1、促進教師專業化發展促進教師專業化發展的實踐探究的實踐探究 中小學中小學“情境情境問題問題”教學實教學實踐踐 真正決定數學課程的不是寫在真正決定數學課程的不是寫在書上的各種觀念與規定，而是天天書上的各種觀念與規定，而是天天和學生接觸的教師。盡管，專家們和學生接觸的教師。盡管，專家們花了大量的精力，認真準備了課程花了大量的精力，認真準備了課程標準和教材，但是標準和教材，但是一到學校，數學一到學校，數學教師一個人便決定了一切。教師一個人便決定了一切。 數學教師是學生能直接觀察到數學教師是學生能直接觀察到的的數學形象。數學形象。 教師專業化發展的有效途徑：教師專業化發展的有效途徑： 采取恰當的教學模式

2、，以采取恰當的教學模式，以“課例課例”為載體，通過為載體，通過“教教學實踐學實踐自我反思自我反思同伴互同伴互助助專業引領專業引領”的校本教研的校本教研途徑，促進教師專業化發展。途徑，促進教師專業化發展。幾個概念幾個概念： 情境情境指一個人正在進行某種行為時指一個人正在進行某種行為時所處的社會環境，是人的社會行為產生所處的社會環境，是人的社會行為產生的條件。（社會學角度）的條件。（社會學角度） 問題問題指一個人不能直接用已有知識指一個人不能直接用已有知識解決，但可間接用已有知識去解決的情解決，但可間接用已有知識去解決的情境。境。 模式模式指某事物的標準形式，或使人指某事物的標準形式，或使人可以照

3、著做的標準形式。可以照著做的標準形式。 教學模式教學模式依據一定的教學思想和教依據一定的教學思想和教學規律的學規律的 指導建立的、在教學過程中必指導建立的、在教學過程中必須遵循的比較穩定的教學程序及其方法須遵循的比較穩定的教學程序及其方法的策略體系。的策略體系。 因此，教學模式的結構應包括：教因此，教學模式的結構應包括：教學理論、教學目標、操作程序、師生角學理論、教學目標、操作程序、師生角色、教學策略和評價等等。色、教學策略和評價等等。 中、小學中、小學“情境情境問題問題”教學模式：教學模式： 學生學習學生學習：置疑提問、自主學習貫穿全過程：置疑提問、自主學習貫穿全過程 設置情境設置情境 提出

4、問題提出問題 解決問題解決問題 注重應用注重應用 （觀察分析）（觀察分析） （猜想探究）（猜想探究） （正面求解或反駁）（正面求解或反駁） （學做、學用）（學做、學用） 教師導學教師導學：激發興趣、反思、矯正貫穿全過程：激發興趣、反思、矯正貫穿全過程 1. 1. 提出背景提出背景（1） 對中國傳統教學模式的反思。對中國傳統教學模式的反思。（2） 科技發展對人才的需求。科技發展對人才的需求。（3） 中美小學生數學學習的跨文化研究。中美小學生數學學習的跨文化研究。（4） 基礎教育新課改的需要。基礎教育新課改的需要。2. 2. 理論依據理論依據（1 1）辨證唯物主義的認識論。）辨證唯物主義的認識論。

5、（2 2）現代數學觀（或科學發展觀）現代數學觀（或科學發展觀）數學是創造數學是創造/創新型的科學創新型的科學 “數學是人類悟性的自由數學是人類悟性的自由 創造物創造物”。 數學的本質就是創造數學的本質就是創造/創新。創新。 數學創造數學創造/創新的結果創新的結果/形式是數學問題。形式是數學問題。 “數學問題是數學的靈魂數學問題是數學的靈魂”。 數學問題包括數學問題的提出與解決。數學問題包括數學問題的提出與解決。 數學問題是數學發展的基礎與動力。數學問題是數學發展的基礎與動力。 典型數學問題推動數學的發展。典型數學問題推動數學的發展。平行公理問題平行公理問題 尺規作圖問題尺規作圖問題費爾馬問題費

6、爾馬問題 哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題數系的擴張問題數系的擴張問題 方程的解的問題方程的解的問題 教數學教數學就是要教數學的創新精就是要教數學的創新精神，展示數學的創新思想與方法，神，展示數學的創新思想與方法，傳授數學的創新過程與事實。傳授數學的創新過程與事實。 教數學教數學也就是要教如何發現、也就是要教如何發現、提出與解決數學問題。提出與解決數學問題。 學數學學數學就是要學數學的創新觀就是要學數學的創新觀念，養成數學的創新意識與能力，念，養成數學的創新意識與能力，掌握數學的創新知識與技能。掌握數學的創新知識與技能。 學數學學數學也也就是要學如何發現、就是要學如何發現、提出與解決數學問題。

7、提出與解決數學問題。 提出與解決數學問題融為一提出與解決數學問題融為一體，相伴而行。體，相伴而行。 學生自己去解決自己提出的學生自己去解決自己提出的數學問題，從而獲取數學知識，數學問題，從而獲取數學知識，體驗數學知識的形成與發展，這體驗數學知識的形成與發展，這就從根本上調動了學生學習數學就從根本上調動了學生學習數學的積極性，自然地形成了自主合的積極性，自然地形成了自主合作的學習氛圍。作的學習氛圍。（3 3）現代心理學理論：）現代心理學理論： 建構主義建構主義認為學習是個體主動認為學習是個體主動地建構內部心理表征的過程。故地建構內部心理表征的過程。故強調學習的強調學習的主動性主動性、社會性社會性

8、及及情情境性境性。前蘇聯維果茨基的前蘇聯維果茨基的“最近發展區最近發展區”理論。理論。 支架式支架式教學理論教學理論 知識結構的知識結構的“網絡網絡”論。論。（4） 生態學生態學下的學習觀（下的學習觀（1990年后）年后）情境認情境認知理論知理論。 主張主張：情境認知、情境學習及情境化人工智：情境認知、情境學習及情境化人工智 能。能。3. 3. 一些新教學理論的啟示一些新教學理論的啟示（1 1）重視學生提出問題。）重視學生提出問題。 美國教育家布魯巴克認為：美國教育家布魯巴克認為：“最精湛的教最精湛的教學藝術、遵循的最高準則，就是學生學藝術、遵循的最高準則，就是學生自己提出自己提出問題。問題。

9、”（2 2）尋找教學）尋找教學“中間地帶中間地帶”。 中國教改實踐的主要經驗：教師主導取向中國教改實踐的主要經驗：教師主導取向的的有意接受學習有意接受學習與學生自主取向的與學生自主取向的探究學習探究學習的的 取中、平衡，并按本國傳統來整合。取中、平衡，并按本國傳統來整合。 兩種學習方式的比較兩種學習方式的比較比較項目比較項目有意義接受學習有意義接受學習探究學習探究學習特點特點舊經驗引導新學習舊經驗引導新學習教師系統傳授教材內容教師系統傳授教材內容及時練習與反饋校正及時練習與反饋校正從問題出發引出探究學習從問題出發引出探究學習在合作學習中追求新知在合作學習中追求新知寓求知于生活實踐活動寓求知于生

10、活實踐活動理論基礎理論基礎行為主義理論、認知心理學行為主義理論、認知心理學與奧蘇貝爾的接受學習與奧蘇貝爾的接受學習人本主義理論、建構主義理人本主義理論、建構主義理論與布魯納的發現學習論與布魯納的發現學習優勢優勢目標是基礎知識，有利于系目標是基礎知識，有利于系統掌握知識與技能，學科測統掌握知識與技能，學科測驗成績較高驗成績較高目標是能力和氣質、解決問目標是能力和氣質、解決問題、創造能力、人際關系、題、創造能力、人際關系、動機態度較優動機態度較優（3 3） 默會知識論的啟示默會知識論的啟示 人類知識按其外在化的程度可分為人類知識按其外在化的程度可分為明確知識明確知識和和默會知識默會知識，它們就像一

11、座冰，它們就像一座冰山的兩個部分，前者浮出海面，后者在山的兩個部分，前者浮出海面，后者在下面托起整座冰山下面托起整座冰山，從根本意義上說，從根本意義上說，只有借助默會知識的力量，人類所有的只有借助默會知識的力量，人類所有的明確知識才得以發生和發展，人類的知明確知識才得以發生和發展，人類的知識創新才有根基。識創新才有根基。 明確知識明確知識（是什么，為什么（是什么，為什么）主要是事實和原理的知識。主要是事實和原理的知識。默會知識默會知識（怎么想，怎么做）（怎么想，怎么做）本質上是理解力和領悟。本質上是理解力和領悟。存于書本，可編碼（邏輯性），存于書本，可編碼（邏輯性）， 可傳遞（共享性），可反思

12、（批判性）。可傳遞（共享性），可反思（批判性）。存于個人經驗（個體性）嵌存于個人經驗（個體性）嵌入實踐活動之中（情境性）。入實踐活動之中（情境性）。明確知識明確知識默會知識默會知識言傳意會內化內化外顯外顯學習的新概念學習的新概念4. 4. 創設數學情境的原則與途徑創設數學情境的原則與途徑（1）創設情境的原則：）創設情境的原則： 科學性原則；科學性原則； 探究性原則；探究性原則； 趣味性原則；趣味性原則； 發展性原則。發展性原則。 （2）創設情境的途徑。）創設情境的途徑。 從現實社會人們關注的熱點問題中選取素材。從現實社會人們關注的熱點問題中選取素材。 從實際生產、生活中選取素材。從實際生產、生

13、活中選取素材。 從數學事實中選取素材。從數學事實中選取素材。 從例題、習題中選取素材。從例題、習題中選取素材。 從中外名題中選取素材。從中外名題中選取素材。 從升學題、競賽題中選取素材。從升學題、競賽題中選取素材。 從史實中選取素材。從史實中選取素材。 從自然科學中選取素材。從自然科學中選取素材。 從人文學科中選取素材。從人文學科中選取素材。 從地方特色中選取素材。從地方特色中選取素材。5. 5. 引導提出問題的途徑引導提出問題的途徑 復習鋪墊、質疑提問復習鋪墊、質疑提問 從情境中捕捉數學信息提出問題從情境中捕捉數學信息提出問題 圍繞課堂教學目標，引導質疑提問圍繞課堂教學目標，引導質疑提問 布

14、置課堂布置課堂“情境作業情境作業”，引導在，引導在“做數做數學學” 中尋疑提問中尋疑提問 在合作學習中，引導質疑提問在合作學習中，引導質疑提問 在學習的在學習的“回顧回顧反思反思”中，引導質疑提問中，引導質疑提問 在相關知識（相鄰學科）的聯系中，引導質疑在相關知識（相鄰學科）的聯系中，引導質疑提問提問 教師示范提出問題，引導質疑提問教師示范提出問題，引導質疑提問 從已解決的問題中，引導質疑提問從已解決的問題中，引導質疑提問 尊重學生個性差異，因人而異、因勢利導質疑尊重學生個性差異，因人而異、因勢利導質疑提問。提問。把把“提出問題提出問題解決問題解決問題”貫穿教學的始終。貫穿教學的始終。6. 6

15、. 教學中應注意的一些問題教學中應注意的一些問題不要脫離課堂教學目標，為不要脫離課堂教學目標，為“情境而設情情境而設情境境”；應恰當處理復雜情境；應恰當處理復雜情境；注重注重“虛擬情境虛擬情境”中的數學信息引導；中的數學信息引導；不要急于匆忙回答學生提出的問題；不要急于匆忙回答學生提出的問題；恰當處理超前問題和難于解答的問題；恰當處理超前問題和難于解答的問題；不要硬拖著學生進入教師預設的教學軌道；不要硬拖著學生進入教師預設的教學軌道；不要追求表面形式的不要追求表面形式的“合作學習合作學習”的熱鬧氣的熱鬧氣氛；氛； 不要因重提出問題而影響了解決問題；不要因重提出問題而影響了解決問題； 不要放棄教

16、師的講解；不要放棄教師的講解； 處理好長效核心知識與學生興趣的關系；處理好長效核心知識與學生興趣的關系； 重過程教學不能忽視知識結果的學習；重過程教學不能忽視知識結果的學習； 不要刻意追求為不要刻意追求為“課件課件”而制作課件。而制作課件。7 7、 教學案例教學案例 情境情境1：一畝菜地，種黃瓜一畝菜地，種黃瓜1/2，種辣椒，種辣椒1/3，余下為過道，余下為過道地。地。 案例案例1：異分母分數加減法異分母分數加減法 貴州玉屏縣印山民小五（1）班 執教: 姚嘵林黃瓜地黃瓜地辣椒地辣椒地一畝菜地1213過道地過道地（1）引導學生提出問題：）引導學生提出問題： 問題問題1：過道占菜地面積的幾分之幾？

17、：過道占菜地面積的幾分之幾？ 問題問題2：黃瓜地和辣椒地共占菜地的幾分：黃瓜地和辣椒地共占菜地的幾分之幾？之幾？ 問題問題3：黃瓜地比辣椒地多幾分之幾？：黃瓜地比辣椒地多幾分之幾？ 問題問題4：過道和辣椒地共占菜地的幾分之：過道和辣椒地共占菜地的幾分之幾？幾？ 問題問題5：黃瓜地是過道地面積的幾倍？：黃瓜地是過道地面積的幾倍？ （2）師生互動解決問題：）師生互動解決問題： 解問題解問題2：生生1： + = + = （臺上、臺下互相問答）（臺上、臺下互相問答）生生2： + = = ( 學生講解作法）學生講解作法）6223213163323121 2131636265213132)23(65生生3

18、： 把長方形菜地分成把長方形菜地分成6等份，即可從圖形上看出等份，即可從圖形上看出 問題問題2解為解為 。生4： 1 = ( (學生說明做法學生說明做法) )生生5 5： = = = = （學生說明做法）（學生說明做法）6565612131636261（3）點題閱讀書上）點題閱讀書上“法則法則”：異分母分數加減：異分母分數加減法。法。 先讓學生自己歸納法則先讓學生自己歸納法則 ，然后再，然后再 閱讀書閱讀書上上“法則法則”。（4）堂上作業，說明作題思路）堂上作業，說明作題思路 （做了（做了5道題）。道題）。 情境作業（留下思考問題）：情境作業（留下思考問題）：豬八戒分吃西瓜：唐僧、豬八戒分吃西

19、瓜：唐僧、孫悟空等吃一個西瓜，孫提出先讓師傅吃西瓜的孫悟空等吃一個西瓜，孫提出先讓師傅吃西瓜的2/3，然后孫悟空、沙僧各吃西瓜的然后孫悟空、沙僧各吃西瓜的1/6，余下的都給豬八戒。，余下的都給豬八戒。開始豬八戒高興的答應了；待唐僧等人吃后，豬八戒開始豬八戒高興的答應了；待唐僧等人吃后，豬八戒大哭起來。為什么？大哭起來。為什么？案例案例2 長方形的周長和面積的比較長方形的周長和面積的比較 貴州安龍二小貴州安龍二小 執教：執教： 葉麗華葉麗華創設情境創設情境1：學校籃球場平面圖（多媒體演示）：學校籃球場平面圖（多媒體演示） （讓學生就此圖提出數學問題）（讓學生就此圖提出數學問題）生生1：這籃球場是

20、不是長方形？：這籃球場是不是長方形？生生2：籃球場的長是多少，寬是多少？：籃球場的長是多少，寬是多少？生生3：籃球場的面積是多少？：籃球場的面積是多少？生生4：籃球場的周長是多少？：籃球場的周長是多少？創設情境創設情境2：設計兩塊周長相等的矩形瓷磚：設計兩塊周長相等的矩形瓷磚10cm16cm14cm 20cm教師啟發學生提問教師啟發學生提問：這兩塊瓷磚的周長是相等的，那：這兩塊瓷磚的周長是相等的，那么由周長相等，你們會想到什么？么由周長相等，你們會想到什么？生生5：周長相等，面積是不是也相等呢？：周長相等，面積是不是也相等呢？生生6：（反過來）面積相等的兩個長方形，周長相不相等：（反過來）面積

21、相等的兩個長方形，周長相不相等呢？呢？老師畫出以上圖形，讓學生驗證周長是否相等？老師畫出以上圖形，讓學生驗證周長是否相等？4cm6cm8cm3cm老師用老師用6根長度均為根長度均為24cm的鐵絲分別圍成的鐵絲分別圍成6個形狀個形狀各不相同的長方形，請學生觀察、提問各不相同的長方形，請學生觀察、提問.生生7 7：哪個面積最大？哪個面積最小？：哪個面積最大？哪個面積最小？生生8 8：怎樣圍得的長方形面積最大：怎樣圍得的長方形面積最大周長周長=24cm=24cm即長即長+ +寬寬=12cm=12cm 長 寬 面積 6 6 36 7 5 35 8 4 32 9 3 27 10 2 20 11 1 11

22、由由 大大 到到 小小 平面上平面上周周長固定長固定 的的矩形中，正矩形中，正方形所圍成方形所圍成 的面積最大。的面積最大。現代積分幾何的引伸：現代積分幾何的引伸：等周不等式等周不等式 平面上平面上固定周長固定周長的區域中，圓盤所的區域中，圓盤所圍成的面積最大。圍成的面積最大。 空間中空間中面積固定面積固定的區域中，球所界的區域中，球所界的體積最大。的體積最大。 案例3 軸對稱圖形 貴陽市南明小學貴陽市南明小學 執教：明方翎執教：明方翎 情境激趣引入：情境激趣引入：課件展示一組美麗的風課件展示一組美麗的風箏。箏。 （引導討論風箏的幾何圖形特征）（引導討論風箏的幾何圖形特征） 師：引導閱讀書上的

23、軸對稱定義。師：引導閱讀書上的軸對稱定義。 合作動手操作合作動手操作 每個小組有一張方格紙，上面有長方形、每個小組有一張方格紙，上面有長方形、正方形、三角形（含等腰、一般銳角兩類）、正方形、三角形（含等腰、一般銳角兩類）、平行四邊形、梯形（含等腰、不等腰兩類）、平行四邊形、梯形（含等腰、不等腰兩類）、圓等圖形圓等圖形 要求學生動手折一折找到軸對稱圖形，畫要求學生動手折一折找到軸對稱圖形，畫出對稱軸，并按照一定的方式進行分類出對稱軸，并按照一定的方式進行分類。問題：平行四邊形是軸對稱圖形嗎？！問題：平行四邊形是軸對稱圖形嗎？！在討論中有一組同學（設為甲組）提出：平行四邊形也是在討論中有一組同學（

24、設為甲組）提出：平行四邊形也是軸對稱圖形，其理由如下：軸對稱圖形，其理由如下： 剪開，拼接剪開，拼接 學生學生A馬上反駁：平行四邊形不是軸對稱圖形，因馬上反駁：平行四邊形不是軸對稱圖形，因為不符合書上的定義。不要把它剪開，就用原來的平行為不符合書上的定義。不要把它剪開，就用原來的平行四邊形沿虛線對折不能重合，而且沿其它直線對折也不四邊形沿虛線對折不能重合，而且沿其它直線對折也不能重合。能重合。甲組同學： （有些遲疑）為什么不能剪開？學生A：如果是這樣，很多圖形都可以通過剪、拼的方法湊成一個軸對稱圖形。 （其他同學開始小聲議論）甲組同學： 老師首先表揚學生A的有力反駁，然后說：其實平行四邊形也是

25、對稱圖形，只不過它不是我們今天學的軸對稱圖形，而是中心對稱圖形。 注重知識應用注重知識應用 課件展示一組民間剪紙藝課件展示一組民間剪紙藝術作品。（展示生活中的數學應用與數學美）。術作品。（展示生活中的數學應用與數學美）。再次動手操作再次動手操作 組織學生分組作剪紙作組織學生分組作剪紙作業業互相展示，交流并指出所剪圖形的對稱互相展示，交流并指出所剪圖形的對稱特征。特征。走入對稱世界走入對稱世界 用課件展示一組世界聞用課件展示一組世界聞名的對稱建筑物圖片。（配樂）。名的對稱建筑物圖片。（配樂）。 最后展示在民屏幕上的是美國的國會大廈與最后展示在民屏幕上的是美國的國會大廈與水中側影形成的美麗圖畫。水

26、中側影形成的美麗圖畫。師：師：這幅圖片是軸對稱圖形嗎？這幅圖片是軸對稱圖形嗎？（留下（留下思考問題）思考問題）案例案例4 簡易方程的應用簡易方程的應用 貴州興義四中貴州興義四中 執教：孔惠玲執教：孔惠玲 數學情境數學情境：媽媽給小紅媽媽給小紅20元錢，叫她買學習用品，元錢，叫她買學習用品， 商店里筆記本商店里筆記本3元一本，鋼筆元一本，鋼筆2元一支，元一支， 全班全班66人，人，47人提出人提出30多個問題，選擇了多個問題，選擇了10個：個： 各買一樣還剩多少元錢？各買一樣還剩多少元錢？ 買多少個筆記本和多少支鋼筆能把買多少個筆記本和多少支鋼筆能把20元用完？元用完？ 買三個筆記本和買三個筆記

27、本和5支鋼筆還剩多少錢？支鋼筆還剩多少錢？ 如果買如果買10個本子以上九折優惠，那么買個本子以上九折優惠，那么買13個本子還剩多少錢？個本子還剩多少錢？ 教師選三個問題討論：教師選三個問題討論： 常規性問題；常規性問題； 發展性問題發展性問題： 設剩設剩x元，元， 20 x=31390% （x=15？）？） 探索性問題探索性問題： 3x+2y=20 y = 1 y = 2 y = 4 y = 7 x = 6 x = 16/3 x = 4 x= 2 情境情境1：1275年我國南宋數學家楊輝提出：年我國南宋數學家楊輝提出：“直直積（矩形面積）八百六十四步，只云闊（寬）積（矩形面積）八百六十四步，只

28、云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步）。問闊不及長一十二步（寬比長少一十二步）。問闊及長各幾步？及長各幾步？引導討論：設長為引導討論：設長為x，寬為，寬為x-12，得，得解得：長解得：長36步，寬步，寬24步。步。案例案例5 5 一元二次方程的應用一元二次方程的應用 貴州安龍二中貴州安龍二中 楊錕楊錕0864122xx情境情境2：一根長一根長10米的竹竿，斜靠在墻壁上。米的竹竿，斜靠在墻壁上。頂端頂端A到地板的距離為到地板的距離為8米。若推動米。若推動A端使端使之下移之下移1米，情況怎樣？米，情況怎樣？生生1：底端：底端B也要移動。也要移動。生生2：底端：底端B也應滑動也應滑動1米。米。

29、生生3：不一定，若地板粗糙，：不一定，若地板粗糙， B端也不一定滑動端也不一定滑動1米。米。師：請大家用勾股定理計算一下再討論。師：請大家用勾股定理計算一下再討論。生生4：設：設BD = x，由題意知，由題意知OB = 6米米 再在直角三角形再在直角三角形COD中應用勾股定理得到中應用勾股定理得到: 解得：解得： 11米ACOBD015122xx651x生生5：為什么底端：為什么底端B滑動的距離會大于滑動的距離會大于1米呢？米呢？師：對此，我們大家再共同討論。師：對此，我們大家再共同討論。生生6：竹竿底端：竹竿底端B滑動的距離是否可用滑動的距離是否可用的三的三角函數來表示？角函數來表示？教師引

30、導解決：教師引導解決： cos = = ，x =10 cos 6師：當師：當在在0，90變化時，底端變化時，底端B的移動的移動情況怎么樣？情況怎么樣？ （在（在-6，4變動）。變動）。ODCDx+610案例案例 6 平行四邊形的性質運用平行四邊形的性質運用 興義六中興義六中 執教：孫遠琴執教：孫遠琴情境情境1：如圖的三角形中，如圖的三角形中， 已知已知EFAB,DEBC,DFAC. 師：請大家師：請大家據圖猜想， 提出可能的結論。 生：ADE DEF C DBF EFC E F BC2DE, AC2DF, A B AB2EF DEF各頂點分別是 ABC各邊的中點。 師：引導學生解決問題。D情境

31、情境2：ABC為等腰三角形為等腰三角形 情形怎樣？（引導學生討論）情形怎樣？（引導學生討論） 生生1：四邊形：四邊形ADFE是菱形。是菱形。 生生2：四邊形：四邊形BDEF,DFCE可能是可能是菱菱 形嗎？形嗎？ AB F CD E情境情境3：ABC為等邊三角形情形又怎樣？為等邊三角形情形又怎樣？（引導討論）（引導討論） 生生1：連接三角形各邊中點得的是什么三角形？：連接三角形各邊中點得的是什么三角形？ 生生2：過：過DFE三邊中點連線又得一等邊三角形，繼續三邊中點連線又得一等邊三角形，繼續下去可逐一畫出不斷縮下去可逐一畫出不斷縮 小的等邊三角形，一直下去，小的等邊三角形，一直下去，小三角形會

32、不會最終變成一個點？小三角形會不會最終變成一個點？師生共同討論：師生共同討論： A若設若設SABCS1，SDEFS2，令令 S11, D E S2 , S3 , S4 = , B C F41s4142s24143s341141n Sn= ( (教師用極限思想作解釋教師用極限思想作解釋) )。141n案例案例7加加 法法 原原 理理 與與 乘乘 法法 原原 理理 四川省南充市四川省南充市 白塔中學白塔中學 執教執教 ： 張讓琛張讓琛 我上這一堂課的時間是我上這一堂課的時間是 2002 2002 年年 6 6 月月 4 4 日上午第四節課，當時的背景是日上午第四節課，當時的背景是 2002 200

33、2 年韓日年韓日足球世界杯剛剛開幕，中國隊進入了決賽階段，足球世界杯剛剛開幕，中國隊進入了決賽階段，并且當天下午就要打第一場比賽，也是中國隊并且當天下午就要打第一場比賽，也是中國隊在本屆世界杯上，最有希望贏球的一場比賽在本屆世界杯上，最有希望贏球的一場比賽。 （一）、創設情境。（一）、創設情境。 師：中國隊進入韓日世界杯決賽階段，就有了師：中國隊進入韓日世界杯決賽階段，就有了小組出線乃至奪冠的機會和可能。對于本次世小組出線乃至奪冠的機會和可能。對于本次世界杯足球賽，每個人可能有不同的看法和預測。界杯足球賽，每個人可能有不同的看法和預測。那么，大家最關心的是什么呢？今天下午，中那么，大家最關心的

34、是什么呢？今天下午，中國隊將進行本屆世界杯上的第一場比賽：中國隊將進行本屆世界杯上的第一場比賽：中國國哥斯達黎加哥斯達黎加 學生學生1：中國隊能進入世界杯的決賽階段：中國隊能進入世界杯的決賽階段最好能進入決賽最好能進入決賽 學生學生2：中國隊的實力還達不到和世界強：中國隊的實力還達不到和世界強隊競爭的水平，所以我只希望中國隊能隊競爭的水平，所以我只希望中國隊能進一個球，能贏一場比賽進一個球，能贏一場比賽 學生學生3： 只要中國隊能贏一場平一場，就只要中國隊能贏一場平一場，就可以進入可以進入 16 強，我最關心的是強，我最關心的是“誰能奪誰能奪冠冠”及及“中國隊能否出線中國隊能否出線”。（二）、

35、提出問題（二）、提出問題。 師：師：比賽場上，什么情況都有可能發生。所以不比賽場上，什么情況都有可能發生。所以不能說中國隊就完全沒有出線、乃至奪冠的可能。能說中國隊就完全沒有出線、乃至奪冠的可能。 奪冠問題奪冠問題如果排除各種外在、內在的因素，如果排除各種外在、內在的因素，單單從奪冠的可能性來說，這次世界杯的冠軍會單單從奪冠的可能性來說，這次世界杯的冠軍會有多少種不同的可能？有多少種不同的可能？ 出線問題出線問題中國所在的中國所在的 C 組，分別以第一名、組，分別以第一名、第二名身份出線的兩隊，有多少種不同的可能？第二名身份出線的兩隊，有多少種不同的可能？ （三）、解決問題（三）、解決問題 （

36、1）、奪冠問題。）、奪冠問題。（由學生分組討論解決方（由學生分組討論解決方法）（時間控制在法）（時間控制在 15 分鐘之內）分鐘之內） 小組小組1：將球隊按所在的賽區可以分為：將球隊按所在的賽區可以分為 6 類，類，即即 6 個賽區：直接晉級的個賽區：直接晉級的 3 支，亞洲隊支，亞洲隊 2 支，支，非洲隊非洲隊 5 支，歐洲隊支，歐洲隊 14 支，北美洲隊支，北美洲隊 3 支，支，南美洲隊南美洲隊 5 支，由于無論哪一個賽區中的哪一支，由于無論哪一個賽區中的哪一支球隊都有奪冠的可能。所以一共有支球隊都有奪冠的可能。所以一共有 N = 3 + 2 + 5 + 14 + 3 + 5 = 32種不

37、同的奪冠可能。種不同的奪冠可能。 師：上面這種方法可以歸納為我們所說師：上面這種方法可以歸納為我們所說的的“加法原理加法原理”： 做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在類辦法，在第一類辦法中有第一類辦法中有 m 1 種不同的方法，在種不同的方法，在第二類辦法中有第二類辦法中有 m 2 種不同的方種不同的方法，法， 在第在第 n 類辦法中有類辦法中有 m n 種不種不同的方法。那么，完成這件事共有同的方法。那么，完成這件事共有 N = m 1 + m 2 + + m n 種不同的方法。種不同的方法。 小組小組2：按照世界杯的分組來分類，可以按照世界杯的分組來分類，可以分為分

38、為 8 類，即類，即8 個小組，每組個小組，每組 4 支隊，每支隊，每個小組內的個小組內的 4 支球隊都有奪冠的可能，支球隊都有奪冠的可能，則一共有則一共有 N = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 種不同的可能。種不同的可能。（2）、出線問題：）、出線問題：（時間控制在（時間控制在 20 分鐘之內）分鐘之內） 學生學生5：為了解決問題可以列出各種可能，以為了解決問題可以列出各種可能，以 C 組為例：組為例： 第一名第一名 第二名第二名 第一名第一名 第二名第二名 土耳其土耳其 巴巴 西西 巴西巴西 中中 國國 共共3種種 哥斯達黎加哥斯達黎加 中中 國國

39、共共3種種 哥斯達黎加哥斯達黎加 土耳其土耳其 巴巴 西西 巴巴 西西 中國中國 土耳其土耳其 共共3種種 土耳其土耳其 中中 國國 共共3種種 哥斯達黎加哥斯達黎加 哥斯達黎加哥斯達黎加 一共有一共有 4 3 = 12 種不同的出線可能。種不同的出線可能。 師：上面這種方法可以歸納為下面要講師：上面這種方法可以歸納為下面要講的的“乘法原理乘法原理”： 做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成 n 個步驟，個步驟，做第一步有做第一步有 m 1 種不同的方法，做第二種不同的方法，做第二步有步有 m 2 種不同的方法，種不同的方法， 做第做第 n 步步有有 m n 種不同的方法。那么，完成

40、這件種不同的方法。那么，完成這件事共有事共有 N = m 1 m 2 m n 種種不同的方法。不同的方法。 淺析兩個基本原理淺析兩個基本原理 1、共同點：、共同點：計算做一件事完成它的所有不同的計算做一件事完成它的所有不同的方法種數。方法種數。 2、區別：、區別：加法原理與分類有關，要求不論哪一類辦法中加法原理與分類有關，要求不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨的完成這件事。每類的哪一種方法，都能單獨的完成這件事。每類是獨立完成事情。是獨立完成事情。乘法原理與分步有關，要求依次完成所有步驟乘法原理與分步有關，要求依次完成所有步驟后，才能完成這件事，每步是階段性的完成事后，才能完成這件事，每步

41、是階段性的完成事情。情。 所以，應用兩個原理的關鍵在于恰當的分類或分步，所以，應用兩個原理的關鍵在于恰當的分類或分步，使分類或分步不重復，不遺漏。換句話說，類類互斥，使分類或分步不重復，不遺漏。換句話說，類類互斥，步步獨立步步獨立。案例案例 8 8 正方體中直線與平面的垂直正方體中直線與平面的垂直 云南民中云南民中 執教：執教： 唐敏唐敏 數學情境：數學情境：正方體有正方體有8 8個頂點，個頂點，12 12條棱有條棱有1 1個中個中點，共點，共2020個特殊點；任取個特殊點；任取其中兩點做一條直線，任其中兩點做一條直線，任取不共線的三點作平面，取不共線的三點作平面，使此直線垂直于平面。盡使此直

42、線垂直于平面。盡可能多的舉出例子。全班可能多的舉出例子。全班學生，積極主動參與，最學生，積極主動參與，最少者也畫出少者也畫出4545個圖形，個圖形，并作了論證；幾位畫錯的，并作了論證；幾位畫錯的，經討論舉反例，予以否定，經討論舉反例，予以否定，重新找出正確畫法。重新找出正確畫法。 8 8 在澳門作學術交流在澳門作學術交流 應澳門數學教育研究學會及會長汪甄應澳門數學教育研究學會及會長汪甄南先生的邀請，貴州師范大學南先生的邀請，貴州師范大學呂呂傳漢、傳漢、汪秉汪秉彝兩教授率貴州興義市第八中學尹彝兩教授率貴州興義市第八中學尹慧梅老師及興義市延安路小學劉玲老師，慧梅老師及興義市延安路小學劉玲老師，于于

43、20042004年年1010月月8 8日日1010月月1111日訪問了澳日訪問了澳門有關中、小學，并與澳門數學教育研門有關中、小學，并與澳門數學教育研究學會究學會330330余名中、小學數學教師作了數余名中、小學數學教師作了數學教育學術交流，取得良好的效果，受學教育學術交流，取得良好的效果，受到澳門數學教育界的好評。到澳門數學教育界的好評。 貴州興義延安路小學的劉玲老師在天主教貴州興義延安路小學的劉玲老師在天主教海星中學上了示范課海星中學上了示范課“平行四邊形面積平行四邊形面積” 澳門大學教育學院助理教授張春莉博士進行澳門大學教育學院助理教授張春莉博士進行評課。她指出：這是一節成功的課，它給我

44、們評課。她指出：這是一節成功的課，它給我們帶來了如下啟示：帶來了如下啟示： （1 1）這節課應用）這節課應用“情境情境問題問題”教學模式，教學模式，使教學具有以問題解決為核心的特點，讓學生使教學具有以問題解決為核心的特點，讓學生帶著問題學習，并在帶著問題學習，并在“用中學習用中學習”的學習方式，的學習方式，正是學生學習數學的最佳方式。正是學生學習數學的最佳方式。 （2 2）本節課具有濃厚的）本節課具有濃厚的“數學味數學味”，使學，使學生始終處于生始終處于“最近發展區最近發展區”，在不斷解決一個，在不斷解決一個個認知沖突過程中，學生的數學思維得到很好個認知沖突過程中，學生的數學思維得到很好的激發

45、和培養。的激發和培養。 （3 3）劉玲老師的個人魅力和教學風格也使）劉玲老師的個人魅力和教學風格也使得這節課師生互動十分融洽。得這節課師生互動十分融洽。 總之，總之，“平行四邊形面積平行四邊形面積”一課給我們帶一課給我們帶來的一個最大的收獲是：數學教學給學生帶來來的一個最大的收獲是：數學教學給學生帶來的不應是知識灌輸、的不應是知識灌輸、“題海題海”大戰后的厭倦，大戰后的厭倦，而應是探索、發現和解決問題的喜悅和無窮的而應是探索、發現和解決問題的喜悅和無窮的求知欲。求知欲。貴州興義八中的尹慧梅老師，在天主教海貴州興義八中的尹慧梅老師，在天主教海星中學上了示范課星中學上了示范課“探索數量規律探索數量規律” 澳門大學教育學院助理教授黃榮金博士評澳門大學教育學院助理教授黃榮金博士評課。他指出：本節課有以下特點：課。他指出：本節課有以下特點： （1 1） 充分展示數學發現活動過程。在這節充分展示數學發現活動過程。在這節課中，教師通過