1、排隊論在超市收銀臺管理與優化設計中的應用摘要：排隊論又稱隨機服務系統，本文介紹了排隊論中處理超市收銀服務的基本理論，并在此基礎上應用M/M/c/排隊模型對宣威的某一便民超市排隊現象進行研究。通過收集、整理超市收銀系統工作日和周末的接受收銀服務的數據，根據排隊論的相關理論建立模型，研究了該超市收銀臺的最優收費柜臺數目。關鍵詞：排隊論；M/M/c/模型；超市；收銀臺；優化1 引言1.1問題的研究背景及其意義隨著市場經濟的發展，超市在中國城鄉各地大量涌現，超市這一零售業已越來越受人們的歡迎。在激烈的市場競爭中，如何提高經濟效益，吸收更多的顧客是超市經營商最關心的問題。而收銀臺的排隊系統是超市和顧客接

2、觸的平臺，排隊系統的服務質量將影響到超市整個運營的水平和績效，利用排隊論優化超市收銀臺，為顧客提供最佳服務將是超市競爭的必然選擇。收銀員的形象、服務態度、職業技能固然重要，而超市收銀臺的管理與優化也不容忽視。收銀臺前排隊成龍的超市顯然不是人們希望購物的環境，多數人寧愿放棄或稍遠一點去購物，也不愿在擁擠中排隊等待。特別是一些成功人士，寧愿多花一點錢也不愿排隊，對他們來說時間就是金錢。由于顧客的到達是隨機的，若開放的服務窗口過少，排隊現象就會嚴重，影響服務質量造成顧客流失；但如果超市開放的收銀臺過多，雖然可以減少顧客等待時間，卻意味著超市增加投資，有時還可能發生資源空閑浪費的現象。因此，如何根據客

3、流量動態的、合理的開放收銀臺數目，縮短顧客等待時間，同時降低超市經營成本，提高效益，顯得尤為重要。1.2研究現狀超市最初于20世紀30年代以不提供服務的廉價零售店在美國建立，之后成為美國主要食品市場通道，50年代傳播到歐洲，超市的發展是發達國家降低成本，簡化銷售方式趨勢的一部分。20世紀60年代超市在歐洲和拉丁美洲的發展中國家出現，主要受中、上層階級歡迎，顧客以自助式的購買方式挑選商品。隨著超市行業的迅速發展，對超市收銀服務系統的研究已經受到人們的關注。因為就超市經營者而言，增加收銀臺就意味著增加投資，而收銀臺太少，排隊現象就會嚴重影響服務質量，造成客源流失。那么到底設置多少收銀臺較為合適呢？

4、現階段解決這一問題的方法是將系統中的由于等待所產生的損失費用加上超市開放收費窗口的費用作為總費用，使得這個總費用最小的收費窗口數即為所求14。排隊論也稱隨機服務系統理論，是運籌學的一個重要分支，已經廣泛地應用到實際生活中，尤其在通信系統、交通與運輸系統、生產與服務系統、存貯與裝卸系統、管理運籌系統、網絡設計、計算機存儲等領域都可用排隊模型進行描述。把相應排隊理論的研究成果應用到生產生活中，可以指導各種策略設計，給經濟的發展帶來巨大貢獻，見文獻5,6。而排隊論理論也廣泛地應用于超市收銀系統見文獻79，超市收銀服務系統是一個動態的多服務臺等待制隨機服務系統，對服務系統的隊長、等待時間等指標進行分析

5、研究，合理利用排隊論來分析超市最佳的收銀臺數將具有重要的經濟價值和實際意義。2等待制M/M/c/ 模型10-12在M/M/c/ 模型中假設顧客到達的時間間隔服從參數為的負指數分布，顧客的服務時間服從參數為的負指數分布，到達時間與服務時間是相互獨立的，有c個服務臺。若顧客到達時服務窗全部處于忙的狀態，則進行排隊等待。等到服務完畢后才離開，另外規定各收銀臺工作是相互獨立且平均服務率相同1=2=。=c=,，于是整個服務機構的平均服務率為c（當nc）;為n（當n<c）令=，只有當<1時才不會排成無限的隊列，稱它為這個系統的服務強cc度或稱服務機構的平均利用率。其中>0是常數，為顧客到

6、達強度，即單位時間內的顧客平均到達量。若X(t)表示時刻t系統中的顧客數，設Pk=limPX(t)=k表示時間t內有kt個顧客到達的概率。當=c-1<1時，系統可以達到穩態，且有平穩分布 cP0=k=01kk!+1c1-1 c!1-ckkP0 , (0k<c)c!Pk=c c kP , (kc)0c!1其中 1=，=; c3 超市收銀臺服務系統模型假設及建立3.1分析超市收銀臺系統特征超市顧客交費排隊系統是一個動態的多服務臺等待制排隊系統，它有如下特征：（1）顧客到達交費服務系統是相互獨立的，顧客到達的時間間隔是隨機的。（2）服務規則遵從先到先服務原則，且為等待制，即當所有服務臺均

7、有人時，則需排隊等待。（3）收銀員看作系統的服務員系統由多服務員組成，且對每個顧客的服務時間是相互獨立的。3.2超市收銀臺服務系統模型的假設由于可假設超市收銀臺服務系統中有c個服務臺或服務員，顧客源是無限的，顧客按泊松流來到服務系統，到達強度為，服務員的服務能力為，各個服務臺的服務時間都是具有相同服務率的負指數分布。當顧客到達時，如果每個收銀臺都有人則參加排隊等待服務，直到服務完成為止。所以假設超市收銀臺服務系統是一個多服務臺等待制M/M/c/ 排隊模型。（1）顧客流量假設假設顧客到達的規律可用概率來描述，即顧客到達的時間間隔符合泊松分布。 k-泊松分布的函數為Px=k=e（為常數，k=0,1

8、,2,）即在時間T!k-T(T)e內有k位顧客到達的概率為：P=!，其中T是時間T內顧客到達的平均數，為平均到達率。（2）服務時間收銀臺對顧客是一個一個進行服務的，而且每一位顧客服務時間長短不一，將服務時間看做相互獨立的隨機變量，則排隊系統的服務時間服從負指數分布。其分布函數為：F(t)=1-e-t，t0。其中>0為常數，代表單位時間內的平均服務率。則平均服務時間可表示為：（3）服務機構設超市有c個相互獨立的服務臺，且假定每個服務臺的服務能力相同，每個 2 1。服務臺每次只能服務一個顧客。服務時間服從參數為的負指數分布。（4）排隊規則按先到先服務排隊，當各服務臺都有人時則需要排隊，通常顧

9、客到達后總是排在最短的隊列后面，所以我們可以認為每個服務臺的隊列是一樣長的。3.3模型變量及參數的含義在超市購物中，顧客與超市為了照顧自己的利益，從而對排隊中的幾個指標：隊長、等待時間、服務臺的忙期都是很關心的。因此，這幾個指標就成了排隊論的主要研究內容。（1）為顧客到達強度，即單位時間內的顧客平均到達量。（2）為各個服務臺的平均服務速率（設每個服務臺速率都為），即服務員的服務能力。（3）為服務強度，即平均每單位時間中系統可以為顧客服務的時間比例，=。 c（4）P0為排隊服務系統中沒有顧客的概率。（5）Ls(隊長)表示系統中的顧客數（包括排隊等候的和正在接受服務的所有顧客）稱平均隊長。（6）L

10、q(排隊長)表示系統中排隊等候的顧客數，稱為平均隊列長。（7）Ws(逗留時間（包括等待時間和服務時)表示顧客在系統中平均逗留時間間）。（8）稱平均排隊等待時間。Wq(等待時間)表示顧客在系統中的平均等待時間，如果設顧客接受服務的時間均值為W服，則有：Ws(逗留時間)=Wq(等待時間)+W服說明：后四項指標的值越小，說明系統中排隊的越少，等待時間越少，因而系統的性能就越好。3.4模型中系統的相應運行指標（1）平均排隊等待隊長(c)cLq=(n-c)Pn=P 20c!(1-)n=c+13（2）系統隊長（系統中平均顧客數）Ls=Lq+L服=Lq+1 （3）平均等待時間Wq=Lq（4）平均逗留時間Ws

11、=Ls=Wq+1ckkP0 , (0k<c)c-11k1c1-1c!其中：P0= + ， Pk=ck!c!1-k=0ckP , (kc)0c!1=， =;c4 模型應用實例及結果分析 4.1超市實際數據的收集我所選定的便民超市有500多平方米，工作日有2個收銀臺對顧客進行服務，周末有3個收銀臺對顧客進行服務。有時在收銀臺付款時需要等待幾分鐘才能得到服務，據了解在中午和周末排隊現象相對更嚴重。所以決定選此建模分析得出最優收銀臺數。因此我對該超市進行了為期一周（7月20日7月26日）的數據調查統計(數據網絡借鑒僅供參考)。對工作日和周末分別分十三個時段進行調查研究。采用人工統計的方法，每1個

12、小時記錄一次通過所有收銀臺接受收銀服務的客流量，對顧客的到達情況統計整理如下：表4.1工作日等待接受收銀服務的顧客數10:0011:00 11:0012:00 12:0013:00 13:0014:00 14:0015:00 15:0016:00 16:0017:0088 77 147 81 62 48 7099 65 128 74 31 71 61481 94 162 59 19 56 7942 103 144 91 48 83 51112 61 199 30 41 28 64422 401 780 335 201 286 32517:0018:00 18:0019:00 19:0020:0

13、0 20:0021:00 21:0022:00 168 151 142 129 37 182 138 128 141 52 201 159 108 153 91 228 205 113 118 162 242 196 147 138 154 104 33146 182 102 188 62 212 170 61 200 97 909 800 541 811 339表4.2周末等待接受收銀服務的顧客數173 184 97 108 147 223 206 171 132 144 118 27401 389 210 226 309 465 402 318 270 308 222 6010:0011:

14、00 11:0012:00 12:0013:00 13:0014:00 14:0015:00 15:0016:00 16:0017:00 17:0018:00 18:0019:00 19:0020:00 20:0021:00 21:0022:004.2超市實際數據的整理下面分別用1表示工作日顧客的到達均值，2表示周末顧客的到達均值。其中1=周一到周五各時段總人數周六到周日各時段總人數，2=，通過對上52面的數據進行計算，我們得到顧客的平均到達率如表4.3所示。表4.3工作日與周末顧客平均到達率時間段 9:0010:0010:0011:00 11:0012:00 12:0013:00 13:00

15、14:00 14:0015:00 15:0016:00 16:0017:00 17:0018:00 18:0019:00 19:0020:00 20:0021:001（人/小時）58 84 80 156 67 40 57 65 182 160 108 16252(人/小時)95 200.5 194.5 105 113 154.5 232.5 201 159 135 154 11168 30 21:0022:001287 1885 合計由表4.3的數據可以作出該超市工作日和周末顧客平均到達率的變化趨勢圖4.1，其中，1工作日顧客到達均值用實線表示，2周末顧客到達均值用虛線表示。4.3超市收銀臺各

16、服務指標的比較計算根據上面的統計數據，工作日和周末到服務臺接受收銀服務的顧客的平均到達率分別是：1287=99(人/小時)=1.65(人/分鐘) 1318852(周末)=145（人/小時）2.42(人/分鐘)13一般情況下，該超市在工作日會開2個收銀臺，在周末會開3個收銀臺，對1(工作日)=每一個收銀臺而言，則1'(工作日)=（工作日）9912=250(人/小時)0.83(人/分鐘)2'(周末)=（周末）14523348（人/小時）=0.80(人/分鐘)通過對超市收銀臺的實際觀察和了解，得知該超市的每個收銀臺的收銀員的平均服務率為：60人/小時。根據3.2等待制M/M/c/ 模

17、型中介紹的計算公式，計算出相關的服務指標如表4.4所示。其中服務強度=，c為收銀臺數目。 c系統中的平均顧客數：Ls=Lq+L服=Lq+1，且1=。 (c)c系統中排隊等候的平均顧客數：Lq=(n-c)Pn=P， 20c!(1-)n=c+1且 P0=k=0c-11kk!+1c1-1c!1-1顧客在系統中的平均逗留時間：Ws=LsLq=Wq+顧客在系統中的平均等待時間：Wq=6表4.4相關服務指標服務指標 服務強度系統中的平均顧客數Ls（人） 系統中排隊等候的顧客數Lq（人） 顧客在系統中的平均逗留時間Ws（分鐘） 顧客在系統中的平均等待時間Wq（分鐘） 如：在工作日工作日 0.83 5.30

18、4.47 6.30 5.30周末 0.80 3.98 3.18 4.98 3.981=99=1.65 60=1.65=0.83 c2c-11k1c1-111P0=+=0.0938 012c!1-10.657（1.65）（1.65）（1.65）1k=0k!+0！1！2！1-0.832(c)c（20.83）Lq=(n-c)Pn=P=0.09384.47 202c!(1-)2?。?-0.83）n=c+1從上面的數據可以看出，在工作日時系統中的平均顧客數每分鐘超過了5人，而周末時系統中的平均顧客數每分鐘超過了3人，從而有的顧客可能在工作日購物時，排隊長度超過了容忍度，以后可能會放棄在該超市購物，所以超

19、市應該加以改進，以避免引起顧客的不滿，甚至是放棄購買，影響到超市的效益。 4.4超市收銀臺數目優化方案為了既排除當排隊過長時，引起顧客的不滿，甚至放棄購買，而且又可以使超市開放收銀臺的費用最省。用3.4模型中系統的相應運行指標分別計算出在收銀臺數不同下的各指標，進而通過比較得出工作日與周末，開放收銀臺的最優數目。工作日和周末在不同的收銀臺數目下的各服務指標分別如表4.5與表4.6所示。(只研究<1的情形，因為當>1是，系統不穩定，會使越來越多的人排隊等候)表4.5不同收銀臺數目下的各服務指標（工作日）7Ls（人）5.30 4.47 6.30 5.301.20 0.65 2.20 1

20、.200.582 0.169 1.582 0.5820.37348 0.043486 1.37348 0.37348Lq（人） Ws（分鐘）Wq（分鐘）表4.6不同收銀臺數目下的各服務指標（周末）3.981.3433 0.739056 2.3433 1.34330.708 0.225 1.708 0.708Ls（人）Lq（人） Ws（分鐘）3.18 4.98 3.98Wq（分鐘）由上面表4.5可以看出，在工作日時當收銀臺數增加到3個時，顧客幾乎不用排隊即可享受服務，但是超市的成本將會增加。如果只開2個收銀臺，超市固然可以減少成本，而有些顧客由于在工作日的時間比較急，可能下次會放棄在該超市購物，

21、為了既排除當排隊過長時，引起顧客的不滿，甚至放棄購買，影響到超市的收益。結合圖4.1，可得在工作日的12：0013：00、17：0019：00、20：0021：00安排3個收銀臺，其他時段安排2個收銀臺是比較合理的。同樣，由表4.6可得，在周末時當收銀臺數增加到4個時，顧客幾乎不用排隊即可享受服務，但是超市的成本將會增加。如果只開3個收銀臺，在購物高峰時段可能引起顧客的不滿，影響到超市的收益。結合圖4.1，所以在周末的10：0012：00、15：0017：00、19：0020：00安排4個收銀臺，其他時段安排3個收銀臺是比較合理的。這樣就避免了超市收銀臺太少，會出現嚴重的排隊現象，造成顧客流失

22、；收銀臺太多還有可能發生空閑浪費，造成超市成本的增加。 5 結論及展望本文用排隊論中的M/M/c/ 模型的知識來研究超市收銀臺的優化問題。通過利用排隊論的知識建立數學模型，收集一個超市的實際數據，用該模型對此進行研究，得出在滿足顧客需求的情況下，對其開放的收銀臺數目進行優化，在該論文中把表4.5與圖4.1、表4.6與圖4.1結合起來進行分析，就可以對超市收銀臺的數目實施動態管理，將有效提高工作效率，為超市節約成本。本論文研究可以為超市、醫院、學校食堂等類似的排隊模型提供一定的理論依據。8該模型在解決超市接受收銀服務的排隊問題是有效的，它可以為服務窗口的設置提供一定的理論依據。但在實際的運營中由于工作日、雙休日及節假日客流量會有很大差異，各超市可