1、橢圓的幾何性質課時目標 1.掌握橢圓的范圍、 對稱性、 頂點、 離心率等幾何性質 .2.明確標準方程中 a， b 以及 c，e 的幾何意義， a、b、c、e之間的相互關系 .3.能利用橢圓的幾何性質解決橢 圓的簡單問題221若橢圓的標準方程為 xa2 yb2 1 (a>b>0) (1) 方程中 x、y 的取值范圍分別為 (2) 橢圓關于 、 和 都是對稱的，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做 (3) 橢圓的四個頂點坐標為 長軸長為，短軸長為 2橢圓的焦距與長軸長的比 e ，叫做橢圓的離心率，離心率 e的范圍當 e越接近 1，橢圓，當e越接近于 ，橢圓就越

2、接近于圓一、填空題1橢圓 x2my2 1 的焦點在 y 軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則 m 的值為 222P 是長軸在 x 軸上的橢圓 x2y21 上的點， F1、F2 分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的 ab半焦距為 c，則 PF1·PF2 的最大值與最小值之差一定是 3.已知 F1、F2是橢圓的兩個焦點 .滿足MF1·MF 20的點 M 總在橢圓內部，則橢圓離心率 的取值范圍為 4設 0<k<9 ，則橢圓5如圖所示，2A、B、22222為橢圓 xa2 yb2 1 (a>b>0)的頂點與焦點，若ABC 90°，則該橢圓的離心率為56已知橢圓的中

3、心在原點，焦點在x 軸上，離心率為 5 ，且過點 P( 5,4)，則橢圓的方程為 227直線 x2y 2 0 經過橢圓 xa2yb2 1 (a>b>0)的一個焦點和一個頂點， 則該橢圓的 離心率為 228橢圓上 x9 2y51 上到兩個焦點 F1， F2距離之積最大的點的坐標是 二、解答題9.22如圖，已知 P 是橢圓 xa2 yb2 1 (a>b>0) 上且位于第一象限的一點， F是橢圓的右焦點， a2O 是橢圓中心， B 是橢圓的上頂點， H 是直線 x c (c 是橢圓的半焦距 )與 x 軸的交點， c若 PFOF，HB OP，試求橢圓的離心率 e.10.已知橢圓

4、 4x2 y2 1 及直線 yx m.(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數m 的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程能力提升11若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率為12已知在平面直角坐標系 xOy 中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F1( 3，0)，且右頂點為 D(2,0) 設點 A 的坐標是 1，12 .(1)求該橢圓的標準方程；(2)若P是橢圓上的動點，求線段 PA的中點 M 的軌跡方程1橢圓的范圍實質就是橢圓上點的橫坐標和縱坐標的取值范圍，在求解一些存在性和 判斷性問題中有著重要的應用2橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形橢圓的對

5、稱性在解決直線與橢 圓的位置關系以及一些有關面積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用3橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，通過解方程或不等式可以求得離心 率的值或范圍4在與橢圓有關的求軌跡方程的問題中要注意挖掘幾何中的等量關系2 2.2 橢圓的幾何性質知識梳理1(1)a，a、b，b (2)x 軸 y 軸 原點 橢圓的中心 (3)A 1(a,0)、A2(a,0)、 B1(0， b)、B2(0， b) 2a 2b2.c 0<e<1 越扁 0a作業設計11.14解析 由題意可得2c22× 2，解得 m1.4.解析 由橢圓的幾何性質得 PF1a c，ac，PF1PF22a

6、，所以 PF1·PF2PF1 PF2 2 2PF1 2 2a2，當且僅當 PF1PF2 時取等號2 PF1·PF2PF1(2aPF1) PF122aPF1 (PF1 a)2 a2 c2a2b2， 所以 PF1·PF2 最大值與最小值之差為 a2b2c2. 3. 0， 22 解析 MF1·MF 20，M 點軌跡方程為 x2y2 由題意知橢圓上的點在圓 設點 P 為橢圓上任意一點，則 由橢圓性質知 OP b，其中 b>c， c2<b2a2c2， c 2<1， ec< 2. a <2， ea< 2 . 又 0<e<

7、;1， 0<e< 22.c2，其中 F1F2 為直徑，4焦距x2y2c2 外部， OP>c 恒成立， b 為橢圓短半軸長， 22a >2c ，2 x 解析 由 0<k<9 ，知 0<9 k<25 k，橢圓9 k 25 k2y 1 焦點在 y 軸上，焦距為 8.而22橢圓 x y 1 的焦點在 x 軸上，焦距也為 8. 25 9 1 55. 2解析 由 (a c)2a22b2 c2，得 b2 ac，又b2a2c2，c2aca20，c 2 1 5 e ， e e 1 0， ea226.4x53y6145 36解析 設橢圓的方程為2x2 a又離心率 e

8、 ca525 ，即 e2 22x y 1. 45362yb21 (a>b>0)，將點 (5,4)代入得 2a52 1b62 1，222c2 a b 1 2 2 2 2 ，解之得 a2 45，b2 36，a a 5故橢圓的方程為257.255解析 由題意知橢圓的焦點在 x 軸上，又直線 x2y20與 x 軸、y軸的交點分別為 (2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點， 所以 b1，c2，從而 a 5，eca255.a58( ±3,0)解析 設橢圓上的動點為 P，由橢圓定義可知PF1 PF2 2a 10 ，所以 PF1× PF2PF1 PF225，當且僅當

9、 PF1PF2 時取等號；PF1PF210；由PF1PF2.解得 PF1PF25a，此時點 P 恰好是橢圓短軸的兩個端點，即 9解 依題意知 H ac ，0 ，F（c,0），B（0，b）設 P（xP，yP），且 xP c，代入到橢圓的方程，b2 .a.得 y P ba . P c，HBOP， kHB kOP，b2b 0 a 2 即2 . ab c2.ac0cP(±3,0)cb e ，ac e e 1 0.22e2a2c22 c2 e21. 0<e<1， e512.4x2y21，25.10解 （1） 由yxm，得 5x 2 2mx m21 0.因為直線與橢圓有公共點， 所以 4m220(m2 1)0.解得 25 m 25. 故 m 的取值范圍為 25， （2）設直線與橢圓交于 A（x 1，y1）、B（x 2，y2）， 由（1）知， 5x22mxm210， 2m 1 2 x1 x2 5 ， x1x25（m 1）設弦長為 d，且 y1y2（x1m）（x2m） x1x2，d x1x2 2 y1y2 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 24x1x2 5 10 8m .當 m0時，d 最大，此時直線方程為 yx.311.5解析 由題意知 2b ac，又 b2 a2 c2， 4（a2c2）a2 c22ac. 3a 2ac 5c 0. 5c 2ac 3a