1、2007年浙江省高中數學競賽（卷）參考答案一、 選擇題1.如果，則使的的取值范圍為（ B ）A. B. C. D. 解：顯然，且。要使。當時，即；當時，此時無解。由此可得， 使的的取值范圍為。2.已知集合，則（C）A. B. C. D. 解：沒有實數可以使上述不等式成立。故。從而有。3.以為六條棱長的四面體個數為（B）A. 2 B. 3 C.4 D. 6解：以這些邊為三角形僅有四種：，。固定四面體的一面作為底面：當底面的三邊為時，另外三邊的取法只有一種情況，即；當底面的三邊為時，另外三邊的取法有兩種情形，即，。其余情形得到的四面體均在上述情形中。由此可知，四面體個數有個。4.從至169的自然數

2、中任意取出個數構成以整數為公比的遞增等比數列的取法有（ C ）種。A. 89 B. 90 C.91 D. 92解：若取出的個數構成遞增等比數列，則有。由此有。當固定時，使三個數為整數的的個數記作。由，知應是的整數部分。，,，,. 因此，取法共有。5.若在復平面上三個點構成以A為直角頂點的等腰直角三角形，其中，則ABC的面積為（ A）A. B. C.1 D. 解：依題意，。ABC的面積為。2007重6. 的末二位數字是（C） A. 01 B. 07 C.43 D. 49重解：記。題目要求的末二位數。其中M為正整數。由此可得的末二位數與的末二位數字相同。首先來觀察的末二位數字的變化規律。23456

3、789的末二位數字4943010749430107的末二位數字的變化是以為周期的規律循環出現。（為奇整數）（為正整數）因此，與的末二位數字相同，為43。二、 填空題7. 設為的單調遞增數列，且滿足，則。解：（由題意可知取正號。）因此，公差為的等差數列，即。從而可得。8. 設為方程的根（），則。解：由題意，。由此可得，以及。9. 設均為非負實數，則的最小值為2007。解：在直角坐標系中，作點，。則I（應用三角不等式）2007。如果取，即，那么I取到最小值2007。10. 設是定義在R上的奇函數，且滿足；又當時，則。解：依題意，即是以為周期的周期函數。因為當時，且為奇函數，所以當時，。此時有。可得

4、。又因為是以為周期的周期函數，所以也有，（）。11. 設，則不超過的最大整數為。解：,不超過的最大整數為。12. 整數，且，則整數組為。解：方程兩邊同乘以，得。因為，所以要使左邊為奇數，只有，即。則。要使左邊為奇數，只有，即。從而有，即。故有。三、 解答題13. 已知拋物線和點。過點任作直線，交拋物線于B,C兩點。（） 求ABC的重心軌跡方程，并表示成形式；（） 若數列，滿足。試證：。解：（）設過的直線方程為。又設，聯立方程組， 消去，得。從而有，。 設ABC的重心坐標為，則 消去k，即得。 （）因為，所以，上式右邊等號成立當且僅當。假設，則， 上式右邊等號成立當且僅當。由此得到（）。從而有 。 14. 設正實數及非負實數滿足條件求的最小值，并論證之。解：根據，有 .（） 上式取等號當且僅當。 15. 設，為子集。若，且存在，則稱為“好集”。求最大的，使含的 任意33元子集為好集。解：令，。顯然對任意，不存在，使得成立。故是非好集。因此。 下面證明：包含21的任意一個33元子集A一定為好集。設。若1，3，7，42，63中之一為集合A的元素，顯然為好集。 現考慮1，3，7，42，63都不屬于集合A。構造集合，。 由上可見，每個集合中兩個元素都是倍數關系。考慮最不利的情況，即，也即中16個元素全部選作A的元素，A中剩下16個元素必須從這15個集合中選取16個元素。