1、第第7章章 常微分方程初值問題數(shù)值解法常微分方程初值問題數(shù)值解法7.1 引引 言言本章研究的問題本章研究的問題: 7.1 歐歐 拉拉 方方 法及改進(jìn)的歐拉法法及改進(jìn)的歐拉法 7.1.1 歐拉公式歐拉公式圖7.1 歐拉折線法1 歐拉公式歐拉公式(2)(3)2 歐拉公式的截?cái)嗾`差歐拉公式的截?cái)嗾`差(4)3 單步法的局部截?cái)嗾`差與單步法的局部截?cái)嗾`差與階階局部截?cái)嗾`差可以理解為計(jì)算一步的誤差局部截?cái)嗾`差可以理解為計(jì)算一步的誤差.則稱該方法具有則稱該方法具有P階精度階精度.4 后退的歐拉方法后退的歐拉方法(5)(6)(6)式稱為后退的歐拉方法式稱為后退的歐拉方法,它是隱式的它是隱式的,歐拉公式歐拉公式

2、(2)是顯式的是顯式的,(7)后退的歐拉方法的局部截?cái)嗾`差后退的歐拉方法的局部截?cái)嗾`差:5 梯形方法梯形方法(8)式稱為梯形方法式稱為梯形方法.(8)梯形方法的局部截?cái)嗾`差梯形方法的局部截?cái)嗾`差:6. 改進(jìn)歐拉法及局部截?cái)嗾`差改進(jìn)歐拉法及局部截?cái)嗾`差nnnnyxhfyy,1111,2nnnnnnyxfyxfhyy預(yù)測步預(yù)測步校正步校正步cpnpnncnnnpyyyyxhfyyyxhfyy21,11或者寫成或者寫成（1改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式:（2改進(jìn)的歐拉方法的局部截?cái)嗾`差改進(jìn)的歐拉方法的局部截?cái)嗾`差),(1kkkkyxhfyy),(),(2111kkkkkkyxfyxfhyy考慮改進(jìn)考慮

3、改進(jìn)Euler法法如果將其改成如果將其改成)(2211KKhyykk),(1kkyxfK ),(112hKyxfKkk)(00 xyy -(1)7.2 Runge-Kutta法法改進(jìn)改進(jìn)Euler法是由梯形公式和法是由梯形公式和Euler公式復(fù)合而成公式復(fù)合而成梯形公式具有梯形公式具有2階精度階精度(1)式為一種二階式為一種二階Runge-Kutta法法同樣可以證明同樣可以證明,改進(jìn)改進(jìn)Euler法也具有法也具有2階精度。階精度。 Runge-Kutta方法的推導(dǎo)Runge-Kutta方法的一般形式：1111111, 3 , 2,),(),(ijijiijjijnininnriiinnriKh

4、yhxFKyxfKKchyy確定了階數(shù)之后，再通過確定了階數(shù)之后，再通過Taylor展開、比較兩邊系數(shù)的方展開、比較兩邊系數(shù)的方法，確定各待定系數(shù)：法，確定各待定系數(shù)：,iiijc 二階顯式二階顯式Runge-Kutta方法方法例例.1)0(,:ODE2yydxdy求求解解初初值值問問題題.11xy易易知知其其精精確確解解為為：21 . 01 . 0. 1,21Euler,21. 1222121221nnnnnyyyyycca積積分分公公式式：法法：改改進(jìn)進(jìn)的的321 . 0321 . 0.23,31,32,31. 2222121221nnnnnyyyyycca積積分分公公式式：分分別別用用以

5、以下下兩兩種種系系數(shù)數(shù)：步步長長都都取取為為1 . 0h結(jié)果及比較結(jié)果及比較三階顯式三階顯式Runge-Kutta方法方法nnnYnntnnYnnnYYnnntYnnttn)F,Y(tF),Y(tF),Y(tF)F,Y(tF)F,Y(tF),Y(tFY 22在推導(dǎo)二階顯式方法的過程中，注意到局部截?cái)嗾`差表達(dá)式中在推導(dǎo)二階顯式方法的過程中，注意到局部截?cái)嗾`差表達(dá)式中h3項(xiàng)項(xiàng)包含了以下表達(dá)式：包含了以下表達(dá)式：因此若要在局部截?cái)嗾`差中消去因此若要在局部截?cái)嗾`差中消去h3項(xiàng)，必須增加包含了以上各項(xiàng)的項(xiàng)，必須增加包含了以上各項(xiàng)的多個(gè)方程，同時(shí)我們注意到多個(gè)方程，同時(shí)我們注意到r=2時(shí)，只要時(shí)，只要 等

6、四個(gè)待定系數(shù)，等四個(gè)待定系數(shù)，少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故：少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故： r=2時(shí)時(shí)Runge-Kutta方法只能是二階的。要得到三階的方法，則必須有方法只能是二階的。要得到三階的方法，則必須有r=3。),(),(),()(232131331212213322111hKhKYhtFKhKYhtFKYtFKKcKcKchYYnnnnnnnn其其局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差為為：).()()(33221111KcKcKchtYtYdnnn1,2121,c 三階顯式三階顯式Runge-Kutta方法方法程程如如下下：可可得得待待定定系系數(shù)數(shù)滿滿足足的的方方展展開

7、開，使使得得作作以以及及將將),(Taylor)(,41132hOdtYKKnn61312113223233222332232313212321cccccccc)2,()2,2(),()4(62131213211hKhKYhtFKKhYhtFKYtFKKKKhYYnnnnnnnn三三階階公公式式，如如下下：常常見見的的公公式式稱稱為為公公式式。特特別別地地，一一個(gè)個(gè)三三階階，它它們們統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為因因此此可可以以得得到到眾眾多多公公式式個(gè)個(gè)未未知知數(shù)數(shù)，解解不不唯唯一一。個(gè)個(gè)方方程程要要決決定定KuttaKuttaRunge86四階顯式四階顯式Runge-Kutta方法方法個(gè)個(gè)：。下下面面列列出

8、出最最常常見見的的一一的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差滿滿足足公公式式，它它們們導(dǎo)導(dǎo)出出各各種種四四階階的的類類似似前前面面的的推推導(dǎo)導(dǎo)，可可以以)(KuttaRunge51hOdn),()2,21()2,21(),(226342312143211hKYhtFKKhYhtFKKhYhtFKYtFKKKKKhYYnnnnnnnnnn.1)0(,:ODE2yxydxdy求求解解初初值值問問題題xexxy222易易知知其其精精確確解解為為：方方法法求求解解：分分別別用用二二階階、四四階階步步長長都都取取為為KR1 . 0hx四階二階真解四階誤差二階誤差0.01.0000001.0000001.00000

9、00.00000.0000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-7 2.38E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-7 7.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-7 1.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-7 2.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-7 3.78E-2例例結(jié)果及比結(jié)果及比較較關(guān)于關(guān)于Runge-Kutta方法方法RungeKuttaRungeKutta類似前面的推導(dǎo),可以導(dǎo)出更高階的公式.關(guān)于方法,

10、有以下幾點(diǎn)需要特別指出：。解解曲曲線線比比較較光光滑滑的的情情形形別別適適用用于于展展開開的的方方法法，因因此此它它特特方方法法的的推推導(dǎo)導(dǎo)基基于于 TaylorKuttaRunge.1次次右右函函數(shù)數(shù)。、分分別別須須計(jì)計(jì)算算階階數(shù)數(shù)相相同同，即即它它們們每每步步數(shù)數(shù)的的次次數(shù)數(shù)和和方方法法，每每一一步步計(jì)計(jì)算算右右函函二二階階、三三階階、四四階階的的432Kutta-Runge. 27)9(, 6)8(, 6)7(, 5)6(, 4)5()(KuttaRunge)4(.3NNNNNvNvN階階數(shù)數(shù)，則則有有：次次右右函函數(shù)數(shù)可可達(dá)達(dá)到到的的最最高高表表示示計(jì)計(jì)算算若若用用比比階階數(shù)數(shù)大大。次

11、次的的次次數(shù)數(shù)方方法法每每步步須須計(jì)計(jì)算算右右函函數(shù)數(shù)階階的的的的波波動(dòng)動(dòng)。，局局部部誤誤差差會(huì)會(huì)有有比比較較大大如如果果采采用用固固定定步步長長計(jì)計(jì)算算的的步步長長等等等等因因素素相相關(guān)關(guān)。微微分分方方程程的的性性質(zhì)質(zhì)、采采用用方方法法具具體體的的系系數(shù)數(shù)、待待解解階階數(shù)數(shù)、比比較較復(fù)復(fù)雜雜，它它和和方方法法的的法法的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差估估計(jì)計(jì)KuttaRunge.4提高提高Runge-Kutta方法的精度的方方法的精度的方法法提高積分方法的精度,我們最熟悉的(不一定是最好的)措施是1( )212()2212Euler( )( )211( )( )24nnnhhyyhyyxy xc

12、hc hhyxy xc hc h我們用一個(gè)例子予以說明如下法的近似解：將步長減半為時(shí)，有外外推推法法Richardson0h將上二式作適當(dāng)線性組合,可使的一次項(xiàng)為 ：)()(2)()()2(xyxyxyhh。計(jì)計(jì)算算量量同同時(shí)時(shí)增增加加了了一一倍倍但但我我們們注注意意到到右右函函數(shù)數(shù)的的得得精精度度提提高高一一階階。利利用用此此式式計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)，可可使使提高精度最簡單的方提高精度最簡單的方法是縮短步長，但要法是縮短步長，但要以犧牲計(jì)算速度和積以犧牲計(jì)算速度和積累舍入誤差為代價(jià)。累舍入誤差為代價(jià)。變步長的變步長的Runge-Kutta方法方法作為妥協(xié)，如果能在計(jì)算過程中實(shí)時(shí)控制步長的大小，就可以

13、作為妥協(xié)，如果能在計(jì)算過程中實(shí)時(shí)控制步長的大小，就可以在獲得較高的計(jì)算速度的同時(shí)，保證較高的精度。在獲得較高的計(jì)算速度的同時(shí)，保證較高的精度。七階、八階七階、八階RKF7(8)( )( )( )111111()()()()2222111pRungeKutta()2()222hhhpnnnphhhhpnnnpdY tYchhhhdY tYcc一般地,設(shè)有 階的公式,其局部截?cái)嗾`差為將步長減半為時(shí),有()()2()()1211()()()()()()2221111111(1)211;.1221hhhhpnnphhhhhhnnnnnnppcccYYchdYYdYY假定,記為 ,則可以估計(jì)誤差如下：因此可以從兩次計(jì)算當(dāng)中估計(jì)出每一步的截?cái)嗾`差,有了這個(gè)誤差估計(jì)之后,通過與控制誤差