1、 空間角.空間距離綜合一:高考真題:圖911.（2003京春文11，理8）如圖91，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點.將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數為（ ）A.90° B.60°C.45° D.0°2.（2002全國理，8）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側棱長為，則這個棱柱的側面對角線E1D與BC1所成的角是（ ）A.90° B.60° C.45° D.30°3.（2001全國，11）一間

2、民房的屋頂有如圖94三種不同的蓋法：單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.圖94若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（ ）A.P3P2P1B.P3P2P1C.P3P2P1D.P3P2P14.（2001全國，9）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（ ）A.60° B.90° C.105° D.75°5.（2000全國文，12）如圖95，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）A.B.C.D.6.（1995全國

3、文，10）如圖97，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（ ）A. B.C. D.7.（2003上海春，10）若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側面和底面所成二面角的大小等于 （結果用反三角函數值表示）.8.（2002京皖春，15）正方形ABCD的邊長是2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角（如圖911所示）.M為矩形AEFD內一點，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為 .9.（2002上海，4）若正四棱錐的底面邊長為2 cm，體積為4 cm3，則它的側面與底面所成的二面角的大小

4、是 .圖91310.（2000上海春，8）如圖913，BAD90°的等腰直角三角形ABD與正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為_.11.（2003京春文，19）如圖919，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點.（）求三棱錐D1DBC的體積；（）證明BD1平面C1DE；（）求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值.圖919 圖920圖92112.（2003京春理，19）如圖920，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側棱長為4.E，F分別為棱AB，BC的中點，EFBD=G.（）求證：平面

5、B1EF平面BDD1B1；（）求點D1到平面B1EF的距離d；（）求三棱錐B1EFD1的體積V.13.（2002京皖春文，19）在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如圖921）（）證明：SCBC；（）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小；（）求三棱錐的體積VSABC.14.（2002全國理，18）如圖926，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0a）.（）求MN的長；（）當a為何值時，MN的長最??；（）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的

6、二面角的大小.圖926 圖92715.（2001春季北京、安徽，19）如圖927，已知VC是ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在ABC的高CD上.ABa，VC與AB之間的距離為h，點MVC.（）證明MDC是二面角MABC的平面角；（）當MDCCVN時，證明VC平面AMB；（）若MDCCVN（0，求四面體MABC的體積.答案解析圖9431.答案：B解析：將三角形折成三棱錐如圖943所示.HG與IJ為一對異面直線.過點D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°.評述：本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關

7、系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關系是關鍵.通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.2.答案：B解析：連結FE1、FD，則由正六棱柱相關性質得FE1BC1.在EFD中，EF=ED=1，FED=120°，FD=.在RtEFE1和RtEE1D中，易得E1F=E1D=.E1FD是等邊三角形.FE1D=60°.BC1與DE1所成的角為60°.評述：本題主要考查正六棱柱的性質及異面直線所成的角的求法.3.答案：D解析：由S底S側cos可得P1P2而P3又2（S1S2）S底 P1P

8、 2P 3圖948 4.答案：B解析：如圖948，D1、D分別為B1C1、BC中點，連結AD、D1C，設BB11，則AB，則AD為AB1在平面BC1上的射影，又DE2BE2BD22BE·BD·cosC1BC而BE2DE2BD2圖949BED90° AB1與C1B垂直圖9505.答案：D解析：如圖950，由題意知，r2hR2h，r 又ABOCAO，OA2r·R，cos6.答案：A解析：這是兩條異面直線所成角的問題，如圖951將DF1平移至AG1，A1G1，再將AG1平移至EE1，其中AE，B1E1，BE1E即是異面直線BE1與DF1所成的角.圖951設正方

9、體棱長為l，可求得EE1BE1，EB，在BEE1中由余弦定理得cosBE1E故應選A.評述：利用直線平移，將異面直線所成角轉化為相交直線所成角，將空間圖形問題轉化為平面圖形問題來解決.“轉化”是一種重要的數學思想，這種思想在近幾年的試題里明顯地、有意識地進行了考查.圖9537.答案：arctan解析：設棱錐的高為h，如圖953，則V=·4×4×sin60°·h=1，h=.D為BC中點，OD=AD=··4=.易證PDO為側面與底面所成二面角的平面角tan=.故=arctan評述：本題考查三棱錐中的基本數量關系，考查二面角的概念

10、及計算.圖9548.答案：解析：過M作MOEF，交EF于O，則MO平面BCFE.如圖954，作ONBC，設OM=x，又tanMBO=，BO=2x又SMBE=BE·MB·sinMBE=BE·MESMBC=BC·MB·sinMBC=BC·MNME=MN，而ME=，MN=，解得x=.9.答案：30°解析：如圖960，作BC邊中點M，VMBC過V作VO底面ABCDVOMO，MOBC，VMO為其側面與底面所成二面角的平面角V錐=SABCD·VO4=·（2）2·VO ，VO=1又OM=，VOMO，VMO=3

11、0°側面與底面所成的二面角為30°.10.答案：45°解析：過點A作AFBD于F，則AF面BCD，AEF為所求的角設BDa，則AF，EF，在RtAEF中，AEF45°11.（）解： =·2·2·1=.（）證明：記D1C與DC1的交點為O，連結OE.O是CD1的中點，E是BC的中點，EOBD1，BD1平面C1DE，EO平面C1DE.BD1平面C1DE.（）解：過C作CHDE于H，連結C1H.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C平面ABCD，C1HDE，C1HC是面C1DE與面CDE所成二面角的平面角.DC=2，CC1=

12、1，CE=1.CH=tanC1HC=.即面C1DE與面CDE所成二面角的正切值為.評述：本題考查正四棱柱的基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.12.（）證法一：連接AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形.ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F分別為AB，BC的中點，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.證法二：BE=BF，EBD=FBD=45°，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1.（）解：在對角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平

13、面B1EF，且垂足為H，點D1到平面B1EF的距離d=D1H.解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H，D1B1=A1B1=4.sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4·解法二：D1HBB1BG，圖964d=D1H=.解法三：如圖964，連接D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半.即B1G·D1H=BB12.d=.（）·d·.評述：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關系.要求對圖形必須具備一定的洞察力.并進行一定的邏輯推理.在研究本題時，要注意摘出平面圖形，便于計算.13.（）證明

14、：SAB=SAC=90°， SAAB，SAAC.又ABAC=A， SA平面ABC.由于ACB=90°，即BCAC， 由三垂線定理，得SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在RtSCB中，BC=5，SB=5. 得SC=10在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=SCA=60°，即側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°.（）解：在RtSAC中，SA=.SABC=·AC·BC=×5×5=.VSABC=·SACB·SA=.圖97014.

15、解：（）作MPAB交BC于點P，NQAB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，如圖970MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，AC=BF=， .即CP=BQ=.MN=PQ=（0a）.（）由（），MN=，所以，當a=時，MN=.即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為.圖971（）取MN的中點G，連結AG、BG，如圖971AM=AN，BM=BN，G為MN的中點AGMN，BGMN，AGB即為二面角的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有cos=.故所求二面角=arccos（）.評述：該題考點多，具有一定深度，但

16、入手不難，逐漸加深，邏輯推理和幾何計算交錯為一體；以兩個垂直的正方形為背景，加強空間想象能力的考查.體現了立體幾何從考查、論證和計算為重點，轉到既考查空間概念，又考查幾何論證和計算.但有所側重，融論證于難度適中的計算之中.反映教育改革趨勢，體現時代發展潮流.此外解答過程中，必須引入適當的輔助線，不僅考查識圖，還考查了基本的作圖技能.充分體現了“注重學科之間的內在聯系”，較為深入和全面考查各種數學能力.圖97215.（）證明：CDAB，VN平面ABC，AB平面ABC，VNAB.又CDVNN 平面VNCAB又MD平面VNC MDABMDC為二面角MMABC的平面角.如圖972（）證明：VC平面VC

17、N，ABVC又在VCN和CDM中，CVNMDC，VCNVCN DMCVNC90°.DMVC又ABDMD，AB、DM平面AMB VC平面AMB（）解：MDAB且MDVC，MD為VC與AB的距離為h.過M作MECD于E圖973VMABCAB·CD×ME·ah2tan四、作業 同步練習 空間角距離綜合1、已知半徑是B的球面上有A、B、C三點，AB=6 ,BC=8, AC=10;則球心O到截面ABC的距離為（ ）A、12 B、8 C、6 D、52、已知三棱錐P-ABC，PA平面ABC，,AB=1,D、E分別是PC、BC的中點，則異面直線DE與AB的距離是（ ）A

18、、 B、 C、 D、與PA的長有關3、設兩平行直線a、b間的距離為2m，平面與a、b都平行且與a、b的距離都為m，這樣的平面有（ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個4、一個二面角的兩個面分別與另一個二面角的兩個面垂直，則這兩個二面角（ ）A、相等 B、互補 C、相等或互補 D、不確定5、平面CD，P為這兩個平面外一點，PA于A，PB于B，若PA=2,PB=1AB=則二面角的大小為（ ）A、 B、 C、 D、6、P是平面ABC外一點，若PA=PB=PC,且則二面角P-AB-C的余弦值為 .7、正三棱錐的一個側面的面積與底面面積之比為2：3，則這個三棱錐的側面和底面所成二面角的度數為 。8、

19、已知,過O點引所在平面的斜線OC與OA、OB分別成、角，則以OC為棱的二面角A-OC-B的余弦值為 。9、平面的一條垂線段OA（O為垂足）的長為6，點B、C在平面上，且,那么B、C兩點間距離的范圍是 。10、正方體的棱長為a，點P 在棱上運動，那么過P、B、D1三點的截面面積的最小值是 11、直三棱柱中，,AC=AA1=a，則點A到截面A1BC的距離是 12、（05湖南）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABCDOO1ABOCO1D13、（05湖北）如圖所示的多面體是由底面

20、為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （）求BF的長； （）求點C到平面AEC1F的距離.參考答案A B C D D 12、解法一（I）證明 由題設知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖3，則相關各點的坐標是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）圖3O1（0，0，）.從而所以ACBO1. （II）解：因為所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設是0平面O1AC的一個法向量，由 得. 設二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，ABOCO1D所以cos，>=即二面角OACO1的大小是解法二（I）證明 由題設知OAOO1，OBOO1， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，圖4即OAOB