1、x = x0 +tc os y = y0 +tsi nPoP=tI PoP I =t為直線上任意一點(2) 若Pl、P2是直線上兩點，所對應的參數分別為tl、t2,貝 U Pl P2=t2 tlI PlP2 I = I t 2 t 1 I(3) 若Pi、P2、P3是直線上的點，所對應的參數分別為ti、則PlP2中點P3的參數為t3=勺空，I P0P3 I =2若 Po 為 P1P2 的中點，貝U tl + t2= 0, tl t20 2、直線參數方程的一般式 過點Po(xo,y)，斜率為k = b的直線的參數方程是at1 t22t2、t3利用直線參數方程t的幾何意義1、直線參數方程的標準式過點

2、Po(xo,y)，傾斜角為?的直線I的參數方程是(t為參數)t的幾何意義：t表示有向線段PoP的數量，P(x , y)x廠xJat(t為參數)j = yo +bt點擊直線參數方程：一、直線的參數方程問題1:(直線由點和方向確定)求經過點Po(xo,y)，傾斜角為g的直線I的參數方程 設點P(x ,y)是直線|上任意一點，(規定向上的 方向為直線L的正方向)過點P作y軸的平行線，過Po作x軸的平行線，兩條直線相交于 Q點._1) 當PoP與直線I同方向或Po和P重合時，PoP= | PoP|則 PoQ= PoPcos：Q P= PoPsin：2) 當PoP與直線l反方向時，PoP、P0Q、Q P

3、同時改變符號PoP= | PoP| PoQ= PoPcos：Q P= PoPsin： 仍成立設PoP= t， t為參數，又PoQ= XXo，XXo = tcos.iQ P= y-yoy-y=t sin_：即丿x =x +tcosc0時，點P在點Po的上方； 當t = 0時，點P與點Po重合；當to時，點P在點Po的右側; 當t = o時，點P與點Po重合； 當to時，點P在點Po的左側;問題2:直線I上的點與對應的參數t是不是一對應關系？我們把直線I看作是實數軸， 以直線I向上的方向為正方向，以定點 為原點，以原坐標系的單位長為單位長，Po問題3:這樣參數t便和這條實數軸上的點P建立了 一 一

4、對應關系.Pi、P2為直線I上兩點所對應的參數分別為貝U PlP2=?，l PlP2 I = ?PoP(x,y)l /Po0ti、t2 ,特別地，若直線I的傾斜角a =o時，直線I的參數方程為丿車y問題4:Po0P2PlP2= PlPo+ PoP2= tl + t2= t2 tl，I PlP2 I = I t2 tl I 若Po為直線I上兩點Pi、P2的中點，Pi、P2所對應的 參數分別為tl、t2，則tl、t2之間有何關系？ 根據直線I參數方程t的幾何意義， PlP= tl， P2P= t2，V Po 為直線 I 上兩點Pi、P2的中點，I | PlP| =|P2P|P2的中點(. PiP3

5、= P2P3,根據直線I參數方程t的幾何意義,PlP= P2P， 即 ti= t2, tit2o 一般地，若Pi、P2、P3是直線I上的點， 所對應的參數分別為ti、t2、t3， P3為Pi、 則t3=2/. PlP3= t3 tl, F2F3= t3 t2, / t3 tl= (t3 t2,)性質一：A、B兩點之間的距離為|AB|=|ti-t2l，特別地，A、B兩點到Mo的距離分別為 Itil，|t2|.性質二：A、B兩點的中點所對應的參數為，若mo是線段AB的中點，貝V2ti to，反之亦然。在解題時若能運用參數 t的上述性質，則可起到事半功倍的效果。應用一：求距離例i、直線I過點P(-4

6、,o)，傾斜角為，且與圓x - y =7相交于a、B兩點。6(1) 求弦長AB.(2) 求PoA和PoB的長。解：因為直線I過點P0(_4,O)，傾斜角為，所以直線I的參數方程為6/亠+兀3x = -4+tcosx = -4 + t6，即彳2, (t為參數)，代入圓方程，得兀I1y =0 +tsi nv =_tl6I 2. 3 21 22(-4 t)2 ( t)2 =7，整理得 t2 -4.3t 9=02 2(1 )設A、B所對應的參數分別為t1,t2，所以t1 t 4 3 , tjt2 =9，所以 | AB | =| 1 -12 I = (t1 t2) - 4t1t2 =2 3.(2)解方程

7、 t2 -4、.3t *9=0得，t3. 3,t .3，所以 P0 A =| t1 | = 3 . 3， P0 B =| t2 | = 3.應用二：求點的坐標例2、直線l過點P(2,4)，傾斜角為一，求出直線l上與點P(2,4)相距為4的點的坐6標。解：因為直線l過點P0(2,4)，傾斜角為一，所以直線l的參數方程為6c丄丄兀fV3x=2+tcos x = 2 + t6，即 g2，( t 為參數)，(1)二 1y = 4 tsi ny = 4 tI6ly 4 2t設直線I上與已知點P(2,4)相距為4的點為M點，且M點對應的參數為t，貝U| P0M |=|t|=4，所以t = 4，將t的值代入

8、(1)式，當t = 4時，M點的坐標為(22, 3,6);當t =-4時，M點的坐標為(2 -2、. 3,2),綜上，所求M點的坐標為(2 2.3,6)或(2-2、. 3,2).點評：若使用直線的普通方程，利用兩點間的距離公式求M點的坐標較麻煩，而使用直線的參數方程，充分利用參數t的幾何意義求 M點的坐標較容易。應用三：解決有關弦的中點問題兀2例3、過點P0(1,0),傾斜角為一的直線I和拋物線y2 =2x相交于A、B兩點，求線段4AB的中點M點的坐標。l的參數方程為TT解：直線I過點P0（1,0），傾斜角為一，所以直線4、2=1 t2亠t2,（t為參數），因為直線I和拋物線相交,將直線的參數方程代入拋物線方程22=2x 中,得：（丄21）2 =2（一t），整理得 1t2 2 2,2）2 -4 1 （-2）=6 .0，設這個二次方程的兩個根為ti,t2，由韋達定理得ti