1、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第二章第二章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1 2.1 引言引言 機(jī)器人位置和姿態(tài)的描述機(jī)器人位置和姿態(tài)的描述 機(jī)器人可以用一個(gè)開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模機(jī)器人可以用一個(gè)開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模 由數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成由數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具，用以一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具，用以操縱物體操縱物體inoa 人們感興趣的是操作機(jī)末端執(zhí)行人們感興趣的是操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于固定參考坐標(biāo)數(shù)的空間器相對(duì)于固定參考坐標(biāo)數(shù)的空間幾何描述，也就是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)幾何描述，也就是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題學(xué)問題 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)即是研究

2、機(jī)器人機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)即是研究機(jī)器人手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關(guān)手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關(guān)節(jié)變量空間之間的關(guān)系節(jié)變量空間之間的關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問題運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問題Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics: Choose these angles!a0vzyxzyxpcb0uEH圖2.1 點(diǎn)向量的描述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.2.1 點(diǎn)向量（Point vectors） 點(diǎn)向量描述空間的一個(gè)點(diǎn)在某個(gè)坐標(biāo)系的空點(diǎn)向量描述空間的一個(gè)點(diǎn)在某個(gè)坐標(biāo)系的空間位置。同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系的

3、描述及位置向間位置。同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系的描述及位置向量的值也不同。如圖量的值也不同。如圖2.1中，點(diǎn)中，點(diǎn)p在在E坐標(biāo)系上表示坐標(biāo)系上表示為為 Ev，在，在H坐標(biāo)系上表示為坐標(biāo)系上表示為 Hu，且，且v u。一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)向量可表示為向量可表示為 v = ai + bj + ck 通常用一個(gè)（通常用一個(gè)（n + 1）維列矩陣表示，即除）維列矩陣表示，即除 x、y、z 三個(gè)方向上的分量外，再加一個(gè)比例因子三個(gè)方向上的分量外，再加一個(gè)比例因子 w ，即即 v = x y z w T 其中其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。 已知兩個(gè)向量已知兩個(gè)向量 a = ax i + a

4、y j + az k b = bx i + by j + bz k （2.1） 向量的點(diǎn)積是標(biāo)量。用向量的點(diǎn)積是標(biāo)量。用“ ”來定義向量點(diǎn)積，即來定義向量點(diǎn)積，即 a b = ax bx + ay by + az bz （2.2 ） 向量的叉積是一個(gè)垂直于由叉積的兩個(gè)向量構(gòu)成的平面的向量。用向量的叉積是一個(gè)垂直于由叉積的兩個(gè)向量構(gòu)成的平面的向量。用“”表示叉積，即表示叉積，即 a b = ( ay bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay by ) k （ 2.3） 可用行列式表示為可用行列式表示為 i j k a b = ax ay az （

5、2.4） bx by bz旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣 設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為Oxyz，動(dòng)坐標(biāo)系為，動(dòng)坐標(biāo)系為O uvw，研究旋轉(zhuǎn)變換情況。研究旋轉(zhuǎn)變換情況。xyzwvuPo(O)圖2-3 初始位置時(shí)，動(dòng)靜坐標(biāo)系重合，初始位置時(shí)，動(dòng)靜坐標(biāo)系重合，O、O 重合，如圖。各軸重合，如圖。各軸對(duì)應(yīng)重合，設(shè)對(duì)應(yīng)重合，設(shè)P點(diǎn)是動(dòng)坐標(biāo)系點(diǎn)是動(dòng)坐標(biāo)系O uvw中的一點(diǎn)，且固定不變。中的一點(diǎn)，且固定不變。則則P點(diǎn)在點(diǎn)在O uvw中可表示為：中可表示為： wwuvuuuvwkPjPiPP 、 、 為坐標(biāo)系為坐標(biāo)系O uvw的單位矢的單位矢量，則量，則P點(diǎn)在點(diǎn)在oxyz中可表示為：中可表示為： u

6、ivjwkzzyyxxxyziPiPiPPuvwPxyzP 當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系O uvw繞繞O點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)，求點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)，求P點(diǎn)在固定坐標(biāo)系點(diǎn)在固定坐標(biāo)系oxyz中的位置中的位置 yzxo(O)uvwPPwPvPu圖2-4已知：已知：P點(diǎn)在點(diǎn)在O uvw中是不變的仍然中是不變的仍然成立，由于成立，由于O uvw回轉(zhuǎn)，則：回轉(zhuǎn)，則： wwuvuuuvwkPjPiPP)(PwwvvuuxxuvwxkPjPiPiiP)(PwwvvuuyyuvwykPjPiPjjP)(PwwvvuuzzuvwzkPjPiPjjP用矩陣表示為用矩陣表示為: wvwzvzzwvyywxvxxzyxPPPkkjkikkjjji

7、jkijiiiPPPy（2-7） uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii:R y則旋轉(zhuǎn)矩陣為：定義反過來：反過來： xyzuvwPRP1RRRdet*1T1RRRdet因此是正交矩陣，的行列式，由于為的伴隨矩陣，為RRRR由剛體的等距變換可知：uvwTuvwxyzTxyzpppp將上式代入，可得：IRRTR為正交矩陣為正交矩陣。 由圖可知，由圖可知， 在在y y軸上的投影為軸上的投影為 ， 在在z z軸上的投影軸上的投影為為 , , 在在y y軸上的投影為軸上的投影為 ， 在在z z軸上的投影為軸上的投影為 ，所以有：，所以有： vjcosyjsin

8、zksinyjwkcoszkvjwkwzvzzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiy)R(x,xyzouvwUVWO圖2-5cossin0sincos0001uxii方向余弦陣方向余弦陣同理：同理： cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R （cossin0sincos0001)R(x,三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣: : xyzouvwUWOxyzouvwUWOv 丹納維特（丹納維特（DenavitDenavit）和哈頓貝格（）和哈頓貝格（HartenbergHartenberg） 于于19551955年提出了一種矩陣代數(shù)方

9、法解決機(jī)器人年提出了一種矩陣代數(shù)方法解決機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題D-HD-H方法方法 具有直觀的幾何意義具有直觀的幾何意義 能表達(dá)動(dòng)力學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺和比例變換問題能表達(dá)動(dòng)力學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺和比例變換問題 其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即是齊次變換其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即是齊次變換2.2 2.2 點(diǎn)齊次坐標(biāo)點(diǎn)齊次坐標(biāo)2.2.1 2.2.1 點(diǎn)的齊次坐標(biāo)點(diǎn)的齊次坐標(biāo) 一般來說，一般來說，n維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個(gè)（維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個(gè)（n+1）維空間）維空間實(shí)體。有一個(gè)特定的投影附加于實(shí)體。有一個(gè)特定的投影附加于n維空間，也可以把它看作維空間，也可以把它看作一個(gè)附加于每個(gè)矢量的特定坐標(biāo)一個(gè)附加于每個(gè)矢量的特定坐標(biāo)比例

10、系數(shù)。比例系數(shù)。 kcj bi av zy x TwwzyxV式中式中i, j, k為為x, y, z 軸上的單位矢量，軸上的單位矢量，a= , b= , c= ，w為比例系數(shù)為比例系數(shù) wxwywz 顯然，齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一的，隨顯然，齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一的，隨w值的不同而不同。在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中，值的不同而不同。在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中，w 作為通用比例因子，它可取任意正值，但作為通用比例因子，它可取任意正值，但在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析中，總是取在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析中，總是取w=1 。列矩陣列矩陣 例例 ：kjiV543可以表示為：可以表示為： V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8

11、 10 2V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T 齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別 V點(diǎn)在點(diǎn)在OXYZ坐標(biāo)系中表坐標(biāo)系中表示是唯一的（示是唯一的（x、y、z） 而在齊次坐標(biāo)中表示可而在齊次坐標(biāo)中表示可以是多值的。不同的表以是多值的。不同的表示方法代表的示方法代表的V點(diǎn)在空間點(diǎn)在空間位置上不變。位置上不變。 xyzzzxV圖2-2o2.2 2.2 旋轉(zhuǎn)齊次變換旋轉(zhuǎn)齊次變換 用齊次坐標(biāo)變換來表示式旋轉(zhuǎn)變換：用齊次坐標(biāo)變換來表示式旋轉(zhuǎn)變換： 110000001wvuzyxPPPRPPP1100000011zyx

12、wvuPPPRPPP 2.2.3 2.2.3 合成旋轉(zhuǎn)矩陣合成旋轉(zhuǎn)矩陣: :例例1：在動(dòng)坐標(biāo)中有一固定點(diǎn)：在動(dòng)坐標(biāo)中有一固定點(diǎn) ，相對(duì)固定參，相對(duì)固定參考坐標(biāo)系考坐標(biāo)系 做如下運(yùn)動(dòng)：做如下運(yùn)動(dòng)： R（x, 90）；）； R(z, 90)； R(y,90)。求點(diǎn)。求點(diǎn) 在固定參考坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系 下下的位置。的位置。 TuvwPo1321OxyzuvwPoOxyz解解1：用畫圖的簡單方法：用畫圖的簡單方法 解解2：用分步計(jì)算的方法：用分步計(jì)算的方法 R（x, 90） R（z, 90） R（y, 90） 123113211000001001-000001P121312311000010000

13、01001-0 P1312121310000001-00100100 P（2-14） （2-15） （2-16） 上述計(jì)算方法非常繁瑣，可以通過一系列計(jì)算得到上述上述計(jì)算方法非常繁瑣，可以通過一系列計(jì)算得到上述結(jié)果。將式（結(jié)果。將式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）聯(lián)寫為如下形式：）聯(lián)寫為如下形式： 1144wvuzyxPPPRPPPR4x4為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令：為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令： ),(),(),RR44xRzRy（定義定義1： 當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系 繞固定坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系 各坐標(biāo)軸順序有限次各坐標(biāo)軸順序有限次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序轉(zhuǎn)

14、動(dòng)時(shí)，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序左乘左乘。注意：注意：旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換 uvwOOxyz 平移齊次變換矩陣平移齊次變換矩陣1000100010001c) b (a TransHcba注意：注意：平移矩陣間可以交換，平移矩陣間可以交換， 平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換 zyxoo w u v abc因此對(duì)向量 u = x y z w T，經(jīng)H變換為向量v可表示為 x + aw x / w + a y + bw y / w + b z + cw z / w + c w 12.2.4 2.2.4 相對(duì)變換相對(duì)變換 舉例說明：舉例說明：例例1

15、：動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系0起始位置與固定參考坐標(biāo)系起始位置與固定參考坐標(biāo)系0重合重合,動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系0做如下運(yùn)動(dòng)：做如下運(yùn)動(dòng)：R(Z,90) R（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩陣，求合成矩陣 解解1：用畫圖的方法：用畫圖的方法： ozyx74-3owuvvuwzyxoo(o)xyzuvwzyxuwo(o) v解解2：用計(jì)算的方法：用計(jì)算的方法 根據(jù)定義根據(jù)定義1，我們有：，我們有：1000701030014100 )R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3 ,Trans(4T 以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準(zhǔn)，因此矩陣左乘。以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準(zhǔn)，因此矩陣左乘。如

16、果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果：如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果： 例例2：先平移先平移Trans (4,-3,7)；繞當(dāng)前繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)90； 繞當(dāng)前繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)90；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。 vw （2-202-20）解解1：用畫圖的方法：用畫圖的方法 zyxo(o)vwuzyxoowuvozyxowvuxyzoowuv解解2：用計(jì)算的方法：用計(jì)算的方法 1000701030014100)R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3 ,Trans(4Too式（式（2-202-20）和式（）和式（2-212-21）無論在形式上，還是在結(jié)果上都是）無論在

17、形式上，還是在結(jié)果上都是一致的。因此我們有如下的結(jié)論：一致的。因此我們有如下的結(jié)論：動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有2 2種情況：種情況：定義定義1 1：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。定義定義2 2：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。 結(jié)果均為動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿（位置結(jié)果均為動(dòng)坐

18、標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿（位置+ +姿態(tài)）。相姿態(tài)）。相對(duì)于固定坐標(biāo)系，對(duì)于固定坐標(biāo)系，軸。軸相當(dāng)于軸，軸相對(duì)于軸，軸相當(dāng)于ZYXwv 也就是說，動(dòng)坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，也就是說，動(dòng)坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，要達(dá)到繞固要達(dá)到繞固定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。 機(jī)器人用到相對(duì)變換的機(jī)器人用到相對(duì)變換的時(shí)候比較多時(shí)候比較多 例如機(jī)械手抓一個(gè)杯子，例如機(jī)械手抓一個(gè)杯子，如右圖所示，手爪需要如右圖所示，手爪需要轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度才抓的牢，轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度才抓的牢，相對(duì)于固定坐標(biāo)系表達(dá)相對(duì)于固定坐標(biāo)系表達(dá)太麻煩，可以直接根據(jù)太麻煩，可以直接根據(jù)手爪的坐標(biāo)

19、系表示手爪的坐標(biāo)系表示 但也要知道在但也要知道在O中的位中的位姿，就用右乘的概念。姿，就用右乘的概念。 xyzoH2.2.5 2.2.5 繞通過原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換繞通過原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換 有時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系有時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系OO 可能繞過原點(diǎn)可能繞過原點(diǎn)O O的而分量分別為的而分量分別為rx、ry、rz的任意單位矢量的任意單位矢量r 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)角。角。研究這種轉(zhuǎn)動(dòng)的好處是可用研究這種轉(zhuǎn)動(dòng)的好處是可用OO 繞某軸繞某軸r 的一次轉(zhuǎn)動(dòng)代的一次轉(zhuǎn)動(dòng)代替繞替繞OO各坐標(biāo)軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動(dòng)各坐標(biāo)軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動(dòng)為推導(dǎo)此旋轉(zhuǎn)矩陣，可作下述變換：為推導(dǎo)此旋轉(zhuǎn)矩陣，可作下述變換：a.繞繞X 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角，角， 使使r

20、軸處于軸處于XZ平面內(nèi)平面內(nèi)a.繞繞Y 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)-角，使角，使r 軸與軸與OZ軸重合軸重合a.繞繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角角b.繞繞Y 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角角c.繞繞X 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)-角角XYZrxryrzABCDBO51243rA由上圖容易求出：由上圖容易求出：2z2yyrrrsin2z2yzrrrcosxxrrrrOCsin2z2y2z2yrrrrrOBCBcos由定義由定義1和定義和定義2，上述，上述5次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為：次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為：cossin0sin-cos0001cos0sin010sin-0cos1000cossin0sin-coscos0sin-010sin0coscossin0s

21、incos0001RRRRRR,x,y, z,y,x, r（2-252-25）帶入式帶入式（2-252-25），得），得cos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rR2zxzyyzxxzyyzx2yzyxzyx2x, r2.2.6 2.2.6 齊次交換矩陣的幾何意義齊次交換矩陣的幾何意義 設(shè)設(shè)T= T= ，有一個(gè)手爪，已知其在，有一個(gè)手爪，已知其在OO的位置，設(shè)一個(gè)的位置，設(shè)一個(gè)該坐標(biāo)系該坐標(biāo)系OO ，已知，已知， ，那么，那么OO 在

22、在OO中的齊次坐中的齊次坐標(biāo)變換為標(biāo)變換為 ，如果手爪轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，如果手爪轉(zhuǎn)了一個(gè)角度， 則：則：1000321twzzztwyyytwxxx111cbao1000100010001T 1111cba1000pppTzyyyxxxzzzyxwwwT T反映了反映了O O 在在O O中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)系原點(diǎn)中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)系原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。該矩陣可以由該矩陣可以由4 4個(gè)子矩陣組成，寫成如下形式：個(gè)子矩陣組成，寫成如下形式：比例系數(shù)透視矩陣位置矢量旋轉(zhuǎn)矩陣11311333wfPRTzzzy

23、yyxxxwww33R為姿態(tài)矩陣，表示動(dòng)坐標(biāo)系為姿態(tài)矩陣，表示動(dòng)坐標(biāo)系OO 在固定參考在固定參考坐標(biāo)系坐標(biāo)系OO中的姿態(tài)，即表示中的姿態(tài)，即表示OO 各坐標(biāo)軸單各坐標(biāo)軸單位矢量在位矢量在OO各軸上的投影各軸上的投影 為位置矢量矩陣，代表動(dòng)坐標(biāo)系為位置矢量矩陣，代表動(dòng)坐標(biāo)系OO 坐標(biāo)坐標(biāo)原點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系原點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系OO中的位置中的位置 TzyxpppP13為透視變換矩陣，在視覺中進(jìn)行圖像計(jì)算，為透視變換矩陣，在視覺中進(jìn)行圖像計(jì)算，一般置為一般置為0 0 000f31為比例系數(shù)為比例系數(shù) 1 11w如果需要求解如果需要求解OO在在OO 中的位置和姿態(tài)，此時(shí)的齊次變換矩中的位置和姿態(tài)，此

24、時(shí)的齊次變換矩陣為陣為 ，即求逆矩陣：，即求逆矩陣： 1T1000)(RT13T331PRT kpjpippzyx其中：其中：這些式子以后經(jīng)常遇到，這些式子以后經(jīng)常遇到，在機(jī)器人計(jì)算中，所要在機(jī)器人計(jì)算中，所要求的就是齊次變換矩陣求的就是齊次變換矩陣習(xí)題習(xí)題1 1：O O 與與O O初始重合，初始重合，O O 作如下運(yùn)動(dòng)：作如下運(yùn)動(dòng)：繞繞Z Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)3030 ；繞繞X X軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)6060 ；繞繞Y Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 。求。求T T。 100001000030cos30sin0030sin30cosR11000060cos60sin0060sin60cos000012R10000

25、90cos090sin0010090sin090cos3R1000002/12/302/34/34/102/14/34/3123RRRT習(xí)題習(xí)題2 2：OO 與與OO初始重合，初始重合，OO 作如下運(yùn)動(dòng)：作如下運(yùn)動(dòng)：繞繞X X軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 ；繞繞w w軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 ；繞繞Y Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 。求。求 T T；改變旋轉(zhuǎn)順序，如改變旋轉(zhuǎn)順序，如何旋轉(zhuǎn)才能獲得相同的結(jié)果。何旋轉(zhuǎn)才能獲得相同的結(jié)果。 1000090cos90sin0090sin-09cos00001R1100001000090cos90sin0090sin90cos2R1000090cos090sin00100

26、90sin090cos3R1000001001000001213RRRT解解： 解解： 繞繞Z Z（w w）軸轉(zhuǎn)動(dòng)）軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 ； 繞繞X X軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 ； 繞繞Y Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 。 變換方程變換方程（Transform equations） 研究一下圖描述的研究一下圖描述的一個(gè)物體與機(jī)械手一個(gè)物體與機(jī)械手情情況，機(jī)械手用變換況，機(jī)械手用變換 Z 相對(duì)于基坐標(biāo)系被定位。相對(duì)于基坐標(biāo)系被定位。機(jī)械手的端點(diǎn)用變換機(jī)械手的端點(diǎn)用變換 ZT6 來描述，而末端執(zhí)行器來描述，而末端執(zhí)行器用變換用變換 T6E 來描述。物體用變換來描述。物體用變換 B 相對(duì)于基坐相對(duì)于基坐標(biāo)系被定位。

27、最后，機(jī)械手末端抓手用變換標(biāo)系被定位。最后，機(jī)械手末端抓手用變換 BG相對(duì)于物體被定位。末端抓手位置的描述有兩種相對(duì)于物體被定位。末端抓手位置的描述有兩種方式，一種是相對(duì)于物體的描述，一種是相對(duì)于方式，一種是相對(duì)于物體的描述，一種是相對(duì)于機(jī)械手的描述。由于兩種方式描述的是同一個(gè)機(jī)械手的描述。由于兩種方式描述的是同一個(gè)點(diǎn)，我們可以把這個(gè)描述等同起來，得到點(diǎn)，我們可以把這個(gè)描述等同起來，得到 Z ZT6 T6E = B BG 這個(gè)方程可以用有向變換圖來表示。圖的每這個(gè)方程可以用有向變換圖來表示。圖的每一段弧表示一個(gè)變換。從它的定義的坐標(biāo)系一段弧表示一個(gè)變換。從它的定義的坐標(biāo)系向外指向。向外指向。 用用 Z- -1左乘和用左乘和用E- -1右乘方程，得到右乘方程，得到 T6 = Z- -1 B G E- -10EGBZT6zyx一個(gè)物體與機(jī)械手有向變換圖GBET6Z0例題：例題：試求立方體中心在機(jī)座坐標(biāo)系試求立方體中心在機(jī)座坐標(biāo)系0中的位置中的