1、幾何綜合探究題滿分訓練類型1探究線段長度的極值和定值問題1. （2018 某高新一中模擬）如圖，直線 l外有一點D,D到直線l的距離是5,在 ABC中, /ABC=90 , AB=6,tan / CAB，邊AB在直線l上滑動，則四邊形 ABCD勺周長的最小值是3多少？D第I題圖2. （2018 某鐵一中模擬）如圖，在矩形ABCD43, AB=4,BC=2,E, F分別是AB, CD上的動點，且EF± AC,連接EC, FA,求EC+FA勺最小值是多少。呵呵復活復活復活3. （2018 某交大附中模擬）在 ABC中，/ACB=90 , AC=BC=4,D是AB的中點，P是平面 上一點，

2、且DP=1,連接BP, CP,將線段PB繞點P順時針旋轉90° ,得到線段PB',連接AB . 則AB'的最大值為多少？BC第3題圖4. （2018 某工大附中模擬）（1）如圖， ABC和 DEC均為等腰直角三角形，且/ BAC=，、AD/CDE=90 , AB=AC=3,DE=CD=1 AD,BE,求。BE（2）如圖，在 RtABC中，/ ACB=90 , / B=30° , BC=4,過點 A作 AMLAB,P 是射線 AM 上一動點，連接 CP,作CQL CP,交線段AB于點Q,求PQ的最小值。（3）小姜準備加工一個四邊形零件，如圖，這個零件的示意圖為

3、四邊形ABCD要求BC=4,/BAD=135 , / ADC=90 , AD=CD請你幫小姜求出這個零件的對角線BD的最大值。類型2探究圖形面積的最值問題5. 【問題提出】如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , AB=8,4ABC的最大面積是 。(2)如圖，在菱形 ABCD4對角線 AC+BD=14求菱形的最大面積。【問題解決】(3)如圖，趙師傅用一個半徑為a的圓形板材，想制作一個面積最大的矩形。能否裁出?若能，請算出這個矩形的最大面積；若不能，請說明理由。(1)如圖，在矩形(2)如圖，在矩形 點Q在AD邊上，且/【問題解決】6. (2018 某工大附中模擬)【問題探究】ABCD43, P是

4、AB上一點，請在 AD上求作一點 Q,使/ QPC=60 。ABCD43, AB=7,P 是 AB上一點.，且 AP=3,E 是 BC上一點，且 BE=43, QPE=60 ,求 PQE的面積。(3)為了積極響應政府“建設美麗城市，改善生活環境”的號召，某小區建造如圖的休閑廣場。在矩形 ABCD43, AB=100米，BC=180米，P為 AB上一點，且 AP ： PB=2： 3,E 為 BC 上一點，點Q在AD邊上，且滿足/ QPE=60 ,其中 APQ 4BPE為景觀綠化區，四邊形CDQE 為健身休閑區， PQE商業活動區，為了更好地服務于廣大業主，希望極大地減少商業服務區的面積，那么按此

5、要求修建的商業活動區PQE是否存在最小面積？如果存在，求出最小面積；如果不存在，說明理由。 第6瓢圖7. (2018 某高新一中模擬)(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3Z BAD之BCD=90 , / ADC=60 ,貝U四邊形 ABC曲面積為多少？(2)如圖，在四邊形ABCD中，/ BAD=/ BCD=90 , / ABC=135 , AB=2>/2 , BC=3,在AD CD上分別找一點E, F,使BEF的周長最小，并求出最小周長。(3)如圖，在四邊形 ABCM, AB=BC=2,AD=CD=3Z ABC=150 , / BCD=90 ,在四邊形 ABC邛(包

6、括邊緣)是否存在一點 E,使/ AEC=30 ,且使四邊形 ABCE勺面積最大？若存在， 找出點E的位置，并求出四邊形 ABCE勺最大面積；若不存在，請說明理由。8. (2018 某高新一中模擬)如圖，在四邊形ABCN,如果對角線 AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為“等角線四邊形”。(1)在“平行四邊形、矩形、菱形”中 是“等角線四邊形”(填寫圖形名稱)； 若M,N,P,Q分別是等角線四邊形 ABCD9邊AB,BC,CD,DA的中點，當對角線 AC,BD還要滿 足 時四邊形MNPQ1正方形。(2)如圖，在 ABC中，/ ABC=90 , AB=4,BC=3,D為平面內一點，若四

7、邊形 ABCD等角 線四邊形，且AD=BD求四邊形ABCD勺面積。(3)如圖，在 ABC中，/ ABC=120 , AB=BC=4點E是以C為圓心1為半徑的圓上一動 點，D為平面內一動點，若四邊形 ABED "等角線四邊形”，求四邊形 ABED的面積的最大 值，并說明理由。第8題圖 類型3 探究圖形面積的分割問題9 .【問題探究】(1)如圖，點P為平行四邊形 ABC咕一點，請過點P畫一條直線li,使其將平行四邊形 ABC防成面積和周長分別相等的兩部分。【問題探究】(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC勺邊OA OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為(8, 6)。已知

8、點P (6, 7)為矩形外一點，請過點 P畫一條能將矩形 OABO成面積和周長分別相等的兩部分的直線12,說明理由并求出直線l 2被矩形OABCm的線段的長度。【問題解決】(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，五邊形OABCD勺邊OA OD分別在x軸、y軸的正半軸上，DC/ x 軸，AB/ y 軸，且 OA=OD=8 AB=CD=2 點 P (10-5 J2 , 10-5 J2 )為五邊形OABC吶一點。請問：是否存在過點 P的直線13,與邊OA BC分別交于點E, F,且將五 邊形OABC野成面積和周長分另1J相等的兩部分 ？若存在，請求出點E和點F的坐標；若不存在， 請說明理由。第9題圖1

9、0 . (2018 交大附中模擬)【問題探究】(1)如圖，在平面直角，坐標系內，M是邊長為4的正方形ABCR上一點，請過點 M (0, 3)作一條直線，使它將正方形的面積二等分，求這條直線的解析式。4 公(2)如圖，在平面直角坐標系中有A (1,4) ,B (4,0)兩點，請過點 C. 3- 作一條直,3線將 ABO勺面積二等分，求這條直線的解析式。【問題解決】(3)農民張伯伯有一塊四邊形空地，如圖，在四邊形 ABCD,AB=2 km,BC=4km, / BAD=90/BCD=90，/ABC=120 ,張伯伯想過點 C修一條路將四邊形 ABCD勺面積等分為相等的兩 部分。這樣的路是否存在？若存

10、在，求出路的長度；若不存在，請說明理由。第10題圖11.【問題探究】定義：若一條直線平分任意一個幾何圖形的面積，則稱這條直線為該幾何圖形的面積等分線。(1)如圖，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線；第11題圖(2)如圖，在四邊形 ABCD, AB與CD不平行，ABwCD且SaabcV Saacd,過點A畫出四 邊形ABC而面積等分線，并寫出理由。【探索應用】(3)小張有一塊正方形的土地如圖，由于修建高速公路被占去一塊三角形BCP區域。現土地變為四邊形ABMD要求補償后的四邊形 ABMDM在射線BP上，請你在圖中畫出點 M的位置，并決定在DP右側補給小張一塊土地， 補償后，

11、 的面積與原來正方形 ABCD勺面積相等且點 簡要敘述其作法。 第II題圖類型4探究符合條件的點的問題12. (2015 陜西中考)如圖，在每一個四邊形 ABCM,均有AD/ BC, CDL BC, / ABC=60 , AD=8, BC=12(1)如圖，M是四邊形ABCDi AD上的一點，則 BMM面積為 。(2)如圖，N是四邊形ABCDi AD上的任意一點，請你求出 BNB長的最小值。(3)如圖，在四邊形 ABC曲邊AD上，是否存在一點 P,使得cos / BPC的值最小？若存 在，求出此時cos/BPC的值；若不存在，請說明理由。第12題圖13. (2014 陜西中考)【問題探究】(1)

12、如圖，在矩形ABCD, AB=3 BC=4如果BC邊上存在點 P,使APD為等腰三角形， 那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形APD并求出此時BP的長。(2)如圖，在 ABC中，/ ABC=60 , BC=12, AD是BC邊上的高，E, F分另為邊 AB, AC 的中點。當 AD=6時，BC邊上存在一點 Q 使/ EQF=90 ,求此時 BQ的長。問題解決(3)有一山莊，它的平面圖為如圖的五邊形ABCDE山莊保衛人員想在線段 CD上選一點M安裝監控裝置，用來監視邊AR現只要使/ AM耿約為60。，就可以讓監控裝置的效果達 到最佳，已知/ A=ZE=Z D=90° , AB=270 m

13、, AE=400 m, ED=285 m, CD=340 m,問：在線 段CD上是否存在點 M使/ AMB=60 ?若存在，請求出符合條件的DM的長；若不存在，請說明理由。第13題圖參考答案L I解】如答圖.過點。作直線/的平行線二作點C關于直線廠的對稱 點C'連接"'交直線T于點力,連接CO'OCQ因為6 6,g所以8C=2n要使四邊形48m的周氏最小，即使gCO的值最小。因為。到直線，的距離是5 ,BC = 2,所以。到直線廠的距離為3,即CCf = 6 .所以比7二跳在KiZUHC'中，由勾股定理，得.4C'= J6+8夏=10所以 AD

14、+CD=4D+DC'注 4C,所以四邊形AHC心的局長的最小值為1，A D第1題答圖第2題答圖2.【解】如答期，分別以EF,EC為邊構造平行四邊形ECHF,連接 從過點F作FG/BC交于點小S = 4.HCd；,AC = 2再rp j o易證"(；2ZU比二誓告.rE .4C24即走二壺，解得£F = CH=反易證乙iCHgcr,A在Kt A4CH中，由勾股定理，得4H二J(26尸+(6尸=5 w F+FH=4F+£C=二£C+FA的最小值為5口3解】由題意知，主劭點為匕從動點為8丁首先分析主動點P繞點 “做留用運動從而確定從動點*必然也做相同的

15、圓冏運動：其次 分析從動點才繞點戶順時針旋轉90、相當于將點尸繞點8逆時針 旋轉45ct后進行五倍的位假放大得到點" .相應地,毒一次點"的 運動都是由時應點尸所在國的位置變化而來的,故位似比不變，整體捆梆.那么圓D相當于舞點8逆時針旋轉451然后.厄倍的位似 放大得到點H所在畫的闞心，連接"'與圓沙的交點即為".根 據點與圜的位置關系.易得上”的最大值為4.在二D第4題答圖和CDE均為等腰直角三角形,乙8AC:乙 CDE= 9gt1 . A8 = AC = 3. DE = CD = I，則 此二3顯忑 ;姓,£ACB= £.

16、EC1) = 45 哆=區乙8CE=心83=區 jli U11W LJ，££/.""則替=HL Z(2)V Z(Z4P+yCP=l80°. A.QX.P 四點共圓=*/ £6二301上 rfl-4C = 60%又 4H145,/. C.4P=zCVP=30°t/. CP=Qf若要使，J最小則使G，最小；當CP_UJf時,C*最小，此時CP = V-AC = ；SCMi 300 =1-x4x亨=雷,.。尸=2。尸=孚=故一。的最小值為孚二(3)如答圖，連接4c取的中點。.則乙CaO = 45>ZB.4D=135DtA 工

17、楂10=90%過點8作破/C.且心8G由題意易得普二絲二后，z£C4 = ZBCDfa AE&sAB皿則 nC也叵BD-XE4£* 2 2-在HiAMC中，。是HC的中點三2二在 RtA£f£d |<£0=2,££=4,. E0- /了+” =2方二若要使雙)最大，則使4£最大即可由點與圓的位置關系可知，當E過點0時最大.故AEWfM+f莊二2+275.故 H"w§x(2 + 26) = VI+JHL 故即)的最大值為 J7T+ /55. K(1)V ZUEC為直角三用形.WH =

18、 g.A根據定邊對定角必有最大面枳的模型可知,當AC=BC時，ZUHC 的面積最大，故ZU8C的最大面積為4姆舅4: 16(2)解法一：根據菱形的性質知,5i AOfi二S3匚門月二*二£門口=S lOD ./.要使羨形一痂以？的面積最大,只需5AAOU最大即可,由(1 )知，當OA=OH時,S1最大口4C+BD=14,a m+0B=7,. ()A=OB = 3.5f/. AAOB 的最大面積為5x3. 5 =6, 125 = HJ菱形ABCD的最大面積為& 125x4=24, 5C解法二:設菱形的一條對免線改為3則另一條對角線長為14-右,S至瑞thojj =14-*);

19、一-.T3+7.r = -(工-7)工+?.1當克=7時，菱形am的最大面枳為24.5=(3)在矩形 4BC/J 41. L0A8 = LA8C = 9(尸. AC = 8。二 2以二由(I)知，當鈕二.4B時,3 H最大t此時S-2義臣ax/S"a=/，故走毛的口 一七。唾一-a =即這個矩形的最大面積為“，&【解】(1)加答圖.構造等邊三角形.則點。即為所求=(2)丫在 RtPBE 中，3n£HPE=器=#="，, rfiPE = 60ao又 士QE:60、. Z.4P(J =60°c/,在 RiG ,4"0 中. "Q

20、= 24尸=2x3 =6 =在Ri尸RE中.根據勾股定理.得=故S二尸0 * PE £in 60° = 7t-x6x8 2753乙士，(3)如答圖.分別延氏QP.EB相交于點也 4P： PB=2 ： 3,M = IOO,易證?從A PQ i PH 2 ： 3 .叫 60-濘絲二-1-二、aERH 3要使%上£的面積最小，只要£/%的面積最小即可二 £°£二60，£E尸目=1201 ZYEPH的邊HE上的高為定 境，根據定用夾定高,面積必有最小.得當三角形，沙超為等櫻三偉 形時，面積最小，此時/% = 2a J,乙E

21、/W=60,在RlA/JB£皿】60=三60萬，二 HE二 120萬,、S用=3 600萬.40() A r故技，要求修建的商業活動區存在最小面枳.最小面枳為2 400萬米，第6題答圖7.【解】(I )由題意知.&HA。.-.aCDB= aADH = -AADC=30os uL-.在 KlAC/J +，C = CD - ian 30t=3、亨二/1,六,國選壽mg產2x-x/Tm3 =3丹阜心)如答圖，分別作點H關于CD.M的對稱懸廠”連接8E 分別交于點£,凡延長CB到點Q,使雙：LCQ于點也 丫點8關于CD,AD的對稱點分別為日二歹,二二/網 =6 = 又：z_

22、4BC= 135°r/. £QBF =45、在RtABQB叫i,由勾股定理.得B Q =fip=4o在的B'QB”中，由勾股定理，得X'£T= 7l02+42 =2 網.-.HEF 的最小周長為以E4EF+EF = H"E;EF+*F=*5 =2 曬二 (3)由作圖知，當£工三Yr時，點£在四邊形48CO中或者在CO邊上.當乙4<90 口時,不存在這樣的點=如答圖2,連接",以4C為邊作等邊三角形AC”.以“為圓心K 長為半徑作阿，交于點邑連接-4£o由定邊定角必有最大面積知,當£。

23、=£4時，&4CE的面積最大, £出。二1501乙4£。=301，丸R,O,E四點共圜，又r R,4=HC三點共線且BE為圓0的直徑.延氏EA, CB相交于點R則/用F=9(T ,£FR4 = S0,在Rt"84中月=2,*=事"二殍工2座FC 七+ 3=2+4=在H3CE中小凸/T-Uui 3(© §現i再說/的最大值為§ “*-S= (273+4)IXT-。口漆r7E第7題答圖【反思】隱形圓的判定到定點距高等于定長的點共圓2 蛆對 角互補的四邊形共圓3 一個外角等于和它不相鄰的內對角的四 邊形

24、共呷閏蝴蝶型對應用相等時.四點共圓。宮解)矩形；2(2)如答圖,過。作/?E_U占于點E.延長EC,作加U此于點心 在 RlAJBC 中，、出=4,BC=3，則 AC=5,A .4C = Dfi=4D-5a 在班&4E。中.由勾股定理得加E=.在K= -x4x y5T+-x3x2=2 T+3fi)如答圖,延長C交圓C于點£.過點C作CH _ 4H交AH的 延長線于點也 在 山出CH中.6H=SGcss &爐= 2.CH = 2萬：在 KiAKH中.由勾股定理得MC = 47T,如=4"+1=由點與圓的 位置關系可知,此時止最長.過出作MJ 一壯；且小二MA如

25、答圖 ，易知此時四邊形ABED的面根最大口B H 第8題答圖9.【解】(1 )如答圖，連接相交于點。，過點億作直線 人，則直線即為所求.(2)如答圖2 .連接JC*仇相交于點過點。二尸作直線L與 6二。工分別交于點",工。(04)，俄8,6),在矩形。48。中,(T為0E的中點，。'(4,3)=又*.,巴 6,7),設直線戶力'的解析式為尸hN.(6k+b = 7 TfA = 2,1一 解得，l4A+/ = 3. V> = -5CJ. v = 2j-5 £* 1存在直線& ：Fx.將五邊形OABCD分成面積和周長分別相等 的兩部分,v職10-5

26、反&5在直戰尸上.，連接。尸并延氏分別交OA.BC于點RF.如答圖；設直線BC的解析式為產，川隊2,口2聲),*'解得。":.直線胡：的解析式為，=-工+1口., fj = -i+10,fx=5,聯立，包彳導W=M*I片 5./. E(Ofl)tF(S.5)e第g題答圖10 J解】m如答圖四邊形ABCD是正方形.點H在AO上，根 據中心對稱圖形面枳平分模型，直線必過正方形H現方的對稱中 心，即對角線的交點"易知做223設直線MH的解析式為工人*3二直線過點H(2,2)f .二* = -r*,，直線-V/Y; j = -jc+3 ；(2)設直線/IE的解析式為

27、丁二卻工功；直線過點Y K),點 見4,0).4L1 一 4 = k1+h .。解得“L 3 ,16J,直線、出丁 = -去工+號,.-q3，Y)在直線4H上,如答圖2 n 設直線CD將JOB的面積二等分.則S%也=-S乙討日=>4工二=4二 易知直線犯的解析式為尸孔， ，.點£的坐標為(十.3-)= C£ = 3- = .0 "*(>>>> *點"的坐標為(十,1),-,.這條直線的解析,式為片看什祟 第10題答圖(3)如答圖，建立平面直角坐標系.使.40在工軸上一加在軸 上過點C作CG±v軸星軸，過點B作直線B

28、E/AC交工軸 于點E.連接C心由題意，得S工力到es = S.(；印，取DE的中點 從連接CH,直線CH即為所求直線;在 RtACGB 中，乙 CROmW ,HC=4,加2"。="=2/£(2瓦4),J, 66 = CF=43在 RtzifFD 中，乙CZJF = 601UF = 4,得 FU =半.加哈設直線AC的解析式為產3門直線過點CQR4, a直線as尸手h又7 H“AC，：.直線阻尸孥工隹當7=0 時，工£(-VTpO),/,塞二冬叵.易得H廣二季3D在也口，中.由勾段定理r得CH=J| 5；川：=L二【解】(1)如答圖，連接之個矩形的對角線

29、的交點的直線即把這 兩個圖形分成2個相等的部分,即門。為這個圖形的一條面枳等 分線.(2)如答圖二過點H作HE/AC交DC的延長線于點心連 接見，:HEffAC,，AHC和£心的公共邊AC上的高也相等.J，$四邊/4HS = S+S &ABC.S&AS +$心4£匚= S=一 ¥ ACD AARC '，面積等分線必與c/j相交.取DE的中點匕則直線“.即為要求 作的四邊形48C。的面積等分線二(3)如答圖,連接加以過點C作H1)的平行線交BP的延氏線于點L,連接曾(則6心力小產S“獨二亂立就N-S&HDP儂小也掰# .即Sd拄卡產0

30、apetj /六補償后的四邊形."W0的面積與原來正方形AHC1)的面積相等 且點JF在射線出上，第11題答圖2.解(1)24再 如答圖了.過點作配垂足為E四邊形 AECD 為矩形，£。=.40 = 8.8£ 二月匕一£匕二122=4二在 IhAABE 中，乙8£二&尸,8£=4cA8 = 2H£ = 8,，月£二,/筮一爐=4萬.則 3： = 8C，£ = 24.瓦 £(2)如答圖，過點一4作4E，bC.垂足為E.作點C關干直線A。 的對稱點C1連接LV,C,"C2交40于點

31、A二連接所則 BX+NC = 8"W7芬叱=村心二A 區、七周長的最小值為曲WC的周長，即為用V4CVMC匚Hd由(1)可得AE=4。.二 CCS = 2AE=2樂二 BC=12,，8C'= JRC'd =4 TIT,，81C冏氏的最小值為4/5T+12.(3)四邊形MC0的邊AD上存在點P.使得仃倬£ 8PC的值最小， 如答圖，作出6的垂直平分線尸。.交BC于點。.交.短于點 兒連接B巴CR作_出七的外接圓0。,GO與直線PQ交干 點-V,則PE"C.圓心0在KV上°v WBC.z. Q0與4"相切于點兒-F0 = O(?=4

32、7T,80 = ;sC = 6,J P0>8。，A £/PC<904圓心。在弦BC的上方.在以上任取一點連接產心尸C,尸B交0。于點U,連 接時/.當上班C最大時qWBPC的值最小M連接。乩則乙以) = 2 L NRV =乙HPC=; 0占三。尸二4有一0。，在RtABOQ中，根據勾股定理.得。必+3 =(4#-0(?)解得f心gj酢吟,，亡(哈乙R尸。三仃心Z_ B。=三1= ()D7故在四邊形ABCD的邊曲上.存在一點尸,使得匚5乙的值最小.此時i OS L HPC的值為3- nCf *N第12強答圖】3解】(1)作/0的垂直平分線交6C于點巴如答圖，則 m叭.二/乜分是等提三角形.V四邊形3co是矩形. 41) = 851, HP ; C七-占。=4.，BP=C/J = 2.TW作。尸二.40,交出。于點尸'.如答圖.：是等展三角形。V四邊形MC0是矩形，:.AD = 8C,AR=心乙 C=加'