47)包括三個變量(P,©,z)。可以通過分離變量法求解，即可假設Ez(，：z) = F(T)和(J Z(z)(2.48)把式(2.48)代入式(2.47)，可以得到下面三個方程d Z(z) - 2Z(z) -0 dz(2.49a)d：()m()=0d(2.49b)ood F ( ') 1 dF ( ')2 2 - 2 m、(n k。- ： - QF(T)=0 d-: d ：(2.49c)式中，m是整數；-是常數。式(2.49a)的解是Z(z)二e"(2.50)此式描述了光波

40、是如何在z軸方向傳播的，一般稱為傳播常數。式(2.49b)的解是(2.51)# 此式描述了光場在徑向是如何變化的。®) =e(©+2 n , m必須是整數。式(2.49c)比較復雜，對階躍折射率光纖能得到一個解析解。 述為在圖2.11中，階躍光纖的折射率分布可描< a(2.52)> an2,圖2.11柱坐標下的光纖49 # 式中，a是纖心的半徑。把式(2.52)代入式(2.49c)，得到下面的方程組2d F ( 01 dF(門P dP2d F (門 1 dF (門d ¥ d ；-2 2 : 2 n1 ko -+ n1 ko2F()=0,；- <

41、a(2.53a)(2.53b)# # 式(2.53a)和式(2.53b)可以通過定義兩個新常數得到進一步簡化，這兩個常數是(2.54a)一 n2(2.54b)把式(2.54a)和式(2.54b)代入式(2.53a)和式(2.53b)，得到d2F(廠d J21 dF ( ?)2mr2F (討二 0,(2.55a)# # 1 dF( )-d：?FL)(2.55b)d2F()d r2式(2.55a)是著名的貝塞爾方程，而式(2.55b)是修正的貝塞爾方程。這兩個方程的解都是貝塞爾函數，因此，F (：-)可以表達為A Jm(KP) +B Ym(KP), P 蘭 a F ( P) = «(2.

42、56)C Km(YP) +D .Im(YP), PX式中，Jm是m階一類貝塞爾函數；Ym是m階二類貝塞爾函數；Km是m階二類修正貝塞爾函數；Im是m階一類修正貝塞爾函數；A,B,C,D均是常數。當 0時，Ym(、)_. ，由于光能不能為無窮大， B必須為零(即 B =0 )。同樣 地，當!?):時，I m ()r，而光能也不能為無窮大， D必須為零(即D =0)。這樣， 式(2.56)簡化為”AJm(KP),PWaF ( P)=(2.57)C Km(fP), Px貝塞爾函數jmr)和Km(門可以通過查貝塞爾函數表得到，或者可以由其級數表達式 用計算機算出。它們的級數表達式是Ym(x)2+nod

43、J m(X)=、n -0n(-1)n!(n m)!；Jm(X)fxYf12丿 m -12 n衛1 n + ( n) +C(m + n) J (一1)'2n !( m + n)!(2.58a)(2.58b)# # (2.58c)k 1(k)jm jn m 111Km(x)= i Jm(ix) +iYm(ix)(2.59)2把式(2.50)，式(2.51)及式(2.57)代入式(2.48)，可以得到光場 Ez的最終解Ez(,z,r) 口 :”AJm 佯 P)eCKm()ei m ：.' i |.z i；-，te eim , :z；：te e:_a- a(2.60)然后，通過麥克斯韋

44、方程可以求得H z, E二E , H ;?, H -.o下面，利用纖心和包層表面的邊界條件求常數-和。此邊界條件在數學上可表述為Ez(二 Ez()宀# Ez('.門；Ez(門cPcP(2.61)把式(2.60)代入式(2.61)，可得(2.62a)A Jm (. a) =C Km( a)(2.62b)A JmC-aC Km( a)51 # 式中，撇號表示對變量求導。把式 (2.62a)和式(2.62b)相除，得到下式(稱為色散關系式)(2.63)JmCa) _( a)- JmC-a Km( a)為了理解式(2.63),把式(2.54) 中 ,代入得KmC _n:k：a)(2.64)(2

45、.66)Jm C. n：k；a) 有一個傳輸模式，這種光纖稱為單模光纖。既然只有一個模式在光纖中傳播，模間色散就不存在，因此在長距離通信中單模光纖可以有更寬的帶寬。當V更大時，光纖中存在的模式數大約等于(2.68)這對應于多模光纖的情況。例2.2設一光纖的纖心直徑為50(im,片=1.48, n2 =1.46,工作波長九= 0.82請計算其模式數。解：2 na2.門勺一 n2 tt50(im / 22歹既然V .1，可以用近似公式 N二V 2 / 2來計算其模式數46.65= 10891.48-1.46=46.45# # 因此，在普通的多模光纖中，傳播的模式多達上千個。例2.3 光纖工作在單模

46、狀態下，求其所允許的最大纖心半徑。已知=1.465, n2 =1.46，工作波長，=1250 nm。解：單模運行條件是 V =2 na/n： -n：）_ 2.405，因此最大半徑amax是2.405 2.4051.25 mamax 二2222r=3.96 E2 n , 口 - n22 n . 1.465-1.46此結果告訴我們，單模光纖的半徑很小。例2.4 一光纖半徑a = 2卩m , n 2 = 1.45 ,相對折射率差厶=0. 0 1，工作波長 ，=1. 2 8 8卩m，請計算此光纖的傳輸常數1和有效折射率n。解：根據相對折射率差的定義厶=（門勺-n 2） / nt可得n21.45門勺 2

47、1.46461 L 1-0.01波數為2 n k04.878m J1.288 m# # 歸一化頻率為53 2 歸 I 222 7l2/22V =n n21.4646-1.45=2.016 : 2.405九1.288 (im因此，光纖中只有一個模式在傳播，這就是單模光纖的情形。求解方程(2.64)可得到傳播常數1 ,即求解下式2 : 2k。一 - a)koko-：2a)2n 2 koKm(# # 單模光纖只有一個基模在傳播，它對應于m =o的情況。把m = o代入上面的方程得n1ko2a)Jo(22Ko(22K_ n 2 k o a)-n 2 kon2ko a)利用貝塞爾函數恒等關系式,即Jo(

48、x) = J1(x)和Ko (x) = K1 (x)，此方程可以進一步簡化。這樣可得JoO. n：k：a)k： 一 "n；K°(n:k： a)ko -2 a) n:k： «1(迸書n：k；a)(2.69)# # 方程(2.69)是一個超越方程，它沒有解析解，采用圖解法可求得傳播常數1。把方程(2.69)的兩邊分別看做函數，用MathCAD程序可以分別畫出它們的曲線圖。如圖2.12所示，兩條曲線的交點就給出了傳播常數：的值，：=7.103，所以有效折射率n = : / k0 =1.456可以看出，有效折射率小于 n 1,大于巳，這和理論分析相一致。# # 圖2.12

49、方程(2.69)的左式和右式作為：函數的曲線圖# 2.4.3光纖中的衰減正如在241節及242節中所討論的，基于全內反射原理，光線可以被限制在光纖里。然而，光纖中的一些機制可能導致衰減，圖2.13說明了衰減是波長的函數。當工作波長 ：1.3卩m時，損耗主要來自瑞利散射，它正比于1 / 4。而當，.1.6呵 時，紅外吸收損耗變得越來越大。在，=1.4卩m處有一個損耗峰值，這主要是由氫氧根的吸收造成的。因此，為了將損耗減到最少，當前的通信系統工作在中心波長為1.3卩m或1.55卩m的低損耗窗口。1415% 凹0it55 # 圖2.13光的光學損耗（或衰減）2.4.4單模光纖的橫模正如前面幾節所討論

50、的，電場Ez具有式（2.60）所描述的分布狀態。本節將討論單模光纖的場分布。這對應于基模的情況，也就是 m = 0。把m = 0代入式（2.60），則Ez的歸一 化橫向分布為! J°MP)(2.70)J 0 C a)EzC )二、|K°(fP).K°( a)，為便于計算，對1.2 : V :：: 2.4的情況有一個簡便的經驗公式。歸一化電場Ez（門可以表述為Ez( )/Ww二 a I 0.651.6193/ 2V2.879(2.71)上式是高斯函數。為了理解式(2.70)和式(2.71),我們來看下面的例子。例2.5 一單模硅光纖半徑a = 2.6卩m ,纖心折射

51、率=1 . 4 6 5,包層折射率 n2 =1. 45工作波長，=1.55卩m。(a) 對精確的公式即式 (2.70)和高斯近似經驗公式(2.71)，請分別畫橫向電場分布Ez(門的曲線圖。(b) 如果光纖半徑變為a =1.2眄，重做曲線圖。解：(a)首先，計算式(2.70)和式(2.71)中的參數。在情況下，波數2 n 2 n_lk04. 0 5 4m丸 1. 5 4m/22 歸ni - n22 冗2.6 4m2T歸一化頻率 V-1.465-1.45=2.204。幾1.55 pm傳播常數可以用例2.4中所描述的圖解法計算，結果為一：= 5.907。這樣，可算出參數和2 2 - 2 2 2 2二.厲 k。1.4654.054-5.9070.8252 -n:k： = -5.907 2 一 1.45? 4.054 = 0.586基于這些參數，用MathCAD程序可以畫出Ez(門的曲線圖，如圖2.14(a)所示。從圖2.14(a) 可以看出，精確公式和經驗公式之間的差別非常小。這表明，當1.2 :V : 2.4時，高斯近似是可行的。本例中 V =2.204落在這個區間內。(b)依照新的半徑a =1.2 pm，我們重算了電場分布，如圖2.14(b)所示，兩條曲線有明顯的差別。注