1、目 錄1 剛體系統12 彈性系統動力學63 高速旋轉體動力學1013 / 14文檔可自由編輯打印1 剛體系統 一般力學研究的對象，是由兩個或兩個以上剛體通過鉸鏈等約束聯系在一起的力學系統，為一般力學研究對象。自行車、萬向支架陀螺儀通常可看成多剛體系統。人體在某種意義上也可簡化為一個多剛體系統。現代航天器、機器人、人體和仿生學中關于動物運動規律的研究都提出了多剛體系統的一系列理論模型作為研究對象。多剛體系統按其內部聯系的拓撲結構，分為樹型和非樹型（包含有閉鏈）；按其同外界的聯系情況，則有有根和無根之別。利用圖論的工具可以一般地分析多剛體系統的構造，建立系統的數學模型和動力學方程組。也可從分析力學

2、中的高斯原理出發，用求極值的優化算法直接求解系統的運動和鉸鏈反力。依照多剛體系統動力學的理論和方法，廣泛采用電子計算機對這些模型進行研究，對于精確地掌握這些對象的運動規律是很有價值的。 1.1 自由物體的變分運動方程任意一個剛體構件，質量為，對質心的極轉動慣量為，設作用于剛體的所有外力向質心簡化后得到外力矢量和力矩，若定義剛體連體坐標系的原點位于剛體質心，則可根據牛頓定理導出該剛體帶質心坐標的變分運動方程： (1-1)其中，為固定于剛體質心的連體坐標系原點的代數矢量，為連體坐標系相對于全局坐標系的轉角，與分別為與的變分。定義廣義坐標： (1-2)廣義： (1-3)及質量矩陣： (1-4)體坐標

3、系原點固定于剛體質心時用廣義力表示的剛體變分運動方程： (1-5)1.2 束多體系統的運動方程考慮由個構件組成的機械系統，對每個構件運用式(1-5)，組合后可得到系統的變分運動方程為： (1-6)若組合所有構件的廣義坐標矢量、質量矩陣及廣義力矢量，構造系統的廣義坐標矢量、質量矩陣及廣義力矢量為： (1-7) (1-8) (1-9)系統的變分運動方程則可緊湊地寫為： (1-10)對于單個構件，運動方程中的廣義力同時包含作用力和約束力，但在一個系統中，若只考慮理想運動副約束，根據牛頓第三定律，可知作用在系統所有構件上的約束力總虛功為零，若將作用于系統的廣義外力表示為： (1-11)其中：， (1-

4、12)則理想約束情況下的系統變分運動方程為： (1-13)式中虛位移與作用在系統上的約束是一致的。系統運動學約束和驅動約束的組合如式(1-10)，為： (1-14)對其微分得到其變分形式為： (1-15)式(1-13)和(1-15)組成受約束的機械系統的變分運動方程。為導出約束機械系統變分運動方程易于應用的形式，運用拉格朗日乘子定理對式(1-13)和(1-15)進行處理。拉格朗日乘子定理：設矢量，矢量，矩陣為常數矩陣，如果有： (1-16)對于所有滿足式（1-84）的條件都成立。 (1-17)則存在滿足式（1-85）的拉格朗日乘子矢量。 (1-18)其中為任意的。在式(1-13)和(1-15)

5、中，運用拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15)，則存在拉格朗日乘子矢量，對于任意的應滿足： (1-19)由此得到運動方程的拉格朗日乘子形式： (1-20)式(1-20)還必須滿足式(1-10)、(1-12)和(1-14)表示的位置約束方程、速度約束方程及加速度約束方程，如下： (1-21)， (1-22)， (1-23)以上三式其維數同式(1-14)。式(1-20)、(1-21)、(1-22)和(1-23)組成約束機械系統的完整的運動方程。將式(1-20)與(1-23)聯立表示為矩陣形式： (1-24)式(1-24)即為多體系統動力學中最重要的動力學運動方程，式(1-24)還必須滿足式

6、(1-22)和(1-23)。它是一個微分代數方程組，不同于單純的常微分方程組問題，其求解關鍵在于避免積分過程中的違約現象，此外，還要注意DAE問題的剛性問題。如果系統質量矩陣是正定的，并且約束獨立，那么運動方程就有唯一解。實際中的系統質量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨立的，運動方程就會有解。在實際數值迭代求解過程中，需要給定初始條件，包括位置初始條件和速度初始條件。此時，如果要使運動方程有解，還需要滿足初值相容條件，也就是要使位置初始條件滿足位置約束方程，速度初始條件滿足速度約束方程。對于由式(1-24)及(1-21)、(1-22)確定的系統動力學方程，初值相容條件為： (1-25) (1

7、-26)1.3 正向動力學分析、逆向動力學分析與靜平衡分析對于一個確定的約束多體系統，其動力學分析不同于運動學分析，并不需要系統約束方程的維數等于系統廣義坐標的維數，。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿足位置約束式(1-22)及速度約束式(1-23)的運動方程式(1-24)，就可得到系統的加速度和相應的速度、位置響應，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運動及約束反力的動力學分析，稱為正向動力學分析。如果約束多體系統約束方程的維數與系統廣義坐標的維數相等，也就是對系統施加與系統自由度相等的驅動約束，那么該系統在運動學上就被完全確定，由2.2.3節的約束方程、速度方程和加速

8、度方程可求解系統運動。在此情況下，雅可比矩陣是非奇異方陣，即： (1-27)展開式(1-24)的運動方程，為： (1-28) (1-29)由式(1-29)可解得，再由式(1-28)可求得，拉格朗日乘子就唯一地確定了作用在系統上的約束力和力矩（主要存在于運動副中）。這種由確定的運動求系統約束反力的動力學分析就是逆向動力學分析。如果一個系統在外力作用下保持靜止狀態，也就是說，如果： (1-30)那么，就說該系統處于平衡狀態。將式(1-30)代入運動方程式(1-20)，得到平衡方程： (1-31)由平衡方程式(1-21)及約束方程式(1-13)可求出狀態和拉格朗日乘子。這種求系統的平衡狀態及在平衡狀

9、態下的約束反力的動力學分析稱為（靜）平衡分析。1.4 約束反力對于約束機械系統中的構件，設其與系統中某構件存在運動學約束或驅動約束，約束編號為。除連體坐標系外，再在構件上以某點為原點建立一個新的固定于構件上的坐標系，稱為運動副坐標系，設從坐標系到坐標系的變換矩陣為，從坐標系到坐標系的變換矩陣為，則可導出由約束產生的反作用力和力矩分別為： (1-32) (1-33)以上兩式中，為約束對應的拉格朗日乘子，反作用力和力矩均為運動副坐標系中的量。2 彈性系統動力學由于工業機器人、機械手、彈性聯動裝置、帶柔性附件人造衛星、直升飛機的旋翼等工程結構發展的需求， 使運動中的彈性結構的動力學分析得到了很大的進

10、展。運動彈性體的動力學分析屬于多體系統動力學的范疇。而導出其有限元格式的動力學方程并研究其數值解法則是計算多體系統動力學的任務。由于彈性變形與剛體運動的耦合導致了運動彈性體的動力學方程為時變的或非線性的，因此運動中的彈性體會出現諸多非線性效應。運動中彈性體的動力分析問題可分為兩類, 其一是具有給定剛體運動的彈性體的動力分析，這類問題僅討論彈性體的剛體運動對其彈性變形的影響，比如機械手的彈性終端桿的振動分析一般可歸于此類。第二類問題是多體系統中之剛體運動與其中的彈性體的彈性變形的相互耦合的動力分析, 在這類問題中, 彈性體的變形會受到系統剛體運動的影響， 反之彈性體的變形也會影響系統的剛體運動。

11、下面采用運動參考系方法并用Jourdain 動力學普遍方程導出了具有空間一般運動的彈性體之通用的有限元動力學方程，其最大的優點在于推導簡單并適用于各類結構及各種單元形式。對系統的動力學方程的數值求解, 一般可以采用直接積分法。下面給出了對時變的運動彈性的動力學方程的Neumann 級數2直接積分解法, 該方法可以在保證計算精度的前提下很大程度地節省機時。圖2-1圖2-1 所示為一運動的彈性體，選用兩個坐標系來定義彈性體的剛體運動與彈性變形:靜系， 簡記系; 原點在上的點, 固連于上的動系，簡記為系。的剛體移動由點對于點的矢量，定義的空間轉動則用系對系的轉動來定義, 而內任意點的彈性變形則用在系

12、內的彈性變形位移矢量來表示。由圖可見發生彈性變形后, 其上任意一點對系的位置矢量可以表示為: （2-1）而 （2-2）其中是未產生彈性變形時點在系中的位置矢量，則表示點的彈性變形位移矢量。把(2-2) 式代入(2-1) 式并向系投影, 且采用矩陣形式表示為: （2-3）其中和分別表示和向 系的投影列陣；表示系向系轉移的方向余弦矩陣。把(3-3) 式中的用有限元的格式，表達為: （2-4）其中為單元形函數矩陣，為點所在單元的有限元結點位移列陣。把(2-4) 式代入(2-3)式, 并利用公式: （2-5）其中 是系相對于系轉動角速度在系上投影的斜對稱陣。由(2-3) 式對時間分別求一次導數和二次導

13、數可得點的速度和加速度，進而可得到點的虛速度，于是點鄰域之微元體的Jourdain 動力學普遍方程可以寫作: （2-6）其中: 為彈性體在點的質量密度；是作用于點微元體上的全部力在系上的投影。對于可利用常規有限元的格式將它寫作: （2-7）其中: 和分別為單元剛度陣和單元阻力陣在點的值; 為作用在點微元體上的外力在系的列陣, 把求得的點的虛速度和加速度以及(2-7) 式代入(2-6) 式, 并考慮到中諸元素之獨立性, 可得點微元體的動力學方程為： （2-8）將(2-8) 式對單元積分便可得運動的彈性體的單元動力學方程: （2-9）式中:其中，分別是常規有限元法中的單元阻力陣、剛度陣和外力向量,

14、 而，則分別是由于剛體運動與彈性變形的耦合而產生的附加單元動力阻尼陣、動力剛度陣和動力力向量。而且由于它們的表達式中含有表示彈性體空間運動量和， 因此,通常這些動力附加項是時變的。當彈性體的剛體運動速度特別是轉動速度較大時, 彈性體受到較大的慣性力作用, 會產生變形的耦合效應。例如轉動的梁, 由于離心慣性力產生的軸向拉力會增大梁的抗彎剛度, 即所謂的“剛化效應”。這時在(2-10) 式中的常規剛度陣 中需計入結構的幾何剛度陣, 關于各類單元的幾何剛度陣可參閱有關非線性有限元的書籍。而結構的幾何剛度陣往往是未知內力的函數, 這時方程(2-9)式就是一個非線性的動力方程。但對于簡單的彈性體, 如梁

15、, 由于剛體運動的慣性力產生的軸力容易求得, 這時的幾何剛度陣就變為時變陣。本文只討論幾何剛度陣為時變陣的情況, 即方程(2-9)式為時變動力學方程時的數值解法。顯然, 若彈性體沒有剛體運動, 則方程(2-9)式退化為常規的有限單元動力學方程。把(2-9)式按常規有限元的組集方法進行組集, 便可得到對于運動彈性體的具有時變特性的、通用的有限元動力學方程: （2-10）3 高速旋轉體動力學高速旋轉體通常是由是由三個剛體外環、內環、轉子互相約束在一起而成，可使陀螺儀轉子具有空間轉動的三個自由度。過去曾長期認為，高速自轉的平衡對稱卡登陀螺儀和單剛體陀螺儀的理論模型沒有本質區別，具有所謂“定軸性。但實

16、際上,理論研究和精密的實驗研究都已證明這個想法是錯誤的。平衡對稱卡登陀螺儀的空間定向大都具有里雅普諾夫意義下的不穩定性（見運動穩定性）。卡登陀螺儀和單剛體陀螺儀模型有本質區別，只有通過多剛體系統模型的研究才能正確解釋卡登陀螺儀的動力學特征。圖3-1如圖3-1所示，對于外徑與長度的比值的轉子，如多缸內燃機的曲軸、機床主軸等，這些轉子的不平衡質點不是集中在同一平面內，而是分布在垂直于軸線的各個平面內。對于這種轉子動平衡問題, 一般都采用矢量法來求校正質量、的重徑積和。但是這種方法所帶來問題是力多邊形不易求解以及圖解法不夠精確。假如采用平面解法，不僅簡單正確，而且對于沒有動平衡機的工廠無疑有一定的實

17、用價值。上述轉子質量分布簡圖如圖3-2所示，不平衡質量、分別分布在與回轉軸線垂直的三個平面1、2、3內, 各質點距回轉軸線的矢徑分別為、。當轉子以等角速度。回轉時, 各質點所產生的離心慣性力分別為 （3-1） （3-2） （3-3）圖3-2方向如圖所示。若選擇轉子左、右二端面（過點A與軸線垂直的平面）、（過點B與軸線垂直的平面）作為校正平面， 在、平面內分別加上校正質量、，矢徑為、，則校正質量所產生的離心慣性力為和，、和組成了空間力系。選取三坐標軸、軸如圖所示，并將作用在轉子上的所有力向平面和平面投影，如圖3-3所示。圖3-3在圖3-3中, 所有的力組成了平面平行力系, 列平衡方程：， （3-4）， （3-5）解得： （3-6） （3-