1、 高等代數概念引入高等代數概念引入 矩陣運算矩陣運算 1. 1. 線性函數線性函數 在平面上建立直角坐標系在平面上建立直角坐標系. 將平面上每個點將平面上每個點P繞原點繞原點向逆時針方向旋轉角向逆時針方向旋轉角到點到點P. 寫出點寫出點P的坐標的坐標x,y與點與點P的的坐標坐標x,y之間的函數關系式之間的函數關系式. 矩陣乘法矩陣乘法 例12 將將x軸繞原點向逆時針方向旋轉角軸繞原點向逆時針方向旋轉角得得到直線到直線 l l. 平面上任一點平面上任一點P關于直線關于直線 l l的對的對稱點為稱點為 P. 寫出點寫出點P的坐標的坐標x,y與點與點P的的坐標坐標x,y之間的函數關系式之間的函數關系

2、式. 解解 設原點設原點O到到P的間隔的間隔 |OP|=r, 由射線由射線OX即即x軸軸正方向正方向 到到OP所成的角所成的角 . 那么那么|OP|=|OP|=r, x=rcos, y=rsin. 1 x=rcos+ =rcoscos-rsinsin =xcos-ysin y=rsin+ =rcossin+rsincos =xsin+ycos2 在旋轉變換的表達式在旋轉變換的表達式 中中, x是是x,y的線性函數的線性函數一次齊次函數一次齊次函數 可以表示成可以表示成 可以直接寫可以直接寫 f1 = cos,-sin. 類似地有類似地有 一般地一般地, 任意一個任意一個n元線性函數元線性函數

3、可以由它的一次項系數組成的行向量可以由它的一次項系數組成的行向量a1,an來表示來表示, 稱為這個線性函數稱為這個線性函數 f 的坐標的坐標. 可直接寫可直接寫 f = a1,an n 個自變量看成一個整體個自變量看成一個整體 X, 寫成列向量寫成列向量 函數函數 f 在自變量在自變量 X 上的作用可以看作行上的作用可以看作行 f 與列與列 X 相乘相乘: 2. 2. 線性映射的矩陣線性映射的矩陣 f : 自變量 因變量 旋轉 軸對稱 一般地一般地, 考慮映射考慮映射 f: X= Y= 假如每個假如每個 yi 都是都是 x1 , xn 的一個線性函數的一個線性函數 決定決定, 那么映射那么映射

4、 f: X Y由由 m 個行向量個行向量 fi 決定決定. f 稱為線性映射稱為線性映射. 寫成寫成看作矩陣看作矩陣 A= 與列與列 X 相乘的結果相乘的結果. 3. 3. 線性映射的合成線性映射的合成: : Y=Y=Z=Z=是是X X的的m m個線性函數個線性函數 f f1 1,f,fn n 的線的線Z=CX=BAX,C=BAZ=CX=BAX,C=BA的第的第i i行元素分別乘行元素分別乘A A的各行相加得到的各行相加得到. .性組合性組合, , 仍是仍是X X 的線性函數的線性函數 , ,其坐標其坐標的坐標的坐標即即A A的各行的各行的相應的線性組合的相應的線性組合 4. 4. 利用分塊運算理解矩陣乘法利用分塊運算理解矩陣乘法 1、 AB = A B1,B2,Bk, A 依次乘 B 的各列。 例. 對可逆方陣 A ，解矩陣方程 AX=B. 將 X,B 按列分塊, AX1, ,Xk=B1,Bk 即 AX1,AXk=B1,Bk, AXj = Bj j=1,2,k 相當于同時解 k 個有公共系數矩陣A的線性方程. 同時對k個增廣矩陣 A Bj 做同樣的初等行變換。 可以合并到一起作初等行變換: A B I X，X=A-1B。 2、 A = A1,An = x1A1+xnAn.3、行變換行變換: B AB列變換列變換: B BAA：施工方案，施工方案，B：被施工的材料被施工的材料