1、二項式定理知識點、題型與方法歸納一.知識梳理n 0 n 1 n 1r n r rn n*r1 .二項式定理：(a b) Cna Cna b ga b Cnb (n N ).其中 Cn(r 0,1,2, ,n)叫二項式系數.式中的 C；an rb叫二項展開式的通項，用Tr 1表示，即通項Tr 1 C；an rbr.2 .二項展開式形式上的特點 ：(1)項數為n+ 1;(2)各項的次數都等于二項式的哥指數n,即a與b的指數的和為n.(3)字母a按降哥排列,從第一項開始，次數由 n逐項減1直到零；字母b按升小排列,從第一項起，次數由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數從 Cn, C1, 一直到C：1

2、, Cn.3 .二項式系數的性質：r n r(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.且 Cn Cn,n -I- 1 . 一一 (2)增減性與最大值：二項式系數Cn,當kv 2時，二項式系數逐漸增大.由對稱性知匕的后半部分是逐漸減nn 1 n 1小的；當n是偶數時，中間一項 Cn2取得最大值；當n是奇數時，中間兩項 Cn C下取得最大值.各二項式系數和：C0 + C1+C2+ &+ Cn = 2.n>Cn + C2 + C4 + , , , = Cn + Cn+ Cn + = 2n 1 .一個防范運用二項式定理一定要牢記通項Tr+1=C】an-rbr,注意(2+6“

3、與”+»雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題,另外二項展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前益旦指CL而后者是定母處的部會前者只與一n和一直關，一恒為正,一后者:還與a -也有關心可正亙負，一兩種應用(1)通項的應用二利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數塞.(2)展開式的應用：利用展開式可證明與二項式系數有關的等式；可證明不等式；可證明整除問題；可做近似計算等:.三條性質(1)對稱11;一(2)增減性;一(3)各項二項式系數的和一;一一一二.題型示例【題型一】求(x y)n展開特定項例1: (1 + 3x)n(其中ne N*

4、且n>6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n=() BA.6B.7C.8D.9例2:二y_,y .x8的展開式中X2y2的系數為.(用數字作答)70【題型二】求(a b)m (x y)n展開特定項例1:在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1x)8的展開式中，含 x3的項的系數是(D. 121)DD.-1則 f(3, 0)+f(2, 1)+f(1, 2)+f(0, 3) = () CA. 74B. 121C. 74【題型三】求(a b)m (x y)n展開特定項例1:已知(1 + ax)(1 + x)5的展開式中x2的系數為5,則a=(A. -4B.- 3C.-2D. 210a12)

5、的展開式中，x”的系數為例2：在(1+x)6(1 + y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m, n),A. 45B. 60C. 120例3 ：若數列an是等差數列，且a6 a7 10 ,則在(x aj(x a2)L (x.60【題型四】求(x y z)n展開特定項例1：求2+1+J2 (x>0)的展開式經整理后的常數項. x x后Rx 1 八 5x 1 10解：a+x+m在x> 0時可化為煎+支，因而 Tr+ 1 = Crl0 古(W),則r = 5時為常數項，即C50 ； 2例2：若將(x y z)10展開為多項式，經過合并同類項后它的項數為().DA. 11B. 33C.

6、 55D. 66解：展開后，每一項都形如xaybzc,其中a b c 10 ,該方程非負整數解的對數為C20 2 66。例3: (x2+x+ y)5的展開式中，x5y2的系數為()A. 10 B. 20 C. 30 D. 60解析 易知 Tr + 1 = Cr5(x2+x)5ryr,令 r=2,則 T3= C2(x2+ x)3y2,對于二項式(x2+x)3,由 Tt + 1 = C3(x2)3 txt= C3x6-1,令 t = 1,所以 x5y2 的系數為 C5c3=30.【題型五】二項式展開逆向問題 例1： (2013廣州畢業班綜合測試)若G+3c2+32C。+ 32Cn+31 = 85,

7、則n的值為()A.3 B.4 C.5 D.6解：由 C1+3C2+ 3n七廠 1+3n=%。+3)n1 = 85,解得 n=4.故選 B.【題型六】賦值法求系數(和)問題例 1:已知(1 2x)7= a°+a1x+azx2+ + a7x7.求：(1)a1+a2+ a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6；(4)|a0|+|a1|+|a2|+ + |a7|.解： 令 x= 1,則 ao +a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 1.令 x= 1, 則 a0 a1+ a2 a3+ a4 a5+ a6a7 = 37.(1) a0= c7= 1,，a1+ a2+

8、a3+ +a7 = 2.僅供學習與參考-1 - 3(2)(一)-2,得 ai+a3+as+a7=一2一=- 1094.1 + 3(3)( + )2 得 ao+a2+a4+a6=-2= 1093.(4):(1 2x)7的展開式中，a。，a2, a4, a6大于零，而 a1, a3, as, a7小于零, .|a0|+ |a1| + |a2|+ + |a7|= (ao+ a2+ a4 + a6) (a + a3+ as+ a7),.所求即為(亦即)，其值為2187.點撥：“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關問題比較常用的方法.對形如(ax+b)n, (ax2+ bx+c)m(a, b,

9、 cC R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令 x=1即可；對形如(ax+by)n(a, bCR)的式子 求其展開式各項系數之和，只需令 x= y= 1即可.若f(x)= ao+ax+a2x2+ anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為ao+a2+a4f (1)+f( 1) /田 Mrr?4米+工 口f (1) f( 1)+=,偶數項系數之和為a1+ a3+ as+ 1=.心 2nn例 2：設-2- +x=ao+a1x+a2x2+a2nx2n,則(ao +a2+ a4+ a2n)2一(a + a3+as+ a2n1)2 =.2 2n解： 設 f(x)=+ +x ,

10、 則(ao+a2+a4+a2n)2一(a +a3+as+ a2n1)2= (ao+a2+a4+a2na1a3 as一a2n 1)(ao+a2+a4+ a2n+a+a3 +as+ a2n 1)= f(1) f(1) =1+ 11 2n 1 n 一 =一24例 3:已知(x+ 1)2(x+ 2)2014= ao+ a(x+ 2)+ a2(x+ 2)2+ a2°16(x+ 2)2016,則彳1 + |1+'21+十黃的值為3323201433232016解：依題意令 x= - a，得 萬十1 2+ 2= a0+a 2-2 + a2 2+2 +a2016 5+2d 2016a1,a2

11、.a3. a20161令x=2得a0=0,則萬+級+g+2= 2.【題型七】平移后系數問題例 1 ：若將函數 f(x) = xs表示為 f(x) = aO+a1(1+x) +a2(1+ x)2+as(1 + x)s,其中 aO,a1，a2,，as為實數，貝 U a3 =.解法一：令 x+1 = y, (y1)s= a0+ay+azy2+asys,故 a3= C2(1)2= 10.as = 1,解法二：由等式兩邊對應項系數相等.即：C4as + a4 = 0,解得a3 = 10.C3as+ C4a4 + a3 = 0,解法三：對等式：f(x)= xs= a0+a(1 + x)+a2(1 + x)

12、2+ as(1 + x)s兩邊連續對 x求導三次得：60x2= 6a3+ 24a4(1+x) + 60as(1+x)2,再運用賦值法，令x= 1 得：60=6a3,即 a3=10.故填 10.【題型八】二項式系數、系數最大值問題1 n例1： 也十會 的展開式中第五項和第六項的二項式系數最大，則第四項為 nx_1 9解析 由已知條件第五項和第六項二項式系數最大，得T4 =n= 9, 胃+ 展開式的第四項為2x1 3 21C9 () ' 2x = 2 .例2:把(1x)9的展開式按x的升哥排列，系數最大的項是第 項A. 4B. 5C. 6D. 7解析(1x)9展開式中第r + 1項的系數為

13、C9(-1)r,易知當r=4時，系數最大，即第 5項系數最大，選 B.例3: (1 + 2x)n的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項.解：T6= C5(2x)5, T7= C6(2x)6,依題意有Cn 25= C6 26,解得n= 8.所以(1 + 2x)8的展開式中，二項式系數最C8 2rAe8 1 2r JC8 2rAe8+1 2r+1,大的項為 T5=C4(2x)4=1 120x4.設第r+1項系數最大，則有T6= 1 792x5 或 T7= 1 792x6.解得5WU6.所以= 5或=6,所以系數最大的項為 點撥：(1)求二項式系數最大項：如果

14、 n是偶數，則中間一項 第曰+1項的二項式系數最大；如果n是奇數，n 1 n 1則中間兩項(第二2一項與第-2+ 1項)的二項式系數相等并最大.(2)求展開式系數最大項：如求(a+bx)n(a, b R) Ar>ArT,r的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法，列出不等式組從而解出r,即得展開式系數最大Ar > Ar+ 1,的項.【題型九】兩邊求導法求特定數列和例 1:若(2x 3)5=ao+a1x+ a2x2+a3x3+a4x4+asx5,則 a+2a2 + 3a3+4a4+5a5=.解析 原等式兩邊求導得5(2x- 3)4 (2x- 3) = a +2a2x+3a3x2+4

15、a4x3+5a5x4,令上式中 x= 1,得 a +2a2+3a3+ 4a4+ 5a5= 10.【題型十】整除問題例 1:設 aC Z,且 0Wa<13,若 512 012+a 能被 13 整除，則 a=()A. 0 B . 1 C. 11 D. 12解析512 012+a= (52 1)2 012 + a=C2 012 522 012-C2 012 522 011+ C2012X 52 ( 1)2011+C2012( 1)2012+ a,- C0 012 522 012 - C2 012 522011+ +C2 012x 52 (- 1)2011 能被 13 整除.且 512 012+

16、 a 能被 13 整除，丁 C2012 ( 1)2012+a=1+a 也能被 13 整除.因此a可取值12.例2：已知m是一個給定的正整數，如果兩個整數 a, b除以m所得的余數相同，則稱 a與b對*H m同余，記 作 a三 b(modm),例如：5三 13(mod 4).若 22015三 r(mod 7),貝U r 可能等于()A.2013 B.2014 C.2015 D.2016解：22015 = 22 * 23><671= 4* 8671 = 4(7+ 1)671 = 4(7671+加717670+C6707+ 1).因此 22015 除以 7 的余數為 4.經驗證，只有20

17、13除以7所得的余數為4.故選A.三.自我檢測1、（2013 青島一榆“n = 5”是“ 2gl "6 n*）的展開式中含有常數項”的（）3xA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、已知c0+2cn + 22cn+23cn+2ncn=729,則cn+c2+cn+cn等于（）A. 63 B. 64 C. 31 D. 323、組合式 c02cn + 4cn8C3+ （ 2）肥配勺值等于（）A. (-1)nB. 1C. 3nD. 3n- 14、若(1 + x+x2)6= ao+a1x+ azx2+ a12x12,則 a2+a4+ a2 =5、已知(1 + x)10= ao+a1(1 x)+a2(1 x)2+ + a0(1 x)10,則 a8=()D. -4