1、 A組夯基保分專練1如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M為棱AE的中點(1)求證：平面BDM平面EFC；(2)若DE2AB，求直線AE與平面BDM所成角的正弦值解：(1)證明：連接AC，交BD于點N，連接MN，則N為AC的中點，又M為AE的中點，所以MNEC.因為MN平面EFC，EC平面EFC，所以MN平面EFC.因為BF，DE都垂直底面ABCD，所以BFDE.因為BFDE，所以四邊形BDEF為平行四邊形，所以BDEF.因為BD平面EFC，EF平面EFC，所以BD平面EFC.又MNBDN，所以平面BDM平面EFC.(2)因為DE

2、平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，所以DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系D­xyz.設AB2，則DE4，從而D(0，0，0)，B(2，2，0)，M(1，0，2)，A(2，0，0)，E(0，0，4)，所以(2，2，0)，(1，0，2)，設平面BDM的法向量為n(x，y，z)，則得令x2，則y2，z1，從而n(2，2，1)為平面BDM的一個法向量因為(2，0，4)，設直線AE與平面BDM所成的角為，則sin |cosn·|，所以直線AE與平面BDM所成角的正弦值為.2.如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(1)證

3、明：平面AMD平面BMC; (2)當三棱錐M­ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值解：(1)證明：由題設知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D­xyz.當三棱錐M­ABC體積最大時，M為的中點由題設得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0

4、，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)設n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1，0，2)是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值是.3如圖，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)證明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60°，求二面角B­OB1­C的余弦值解：(1)證明：因為A1O平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1OBD.因為四邊形ABCD是菱形，所以COBD.因為A1OCOO，所以

5、BD平面A1CO.因為BD平面BB1D1D，所以平面A1CO平面BB1D1D.(2)因為A1O平面ABCD，COBD，所以OB，OC，OA1兩兩垂直，以O為坐標原點，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系因為AB2，AA13，BAD60°，所以OBOD1，OAOC，OA1.則O(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0，0，)，所以(1，0，0)，(0，)，(1，)，設平面OBB1的法向量為n(x，y，z)，所以令y，得n(0，1)是平面OBB1的一個法向量同理可求得平面OCB1的一個法向量m(，0，1)，所以cosn，m，由圖可知二面角

6、B­OB1­C是銳二面角，所以二面角B­OB1­C的余弦值為.4.如圖，四棱錐P­ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°，E是PD的中點(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45° ，求二面角M­AB­D的余弦值解：(1)證明：取PA的中點F，連接EF，BF，如圖所示因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD.由BADABC90°得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，

7、CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，設|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系A­xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，(1，0，)，(1，0，0)設M(x，y，z)(0<x<1)，則(x1，y，z)，(x，y1，z)因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的一個法向量，所以|cos，n|sin 45°，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，設，則x，y1，z.由，解得(舍去)，所以M，從而.

8、設m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角M­AB­D的余弦值為.B組大題增分專練1如圖，四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABCD為直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAPAD3，ACBDO，過O點作平面平行于平面PAB，平面與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F，G，H.(1)求GH的長度；(2)求二面角B­FH­E的余弦值解：(1)因為平面平面PAB，平面平面ABCDEF，平面PAB平面ABCDAB，所以EFAB.同理EHBP，FGAP.因為BCAD，AD6，BC3，所

9、以BOCDOA，且，所以，CECB1，BEAF2，同理，連接HO，則有HOPA，且HOEO，HO1，所以EHPB，同理FGPA2，過點H作HNEF交FG于N，易得四邊形HNFO為矩形，則GH.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(3，0，0)，F(0，2，0)，E(3，2，0)，H(2，2，1)，(1，2，1)，(2，0，1)設平面BFH的法向量為n(x，y，z)，則，令z2，得n.因為平面EFGH平面PAB，所以平面EFGH的一個法向量為m(0，1，0)故cosm，n，二面角B­FH­E的余弦值為.2如圖，在四棱錐P­ABCD中，側面PAD底面ABCD，底面

10、ABCD是平行四邊形，ABC45°，ADAP2，ABDP2，E為CD的中點，點F在線段PB上(1)求證：ADPC；(2)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等解：(1)證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC，AB2，BC2，ABC45°，由余弦定理得AC2842·2·2·cos 45°4，得AC2，所以ACB90°，即BCAC，又ADBC，所以ADAC，又ADAP2，DP2，所以PAAD，又APACA，所以AD平面PAC，所以ADPC.(2)因為側面PAD底面ABCD，PAAD

11、，所以PA底面ABCD，所以直線AC，AD，AP互相垂直，以A為坐標原點，DA，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A­xyz，則A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，1，0)，P(0，0，2)，所以(0，2，2)，(2，0，2)，(2，2，2)，設(0，1)，則(2，2，2)，F(2，2，22)，所以(21，21，22)，易得平面ABCD的法向量m(0，0，1)設平面PDC的法向量為n(x，y，z)，由得令x1，得n(1，1，1)因為直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等，所以|cos

12、，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|，解得，所以.3在PABC中，PA4，PC2，P45°，D是PA的中點(如圖1)將PCD沿CD折起到圖2中P1CD的位置，得到四棱錐P1­ABCD.(1)將PCD沿CD折起的過程中，CD平面P1DA是否成立？請證明你的結論；(2)若P1D與平面ABCD所成的角為60°，且P1DA為銳角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值解：(1)將PCD沿CD折起過程中，CD平面P1DA成立證明如下：因為D是PA的中點，PA4，所以DPDA2，在PDC中，由余弦定理得，CD2PC2PD22PC·PD·

13、cos 45°842×2×2×4，所以CD2PD，因為CD2DP28PC2，所以PDC為等腰直角三角形且CDPA，所以CDDA，CDP1D，P1DADD，所以CD平面P1DA.(2)由(1)知CD平面P1DA，CD平面ABCD，所以平面P1DA平面ABCD，因為P1DA為銳角三角形，所以P1在平面ABCD內的射影必在棱AD上，記為O，連接P1O，所以P1O平面ABCD，則P1DA是P1D與平面ABCD所成的角，所以P1DA60°，因為DP1DA2，所以P1DA為等邊三角形，O為AD的中點，故以O為坐標原點，過點O且與CD平行的直線為x軸，DA所

14、在直線為y軸，OP1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設x軸與BC交于點M，因為DAP1A2，所以OP1，易知ODOACM1，所以BM3，則P1(0，0，)，D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，3，0)，(2，0，0)，(0，4，0)，(2，1，)，因為CD平面P1DA，所以可取平面P1DA的一個法向量n1(1，0，0)，設平面P1BC的法向量n2(x2，y2，z2)，則所以解得令z21，則n2，設平面P1AD和平面P1BC所成的角為，由圖易知為銳角，所以cos |cosn1，n2|.所以平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值為.4.如圖，在四棱錐P­ABCD中，

15、PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求證：ABPC；(2)在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M­AC­D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由解：(1)證明：由已知得四邊形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABAC4，所以BC2AB2AC2，所以BAC90°，即ABAC，因為PA平面ABCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC.(2)存在，理由如下：取BC的中點E，則AEBC，以A為坐標原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0