1、第二章第三節分離變量法§2.3拉普拉斯方程的解分離變量法分法的迺用條件二、包普扭斯方程的解在坐標萊中的形式三、解題步線0000970* 上頁 TK 進應一、拉普拉斯方程的適用條件1、空間0 = (),自由電荷只分布在某些介質 體)表面上，將這些表面視為區域邊界， 拉普拉斯方程。則要求2、在所求區域的介質中若有自由電荷分布， 自由電荷分布在真空中產生的勢為已知。一般所求區域為分區均勻介質，則不同介質分界 面上有束縛面電荷。區域V中電勢可表示為兩部分 的和，即0 =cp()為已知自由電荷產生的電勢，9不滿足 2cp = O，0為束縛電荷產生 的電勢，滿足拉普拉斯方程2“，=()但注意，邊

2、值關系還要用不能用“仁mm二、拉普拉斯方程在幾種坐標系中解的形式y,z) = X(x)y(y)Z(z)令Y =瓦；+ 氏；=k。0 a cpH=()1、直角坐標 5 =dx(pSv 2 比 2(1) 令/xcbc1dY廠 + " = 0dydZ+ 逐=oS+N(z) = E sin kz + F cos kz.dh(2) 若 cp =(p(x9 y)(dxr + XV = O< fy注意：在(1) >(2)oc = k,= k a+0 = ()Xx) = Aekx +BekKY(y) = C sin ky + D cos ky兩種情況中若考慮了某些邊界條件，匕裁2伙將與某

3、些正整數有關，它們可取1, 2, 3,，只有對它們取和后才得到通解。(3)若0 = 0(兀)，與y.z無關。討論 = 0 dx1令/g(&),2"、門 + v g(&) = 0 dO21 ddfv2(r)/(r) = O/ dr drr(P =(p(r.O)I 6, <p dq> r2 d()2 dz2sO")=廠(廠)rg(0) = ax sin v6 + a2 cos vO八廠)有兩個線性無關解廠：r單值性要求*() = "(2疋)，"只能取整數，令V = 77卩(廠,0)=藝廠"GA snnO + B co&#

4、187;? )i- r" C” sin?/94- D co&O71=1若爭=*(廠)，丄旦(4)= or Dr Ord(pr= C => cp = A 13 n rdr3.球坐標)C (cos O) costmp： go、締合勒讓德函數(連帶勒讓德函數若“不依賴于0，即"具有軸對稱性，通解為©(/?,&) = 2(aF +(cos&)nRcos 6/ IPy (cos3)二(3cos 0 匕(COS <9)若0與均無關，"具有球對稱性，通解:為勒讓德函數bcp(R = a +R1選擇也標系和電勢參考點坐標系選擇主要根據

5、區域中分界面形狀，參考點主要根據電荷分布是有限還是無限；2分析對稱性、分區寫出拉普拉斯方程在所選坐標系中的通解；3 根據具體條件確定常數(1) 外邊界條件：電荷分布有限 ®|s=()注意：邊界條件和邊值關系是相對的。導體邊界 可視為外邊界，給定“L（接地“L =o）,或給 定總電荷Q,或給定cr o電荷分布無限，電勢參考點一般選在有限區。如均勻場中， E =胡> Eor cos 0 =（直角坐標或柱坐標），電勢可選在坐標原點。（2）內部邊值關系：介質分界面上四.應用舉例1、兩無限大平行導體板，相距為/一般討論分 界面無自由 電荷的情況兩板間電寺電勢"和9 = V （常

6、數），可考慮"與乂，無關。差為V （與七”乙無關），一板接地，求兩板間的解：（1）邊界為平面，故 應選直角坐標系 下板訥，=0設為參考點 （2）定性分析：因在乙=1(3) 列出方程并給出解：>2?_Kd 9S=o n=>時=o方程的解：0 = Az + B (0<z<l)(4) 定常數： 爐(乙= () = ()8 = ()V<pZ = /) = V Al = V A =I亠V(5) 電場為均勻場 電勢：申=(0 < z < /)E = (p =e =e E =吊dz z I zI® Q O C & &Z H* 上頁

7、 下質 適叨 «*.2對接地半無限大平板，相距為b,左端有一極 板電勢為V （常數），求兩平行板之間的電勢。解：（1）邊界為平面， 選直角坐標系；上、下兩 平板接地，取為參考點； 且當y ", b, °|十=° （2）z軸平行于平板，且x = O, 0 < y < £>, cp = V 與乙無關,可設e = 0（x,y） S =0（0 < x <oo, 0 < y <b）dx dy® o o o o e機幼 H * 上頁 T K 適叨 «*.d2 cp d2 cp機動 H* 上更 T

8、K 追叨 «*.Jx(Q = Ae心+尿_心(p= X(jc)y(y) <|y(y) = C sin ky + Z) cos Ary<7>(x, y) =+ Be ¥)(C sin ky + Z)cos ky)(3) 確定常數A, B, C, D, k y = 0, * = 0 => 0 = 0 y =b,cp = O => sin kb = 0S = l,26)T17L. 一kb = n7r k = b(zi = 1,2,3)y) =(4冷以 + B/")(C： sin ky)co通解y)=牙 s” (x, y)n= x >

9、80 = 0 => An = 0n7T 一唱 X(Pn g y) = cn sinye z?coH7V匸廠 5X9= > , O” sinw歸bs 乂 = () cp = V V = 12 C sin 兩邊同乘sin 江并從0 -；積分：h嚴 .m7vy 嚴乙廠n7ry I V sindy =1 > C sinsinJo b Jo 幺" b、 Jrri7r y藝 qj>in =oBQ = CQn7vybchtruryn7vyI sin sin dy =Jo b btn7V y-dybri7V ysindyb n H mb/2b 、=s2 mno ooo

10、9;嚴 .mjryI V sin J（）b2=I V sin b J。二 bdy= C Z?/2/ 丄 nmnm”=1 ztn 7ry2Vh兀-6/ybh m7rI sin y9dy9Jo2Vrcos，'：；m7rS =奇數）（加=偶數）4V 二y）=2L兀必=1.3.51 sin m b令力=2az + 1 n = 0丄2,機動 H* 上更 TK 追叨 «*.機動 H* 上更 TK 追叨 «*.4V "0（忑 y） = 2兀m=01 sin 2n +1+ 1）化一（2”+"S b（0<x<oo） k0<y </?Z H

11、* 上頁 下質 延呵 «*.機動 H* 上更 TK 追叨 «*.機動 H* 上更 TK 追叨 «*.對稱性分析:導體為圓柱，柱上電荷均勻解：電荷分布在無限遠，電勢零點可選在有限區，為簡單可 選在導體面r二a處，即（“（廠=小三0）選柱坐標系。分布，p 一定與Q無關。柱外無電荷，電場線從面上 發出后，不會終止到面上，只 能終止到無窮遠，且在導體面 上電場只沿方向，可認為° 與z無關，" = "（廠）機動 H* 上更 TK 追叨 «*.71 d dcp S = 0=>(r) = 0r dr drr肌C dr匚dcp = d

12、ryr<pr) = C In r 4- Z) 當 r = a 時，(p(a) - 0 Q = -Clna</>(/) = C lna4-Cln/- = Cln adcp b = £°y anCa 1=_$o口r an c=-clctr0(廠)=_In&()a廠在導體面上、二b 一E(a) = erH* 上頁 下覧Y廠CD ”兀 加兀 y,z)= / C sin xs in vs inh±. /f ”補充題1長方形盒的長為力、寬 為B、高為C,上蓋電位為0),其 余接地，求盒內的電位分布。補充題2無窮長導體圓筒，半徑為 a,厚度可以忽略不計

13、。圓筒分成相 等的兩個半片，相互絕緣。其中的 半的電位為匕，另一半電位 為-匕，求圓筒內的電位分布。4V兀co=16觀I j”r rVnI2 '/2(2num sinhJ+兀cVI-B22sin(2k + 14. 一半徑為a,介電常數為&的無 限長電介質圓柱，柱軸沿乙方 向，& 方向上有一外加均勻電 場&：,求空間電勢 上的束縛電荷分布。o o o © ©目錄 上頁 T K 進凹 ti Aa < r <<x)Sip,=藝廠"(A：2' sin nO +' cos n0) + r "(C：s

14、in nO + D'2'Icocp =牙廠"(/A；' sin nO + B：' cos nO) + rn(C：> sin nO + D：' cos nO)71=1（3）確定常數 因為有外加均勻場，它們對x軸對稱，可考慮0、g也 相對x軸對稱 50）為偶函數），所以0、爐2中不應包 含sinM 項，故：AaAi2C（'A（2y 均為零。n 7 n 7 n 7 n r = 0®二常數（或零），有限，故©中不應有廠一”T Eor cos 3 (均勻場電勢)(2)-廠B2 =0n項=> D："三 O。

15、廠一> 8 爐2 “-0-因此02中不含廠"項5工1）,得B, =_E°*S0 =工廠"cosh6271-102 =-E“cos&+Qn=l<2)r z，cosnO a < r < co® O O O GZ 日錄上更Z a*.上更 TKr = a時,%2Z a*.上更 TKZ a*.上更 TKoo藝2 8： cos 九& = EQa cosO +cosnOCOS/? 6? = £7O Eo COS 3 + £行(巾)£)： >67一 '十門 COS AZ 6?"

16、=n=Z a*.上更 TKZ a*.上更 TK兩邊0為任意值,cos&前系數應相等(w = 12 )Z a*.上更 TKZ a*.上更 TKB(ya = -EQa + D2yay、(2)c 一刃S>1)Bn a = 2 a_ q /i-i_ 八(2)-(加)="a = snDn aZ a*.上更 TKZ a*.上更 TK(4)解為申=一£ + £。Eorcos 30< r <aZ a*.上更 TK2e eQ a.7>2 = Fo r cos /9 % cos/9 a < r < coZ a*.上更 TKZ a*.上更 T

17、K(5)求柱內電場：w2&oEy = Ez=Q =+& + £() 2%E。仍沿x方向< 1 . E < Fo_電丘匚（）E()x (r cos/9 = x)Z a*.上更 TK£。=久（E- - E"）=邑（6）柱面上束縛面電荷分布 b + b" =n-（E2-E） b =（）*2、Or Or£T（）cos 6? %£ j2 久=£T（） E（） COS O H£7ocos O& 十 £7O&2&o（g_&o）=jEOcos &

18、3;+乞）（7）若圓柱為導體，可用上述方法重新求解，或令£8S = o= EO2ar cos O HE（）cos Oct = 2&（）£?（）cos 65. 如圖所示的導體球（帶電Q）和不帶電荷的導體球殼，用分 離變量法求空間各點的電勢及球殼內、外面上的感應電荷。電荷分布在有限區，選0RRI設球殼內為I區，殼外為區。IHBII球殼內：2%=09球殼外 Vq）2 = 0電荷在球上均勻分布，場有球對稱 性，"與00無關若將Q移到殼上, 球接地為書中dcp = C（R A RJ一R（尺 <R<R2）b9=a + R(3)確定常數 7? T 8 (P

19、!d= 0=>C = 0 (p = s- RdS = +£°二4兀代 R = Rx R= &導體殼為等勢體Q 1=a HR34旄o R2在導體殼上Q =f cr2dS + f <t3JS = 0$2 亠R4亦()%(T 9 = £(、an% &n 一血 “ 於=0dn訕影心簣如=。dSc dS c呱2丘+啞"2=O 匚 b4兀 + d4兀=0=> d= b= °一4%(4)Q9 =4 兀£(、RR3 < R <gQ Q - 1“2 = + 4兀勺4兀勺R <R<R2(5)球殼上

20、的感應電荷殼外面Qf =殼內面r &CPdS =f dS = Q anJ r az?+ Q" = o 以上結果均與高斯定理求解一致。® O O O O 饑動 H * 上頁 T K 運呵 師炭6. 均勻介質球（介電常數為5 ） 的中心置一自由電偶極子/；,球 外充滿另一種介質（介電常數 為匕），求空間各點電勢和束縛電 荷分布。解：®與G的邊界為球面，故選 球坐標系，更荷分布在有限區，選cp= 0r > oo（2）設球內電勢為球外電勢為g,球外無自由電荷分布,電勢滿足廠2©=0。但球內有自由偶極子，不滿足拉普拉斯方程，但滿足泊松方程。考慮偶極子

21、使介質極化，極化電荷分p fR4兀£出'機動上頁 下資 延即所以 9 = 9。+S；滿足 V>； =0So =卩fR4 兀 R 3布在偶極子附近和球面上。自由偶極子在介質中產生的電勢還可設*2 =必+S；為簡單令嘰="o-b+rX（cos。）考慮軸對稱：丿”dS； =5Z（c,Q心（ss&）I»尺（3）確定常數 中 = So +S； “2 = So +s；cp 有限=>bn =O竝=46中r6_ 3RRg “2= O => C八=O邊值關系I77*心:sORZ H* 上更 下頁 延四 «*.Z H* 上更 下頁 延四 «*.并注意到p f R = pR cos &二P f R Pl (COS &)機動 H * 上頁 下頁 延凹 «*.Z H* 上更 下頁 延四 «*.p f COS”_I+® HnanR P (cos<9 )2叭5PcosOd二c 小一電乞5十 i)p“<cos&)2 兀&R.、tlR°比較Pn (cos 6>)的