1、冀教版有理數復習一、學習目標：理解正負數的意義，掌握有理數的概念和分類； 理解并會用有理數的加、減、乘、除和乘方五種運算法則進行有理數的運算； 通過熟練運用法則進行計算的同時，能根據各種運算定律進行簡便運算； 通過本章的學習，還要學會借助數軸來理解絕對值，有理數比較大小等相關知識。二、重點難點：有理數的相關概念，如：絕對值、相反數、有效數字、科學記數法等 , 有理數的運算； 有理數運算法則尤其是加法法則的理解； 有理數運算的準確性和如何選擇簡便方法進行簡便 運算。三、學習策略：先通過知識要點的小結與典型例題練習，然后進行檢測，找出漏洞，再進行針對性練習，從 而達到內容系統化和應用的靈活性。五、

2、知識梳理1、知識點一：有理數的概念（一）有理數：1）整數與分數統稱 按定義分類： 有理數按符號分類：有理數 零注：正數和零統稱為 ；負數和零統稱為 正整數和零統稱為；負整數和零統稱為 .（2）認識正數與負數： 正數：像 1， 17 ， 2008等大于 的數，叫做 .5 負數：像 -1 ，- 17 ， -2008 等在正數前面加上“”（讀作負）號的數，叫 注意 ：5都大于零， 都小于零 . “0”即不是 ，也不是 .（3）用正數、負數表示相反意義的量：如果用正數表示某種意義的量，那么負數表示其 意義的量，如果負數表示某種意義的量，則正數表示其 意義的量 .如：若-5 米表示向東走 5 米，則+3

3、米表示向 走 3 米； 若 +6 米表示上升 6 米，則 -2 米表示 ； +7oC 表示零上 7oC ， - 7oC 則表示4）有理數“ 0”的作用：作用舉例表示數的性質0 是自然數、是有理數、是整數表示沒有3 個蘋果用 +3 表示，沒有蘋果用 0 表示表示某種狀態00C表示冰點表示正數與負數的界點0 非正非負，是一個中性數（二）數軸（1）概念：規定了 、和 的直線注： 、稱為數軸的三要素，三者缺一不可 . 單位長度和長度單位是兩個不同的概念， 前者指所取度量單位的 ，后者指所取度量單位的 ， 即是一條 人為規定的代表“1' 的線段，這條 線段 ，按實際情況來規定，同一數軸上的單位長

4、度一旦確定，則不能再改變 .（2）數軸的畫法及常見錯誤分析 畫一條水平的 ； 在這條直線上適當位置取一實心點作為 ： 確定向右的方向為 ，用 表示； 選取適當的長度作單位長度，用細短線畫出，并對應標注各數，同時要注意同一數軸的數軸畫法的常見錯誤舉例：一切有理數都可以用數軸上的 表示出來 . 在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點 所對應的數 ，正數都大于 ，負數都小于 ，正數大于一切負數 . 注意 ：數軸上的點不都是有理數，如 .（三）相反數（ 1 ）相反數：只有 的兩個數互稱為相反數特別地， 0 的相反數是；若 a與 b互為相反數 ，則 a b _ _ _ ，反之亦然 .（2）相反數的性質

5、： 代數意義：只有 的兩個數叫做互為相反數，特別地， O 的相反數是 0相反數必 須 出現，不能單獨存在例如 +5 和 互為相反數，或者說 +5 是 的相反數， 5 是 的相反數， 而單獨的一個數不能說是 另外，定義中的“只有”指除 以外，兩個數，注意應與“只要符號不同”區分開例如 +3 與 3互為相反數，而 +3與 2雖然不同，但它們不是相反數幾何意義：一對相反數在數軸上應分別位于兩側，并且到原點的相等這兩點是關于對稱的數是求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“”號即可一般地，數 a 的相反；這里以 a 表示任意一個數，可以為、負數，也可以是任意一個代數式注意 a 不一 定是注意：

6、當a> 0時， a 0（正數的相反數是數）；a=0時， a O(0的相反數是）；a< 0 時， a O (負數的相反數是 ）互為相反數的兩個數的和為，即若 a與 b 互為，則 a+b=0，反之，若 a+b=O，則 a與 b 互為 多重符號的化簡：一個正數前面不管有多少個“”號，都可以全部；一個正數前面有個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數前面有個“”號，則化簡后只保留一個“”號，即“正”（其中“奇偶”是指正數前面的“”號的個數的，“負正”是指化簡的最后結果的四）絕對值1）絕對值的代數意義及幾何意義 絕對值的代數意義： 一個正數的絕對值是；一個負數的絕對值是它的0 的絕對值是

7、絕對值的幾何意義：一個數 a 的絕對值就是數軸上表示數a的的距離 . 數 a的絕對值記作注意 ：取絕對值也是一種，這個符號是“”，求一個數的絕對值，就是根據性絕對值符號絕對值具有性，取絕對值的結果總是 任何一個有理數都是由 部分組成： 和它的，如： 5 ，符號是 ，絕對值是 .（ 2）字母 a 的絕對值的分類,(a o),(a 0)或 a,(a 0),(a,(a0)或0),(a 0),(a 0)（3）利用絕對值比較兩個負有理數的大小 規則：兩個負數，絕對值大的反而 . 步驟：計算兩個負數的 . 比較這兩個 的大小 . 寫出正確的判斷結果 . 如果若干個非負數的和為 0，那么這若干個非負數都必為

8、.例如：若 a b c 0,則a , b ,c 2、知識點二：有理數運算一）有理數比較大小1）數軸上的數，右邊的數總左邊的數2）正數大于 0，負數小于 0，正數大于負數；3）兩個負數，絕對值大的反而4）兩數比較大小，可按符號情況分類：同正：兩數同號同同負正：大_ 的數大 大_ 的反而小 _大于_ _大于0_小于0比較大小 兩數異號（一正一負）：正數與0：_其中有0時負數與0：_二）有理數的加減法1）有理數加法法則 同號兩數相加，取相同的 ，并把絕對值 . 絕對值不相等的異號兩數相加， 取 的加數的符號， 并用較大的 減 去較小的 . 一個數同 0 相加，仍得 .（2）有理數加法的運算步驟 法則

9、是運算的依據，根據有理數加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟： 確定和的 ；求和的絕對值，即確定是兩個加數的絕對值的 .（3）有理數加法的運算律 兩個加數相加，交換加數的位置，不變 . 即 a+b=b+a（ 加法律） 三個數相加， 先把前兩個數相加， 或者先把后兩個數相加， 不變 . 即 （a+b）+c=a+（b+c） （加法 律）（4）有理數加法的運算技巧 分數與小數均有時，應先化為 形式 . 帶分數可分為 與 兩部分參與運算 . 多個加數相加時，若有互為相反數的兩個數，可先結合 得 若有可以湊整的數，即相加得整數時，可先結合 . 若有同分母的分數或易通分的分數，應先結合在一起 . 相同的

10、數可以先結合在一起 .（5）有理數減法法則減去一個數，等于 ，即 a-b=a+（ ）（6）有理數減法的運算步驟 把減號變為加號（改變運算符號） 把減數變為它的相反數（改變性質符號） 把減法轉化為加法，按照加法運算的步驟進行運算 .（7）有理數加減混合運算的步驟把算式中的減法轉化為加法；省略加號與括號；利用運算律及技巧簡便計算，求出結果 .根據有理數減法法則，減去一個數等于加上 ，因此加減混合運算可以依據上述法則轉 變為只有 的運算，即變為求幾個正數，負數和 0 的和，這個和稱為代數和 . 為了書寫簡便， 可以把加號與每個加數外的括號均省略，寫成省略加號和的形式，例如：（+3）+（） +（-9）

11、+（+5）+（-11）=+5-11 ，它的含義是正 3，負，負 9，正 5，負 11的和。 （三）有理數的乘除法（1）有理數乘法法則兩數相乘，同號得 ，異號得 ，并把相乘. 任何數同相乘，都得0.（2）有理數乘法的運算律兩個數相乘，交換因數的位置，積相等 .即 ab= （乘法結合律）三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等 .即 abc= （乘法結合律） 一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加 . 即 a（b+c）=（乘法分配律）（3）有理數乘法法則的推廣幾個不等于 0 的數相乘，積的符號由 的個數決定，當 的個數是偶數時，積的個數是奇數時，積為

12、.幾個數相乘，如果有一個因數為0，則積為.在進行乘法運算時，若有帶分數，應先化為 ，便于約分；若有小數及分數，一般先將 小數化為 ，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算 .（ 4）有 理數除法 法則： 除以一 個不等 于 0 的數， 等于乘 這個數 的。 即a÷b=a·（b 0）兩數相除，同號得 ，異號得 ，并把絕對值 ， 除以任何一個 不等于 0 的數，都得 0.（5）倒數及有理數除法乘積為 的兩個數互為倒數。倒數是出現的，單獨一個數不能稱為倒數； 互為倒數的兩個數的乘積一定 ；沒有倒數；求一個非零有理數的倒數，只要把它的分子和分母 即可（正整數可以看作分母為

13、 1 的分數）。注意： a,b互為倒數，則 ab _； a,b互為負倒數，則 ab 。反之亦然 .有理數除法的運算步驟：首先確定商的 ，然后再求出商的絕對值 .（四）有理數的乘方（1）概念：求 n 個相同因數的積的運算，叫做， 的結果叫做 ，在 an中， a叫做， n叫做.（ 2）含義： an中， a 為底數， n 為指數，即表示 a的個數， an 表示有相乘.例如： 35表示 3×3×3×3×3，（-3） 5表示（ -3 ）×（ -3 ）×（ -3 ）×（ -3 ）×（ -3 ），特別注意 負數及分數的乘方，應把

14、底數加上括號 . 如（-2） 7表示相乘，而 -2 7則表示 7個 2相乘的積的 。當 n 為奇數時， （-a） n = ；而當 n 為偶數時， （-a） n = . 注意： 負數的奇次冪是 ，負數的 冪是正數。正數的任何次冪都是， 0 的任何次冪都是 ，任何不為 0 的數的 0 次冪都是 .（3）“奇負偶正”口訣的應用 口訣“奇負偶正”在多處知識點中均提到過，它具體的應用有如下幾點： 多重負號的化簡，這里奇偶指的是“”號的個數，例如：（ 3）=，+（ 3）=.有理數乘法， 當多個非零因數相乘時， 這里奇偶指的是負因數的個數， 正負指結果中積的符號， 例如：（ 3）×（ 2）

15、5;（ 6） =，而（ 3）×（ 2）×6=. 有理數乘方，這里奇偶指的是指數，當底數為負數時，指數為奇數，則冪為 ；指數 為偶數，則冪為，例如：（ 3） 2=，（3） 3=.（4）有理數混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行； 如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行 . 加減法為一級運算，乘 除法為二級運算，乘方及開方（以后學）稱為三級運算 . 同級運算，按從左到右的順序進行；不同級 運算，應先算級運算，然后 級，最后 級；如果有括號，先算括號里的，有多重括號時， 應先算 _括號里的， 再算括號里的， 最后算 括號里的

16、. 以上運算順序可以簡記為：“從左到右，從高（級）到低（級） ，從小（括號）到大（括號）”.六、經典例題1、類型一：正數與負數的意義 例 1 一個物體沿著東西兩個相反方向運動，如果把向東的方向規定為正，那么走6km，走，走 0km的意義各是什么？思路點撥： 正數與負數可表示具有相反意義的量， 正數表示向東運動， 則負數表示 運動 .0 表示原地不動， 0 表示正數與的分界，在實際問題中也有確定的意義 .解析：總結：舉一反三：【變式 1】博然的父母 6 月份共收入 4800 元，可以將這筆收入記作 +4800 元；由于天氣炎熱，博然家 用其中的 1600 元錢買了一臺空調，又該怎樣記錄這筆支出呢

17、 ?解析：【變式 2】某老師把某一小組五名同學的成績簡記為：10、 5、0、 8、3，又知記為 0的實際成績表示 90 分，正數表示超過 90 分，則這五位同學的平均成績為多少分？解析：2、類型二：有理數的分類15例 2把下列各數填入相應的括號內： +6，-1 ，0，97， 2 .46；整數集合：非負集合：；分數集合：；負數集合： .思路點撥： 根據有理數的分類標準 ， 將所給數進行分類填整數集合時，不能漏掉“”；填集合時，最后要加“”，“非負數”不要僅理解為正數，既不是正數，也不是負數，屬于“非負”范圍內的數；負數包括 和 .解析：舉一反三：【變式】 ( 1 )最小的正整數是：最大的負整數是

18、 ；最小的整數是 ；最小的正數是 ；最大的負數是 ；最小的有理 數 ；絕對值最小的有理數是 。( 2)一個數的相反數等于它本身，這個數是；一個數的絕對值等于它本身，這個數是 ；一個數的絕對值等于它的相反數，這個數是 ；一個數的倒數等于它 本身，這個數是 ；一個數的平方等于它本身，這個數是 ；一個數的平方等 于它的絕對值，這個數是 ；一個數的平方等于它的相反數，這個數是 ； 個數的立方等于它本身，這個數是 。解析：3、類型三：多重符號的化簡例 3 、化簡下列各數：11(1) ( 3 ) (2) ( 4 ) (3) ( 5) (4) ( 2)25思路點撥： 多重符號的化簡是由“ ”的個數來定，若“

19、 - ”個數是 個時，化簡結果為正； 若 “- ”個數是奇數個時，化簡結果為。解析：舉一反三：4【變式 1】 ( ) 5【變式 2】說出下列各式的意義，然后化簡：(1)-(-3) (2)+-(+5)(3)- -(-6) (共 n 個負號)4、類型四：有理數的大小比較例 4在數軸上畫出表示下列各數的點，并用“ < ”連接起來；133, 4,1112, 22,10, 1 ,4思路點撥 ：首先畫出數軸，三要素要齊全；再把各數在數軸上的對應點找出來；然后根據這些數在數 軸上的位置順序比較大小，再用“ < ”連接起來 解析： 舉一反三：【變式】利用絕對值比較下列有理數的大小用>、<

20、;號連接 .2 3 4（1）， -60（ 2） , ,345思路點撥： 比較負數的大小，先求出各數的 ，關鍵是比較絕對值的大小，絕對值大的反 而 ，比較分數大小，一般要化成同 的分數來比較 .解析5、類型五：絕對值的概念例 5若 a 3 +|2b+5|=0, 計算 2a-b 的值 .思路點撥 ：從表面看條件比較復雜，但根據絕對值的非負性，可求出 a,b 值。 解析：舉一反三：【變式 1】若 a b ，化簡： b a 1 a b 5 .解析： 【變式 2】代數式 |x 2| |x 3| 的最小值為解析：【變式 3】a，b 在數軸上的位置如圖1）化簡： |a b|b 1| 2)比較大小： a 1

21、0； a b a b。解析：5、類型六：相反數，倒數的概念例 6已知 a、b 互為倒數， c、d 互為相反數， e 0且 |e| 1，那么 ( ab)2009 (c d ) 2008 e2007 的值為 。思路點撥 ：根據相反數與倒數的意義可得： 互為相反數的兩數的和為 ， 互為倒數的兩數之積為 .舉一反三：【變式】已知三個互不相等的有理數，即可以表示為1，a+b， a 的形式，又可表示為 0， b ，ba 的形式，且 x 的絕對值為 2，求 (a b)2008 ( ab) 2009 (a b ab) x2 的值解析：7、類型七：有理數的混合運算5121 271例 7、計算 154152(1)23 (7 )1624168思路點撥 ：本題有五種運算， 因為有括號，應先算括號里面的，括號里面顯然又要先算 ，接著算 法，再算 法注意除法運算，要把除法轉化為 解：總結升華：舉一反三：【變式】計算下列各式的值：( 1) 3 32 ( 3)2 1 3；3(2)1 1 1 1 1 1 1 1 ；2 3 4 5（3）( 5)2 111 77 14 880.25 199893 ( 2)2 2 ；23（4）1 2 5 ( 1 )2 ( ) (299)1( 2