1、第 1 期2003 年 1 月電子學報ACTA ELECTRONICA SINICAVol. 31 No. 1Jan. 2003基于Poisson-Markov 場的超分辨力圖像復原算法,( 理工大學光電工程系,100081)摘 要: 圖像的超分辨力復原和信噪比的提高是圖像復原追求的目標. Poisson-ML 圖像復原( PML) 具有很強的超分辨力復原能力, 但在復原過程中會產生振蕩條紋且對帶噪較大的圖像不能取得理想的復原效果. 在 Poisson 和Markov 分布假設的基礎上, 提出基于 Poisson-M arkov 場的超分辨力圖像復原算法及其正則化參數的自適擇 (MPML) .

2、 實驗表明, MPML 算法不但具有很超分辨力復原能力, 而且能有效減少和去除復原圖像中的振蕩條紋, 對于帶噪較大的圖像也能取得理想的復原效果, 因此其圖像復原質量明顯好于 PML 算法. 正則化參數能被自動優化地選擇且與圖像復原的迭代運算同步進行.:圖像處理; 圖像復原; 超分辨力; Markov 隨機場; Poisson 分布; Bayes 分析號:TN911 73文獻標識碼:A文章編號:0372- 2112 ( 2003) 01- 0041-04Super- Resolution Image Restoration Algorithm Based on Poisson- Markov M

3、SU Bing-hua, JIN We-i qi( Optoel ectronic Engineering Dept . , Institute of T echnology , 100081, )Abstract: The aim of image restoration is to achieve super-resolution and increase signa-l noise ratio. Poisson-ML image restoration algorithm ( PML) has high super-resolution performance, but introduc

4、es oscillatory artifacts in the restored image and can not get a ideal restoration result for the noisy image. Super- resolution image restoration algorithm based on Poisson and Markov mas well as the adaptive choice method of the regularization parameter ( MPML) is proposed through the assumption o

5、f Poisson andMarkov random field. Experiments demonstrate that MPML not only has high super- resolution performance, but also can effectively re- duce and remove oscillatory artifacts in restored images, and get ideal restoration result for the noisy image. The significantly improved restoration res

6、ults are obtained using MPML compared with PML. The regularization parameter can be automatically and optimally cho- sen in step with the restoration of the degraded image.Key words: image processing; image restoration; super- resolution; markov random field; Poisson m; Bayes analysis1 引言在獲取圖像的過程中有許

7、多因素會導致圖像質量的下降 即 , 如光學系統的像差, 大氣擾動, , 離焦, 系統噪聲, 它們會造成圖像的模糊和變形. 即使對于理想成像, 按照葉光學的觀點, 光學成像系統是一個低通濾波器, 由于受到光學系統衍射的影響, 其傳遞函數在某個截止頻率以上值均為零. 對截止頻率之外 的復原或實現超越成像系統分辨力的觀測是人們追求的目標. 超分辨力圖像復原就是試圖復原圖像截止頻率之外的 , 以使圖像獲得 的細節和更高的分辨力, 更加接近理想圖像.超分辨力復原技術在遙感、天文、醫學和公安等領域具有十分重要的應用價值和廣闊的應用前景, 因此近年來已成為圖像復原領域最為活躍的研究課題. 超分辨力圖像復原的

8、研究開始于頻譜外推法, 之后人們發現許多非線性圖像復原法具有超分辨力復原的能力, 且超分辨力復原能力取決于圖像的空間限制、噪聲和采樣間隔 1 . 目前人們提出的超分辨力圖像復原 主要有頻譜外推法2 , POCS 法3 , 神經網絡復原法4 和 Bayes 分析法 5 7 等. 其中, 基于 Bayes 分析的Poisson-ML 圖像復原( PML ) 具有很強的超分辨力復原能力.PML 算法雖然具有很強的超分辨力復原能力, 但其在復原過程中會產生振蕩條紋且對帶噪較大圖像不能取得理想的 復原效果. 本文在 PML 算法基礎上, 假設圖像服從 Markov 隨機場先驗分布, 提出基于 Poiss

9、on-Markov 場的超分辨力圖像復原算法及其正則化參數的自適 擇 (MPML) . 其目的在于: 在獲得很強的超分辨力復原能力同時, 能有效減少和去除復原圖像中的振蕩條紋; 有效減少和去除復原圖像中的噪聲, 對帶噪較大的圖像能取得理想的復原結果; 在不同的圖像和噪聲情況下, 能對正則化參數自動優化地選擇, 獲得復原圖像的全局最優解.收稿日期: 2001-09-27;日期: 2002-05-1342電子學報2003 年2 Markov 隨機場圖像模型隨機場模型是用以表征圖像數據的空間相關性模型, 它表現了圖像中某一像素的灰度值與其它像素灰度值的 8 .式( 3) , 代入式( 6) 有f =

10、 arg Max ln P ( g/ f ) - U( f ) ( 7)這里 U( f ) 被稱為懲罰函數, 為正則化參數. 假設條件圖像g 服從 Poisson 分布, P ( g/ f ) 的概率分布密度可寫成NM ( gij ) gij exp( - gij)記 L = ( i , j ) : 1 i N, 1 j M 表示一幅圖像, L 上的各點( i, j ) 表示一個像素點, 其狀態由隨量 f ij L 來表其中P ( g/ f ) = i= 1 j = 1( 8)g !ij征, 且 fij 在集合 Q = q1 , q 2, , qK 中取值. F 為隨量組成的一個離散隨機場F

11、= ( F11 , , FNM ) , 一幅數字圖像就是這種隨機場的一個實現, 即 F 在L 上的一個組態f = ( f 11, , fNM ) . M arkov 隨機場圖像模型可以用下面兩個定理來描述和 gij = (f * h) ij( 9)=N M 表示物體和圖像的大小, gij 表示像素( i, j ) 的灰度值, g ij表示隨量gij 的統計平均值. 將式( 8) 代入式( 7) , 對目標函數求導則有數學表示:定理 1: F 是L 上的一個關于鄰域系統 的 Markov 隨機 ln P( f / g) f ij gij( f * h) ij hij - U( f ) - 1 (

12、 10) f ij場, 即 F 應滿足( 1) 正概率性, 如果 P( f ij ) > 0, ( i, j ) L , 則令式( 10) 等于零, 利用乘性迭代算法, 可得基于 Markov- Poisson場的圖像復原算法的迭代公式P( f ) = P ( f 11, , f NM ) > 0( 1)f n+ 1= f ngij h - PU( f n)( 11)( 2) Markov 性,ijij( f n * h) ijij f ijP Fij = f ij / Fkl = f kl, ( k , l ) ( i , j ) = P Fij = f ij / Fkl = f

13、 kl, ( k , l ) ij( 2)定理 2: Hammersley-Clifford 定理: F 是 L 上的一個關于鄰域系統 的M arkov 隨機場, 當且僅當 ( F) = P ( F = f ) 是一個對于 的 Gibbs 分布.定理 1 說明圖像中某一像素的灰度值與其相鄰像素的灰度值有關. 定理 2 說明了 Gibbs 分布與 Markov 隨機場之間的等價性, 即 Markov 隨機場的聯合分布函數可以用 Gibbs 分布來表示. 此時, F 的聯合分布函數具有以下形式P( F = f ) = Z- 1 e- U( f ) / t( 3)其中 U( f ) = c CVc(

14、 f ) 稱為能量函數, Vc( f ) 稱為與 C 相關的勢函數; Z 稱為配分函數; t 稱為溫度; c 為簇, C 表示鄰域,鄰域又分為不同的階, 如一階鄰域和鄰域. 從式( 3) 可以看到, 圖像分布的概率大小主要取決于能量函數 U( f ) , 且其中 表示相關運算; P 為系數, 用于算法的收斂特性和速度.4約束懲罰函數 U( f ) 的選擇U( f ) 的選取有多種模型. 線性約束模型可有效去除和抑制圖像中的噪聲, 但由于對棱邊的過度懲罰, 會造成圖像的過度平滑. 非線性約束模型對棱邊的懲罰相對較弱, 可起到保護棱邊和圖像細節的作用 9 . 本文采用以下模型進行適應和對比實驗:d

15、kl = f ij - f kl( i , j ) ( k , l)( 12)U( f ) = ( dij )( 13)C( 1) Tikhonov 模型1 ( d) = ( d / ) 2( 14)U( f ) 越小, 其概率越大.3基于Markov-Poisson 場的圖像復原算法( MPML)( 2) Geman- McClure 模型 2( d) =( 3) Heber-t Leahy 模型( d / ) 21+ ( d/ )2( 15)圖像復原是對如下成像方程的求解問題g( x , y ) = S f ( x , y ) * h( x , y ) + n( x , y )( 4) 其

16、中, f ( x , y ) 表示物函數, g( x , y ) 表示的像函數, n( x , y ) 表示加性噪聲, h( x , y ) 表示系統的點擴散函數, S ( ) 表示 介質或傳感器件的非線性, * 表示卷積.假設f ( x , y ) 和 g( x , y ) 是一個非平穩隨機場. 根據 Bayes分析理論, 在已知圖像 g 的條件下物體f 的概率可寫成為P( g / f ) P( f ) 3( d) = ln 1+ ( d/ ) 2( 16)其中 為形狀參數, 1 是線性模型, 2 和 3 是非線性模型. 此外, 當 SNR 20dB 時, 為了有效減少和去除圖像中的噪聲和振

17、蕩條紋, 同時最大限度地保護和恢復圖像的細節, 選擇約束范圍為一階鄰域系統. 當 SNR = 10dB 時, 為了有效減少和去除圖像中的噪聲, 選擇約束范圍為鄰域系統.5 正則化參數的自適 擇P ( f / g ) =P( g )( 5)從式( 7) 可知, MPML 算法可寫成如下最優化求解問題這里 P ( f / g) 為后驗概率, P( g/ f ) 為已知物體f圖像為g 的條件概率, P ( f ) 和 P ( g) 分別表示物體和 圖像的先驗概率. 如果考慮后驗概率 P ( f / g ) 為最大, 此時 f 的估計問題可變為以下的最大后驗估計問題Max lnP ( g/ f ) +

18、 ln P( f ) ( 6)假設圖像f 的先驗概率P ( f ) 服從Markov 分布, 其分布函數見min M( , f ) = - ln P( g/ f ) + U( f ) ( 17)式中第一項- ln P ( g/ f ) 保證所求的解逼近; 而第二項U( f ) 使圖像變的平滑, 克服和消除噪聲, 同時減少和消除復原圖像中的振蕩條紋. 是兩項之間的權衡因子, 它對圖像復原的好壞有著直接的 , 合理的選擇 可保證解的全局最優與算法的收斂性, 因此對 的選擇是非常重要的. 的大小第 1 期: 基于 Poisson-Markov 場的超分辨力圖像復原算法43取決于圖像特性和圖像中的噪聲

19、, 通常情況下通過實驗來確定, 這樣不僅耗費大量時間, 而且很難確定 的準確值. 圖 1 的實驗結果給出了MPML 算法在不同噪聲情況下 與改進信噪比 ISNR 之間的變化.圖 1 MPML 算法 與圖2 MPML 算法 與迭ISNR 的 步數 n 的為了解決上述問題, 本文提出一種 的自適應確定方法. 該無需知道噪聲的大小和圖像的先驗知識, 將 視為f 的函數, 的選取與圖像復原的迭代運算同步進行, 當復原圖像獲得最優解時, 也達到了最優選擇.設 與M( , f ) 之間 著線性10 , 且有 ( f ) = K1 M ( ( f ) , f )( 18)其中 K1 為常數. 將式( 17)

20、 代入式( 18) 可解得頻譜相關圖, 其中相數為對式( 22) 取模, 閾值取相數為 0. 95. ( f ) = - lnP( g/ f )1/ K 1- U( f )( 19)這里應有 1/ K 1> U( f ) . 在迭代過程中, 每一步 ( f ) 的選擇為n n n- lnP ( g/ f )1( f ) = K 2 1/ K - U( f n)( 20)p其中 K2 為步長系數. 此時, MPML 算法的迭代公式為f n+ 1= f ngijij h - n ( f n) U( f n)( 21)ijij( f n * h)ij f ij6 實驗與結果實驗中采用像素為 2

21、56 256, 灰度級為 256 的 Lena 圖像,圖像的劣化模擬采用以下 : 對原圖像進行模糊處理, 之后加入 噪聲, 點擴散函數為 5 5 的均勻模糊. 圖像復原算法的性能由改進信噪比 ISNR 來評估. 圖像復原算法的超分辨力能力用復原圖像與原圖像的頻譜相 數來評價, 其定義為mm> F ( i - u , j - v ) F ( i - u , j - v )r ( i , j ) =u= - mv= - mm mmm> | F ( i - u , j - v ) | 2 > | F ( i - u, j - v ) | 2u= - mv = - mu= - mv=

22、 - m( 22)表1 MPML 算法與 PML 算法的比較信噪比ISNR( dB)PMLMPML ( 1)MPML ( 2)MPML( 3)量化噪聲5. 60775. 47015. 89465. 900240dB3. 89624. 05714. 60734. 656730dB2. 15702. 42712. 89522. 953320dB0. 79391. 84762. 31442. 383210dB0. 11654. 58674. 65334. 6548取 m = 3, 即取 7 7 的窗口進行頻譜相關運算. 文中采用二值圖 3 量化噪聲圖像復原結果實驗結果表明: MPML 算法無論是復原

23、圖像的改進信噪比 ISNR 還是復原圖像的視覺效果均明顯好于 PML 算法, 復原圖像中沒有振蕩條紋. 當噪聲較小時( 如 SNR 40dB 時), 圖像的低頻 幾乎能被完全復原, 且高頻 復原顯著, MPML 算法具有很強的超分辨力復原能力. 隨著噪聲的增大, 圖像的低頻 復原較好, 但高頻復原顯著下降. 這說明隨著噪聲的增大, 算法的高頻和超分辨力復原能力隨之下降, 即噪聲的大小限制了超分辨力和高頻 的復原能力. 但相比較而言, 對于噪聲較大的圖像, MPML 算法也能取得很 復原效果. 采用非線性約束模型去除噪聲和振蕩條紋的能力以及圖像復原效果要明顯好于線性約束模型, 圖 3 和圖 4

24、是采用 Heber-t Leahy 約束模型 3 獲得的圖像復原結果. 此外, 實驗結果還表明, 隨著迭代步數的增加, - lnP ( g/ f ) 是單調遞減44電子學報2003 年圖4 20dB 噪聲圖像復原結果的, 說明算法逐漸收斂頻帶內的 ; 而對于 U( f ) , 迭代初期是下降的, 這是由于去除噪聲所致, 但隨著迭代步數的增加, 圖像中高頻成份被不斷復原, 所以 U( f ) 隨之增加. 從圖 2 可以看到, 在迭代過程中, 值單調下降, 當估計解逼近最優解時, 趨向于一個固定的常數. 由于 與評價函數M ( , f )成正比, 所以隨著迭代步數的增加, MPML 算法的評價函數

25、是單調下降的, 由此證明這里 的選擇是正確的. 而且噪聲越大, 評價函數的最小值越大.7 結論MPML 法把 Poisson-ML 算法和 Markov 隨機場的特點有機地結合在一起, 能有效地減少和去除復原圖像中的噪聲和振蕩條紋, 獲得了很圖像復原質量和令人滿意的視覺效果. 在噪聲較小的情況下, MPML 算法具有很強的超分辨力和高頻復原能力. 在噪聲較大的情況下, 該法也能獲得比較滿意的復原結果. 本文提出的正則化參數自適則 , 無需知道噪聲的大小和圖像的先驗知識, 能對正則化參數自動優化地選擇, 可使復原圖像獲得全局最優解.參考文獻: 1 B R Hunt. Supe-r Resolut

26、ion of Images: Algorithm, Principles, Perfor- mance J . Int ernational Journal of Imaging systems and Technology, 1995, 6( 4) : 297- 304. 2 J L Harris. Diffraction and Resolving Power J . J. Opt. Soc. Am. , 1964, 54( 7) : 931- 936. 3 M I Sezan, H Stark. Image Restoration by the M et hod of Convex Pr

27、ojec-t ions: Part 2-A pplicat ions and Numerical Result s J . IEEE Transac- t ions on Medical Imaging, 1982, MI-1( 2) : 95- 101. 4 J B Abbiss, B J Brames, et al. Superresolution Algorithms for a M od-i f ied Hopfield Neural Network J . IEEE Trans. on Signal Processing, 1991, 39( 7) : 1516- 1523. 5 W H Richardson. Bayesian-Based IterativeM ethod of Image Restorat ion J . J. Opt. Soc. Am, 1972, 62( 1) : 55- 59. 6 Holmes T J. um-L ikel ihood Image Restoration Adapted for Non- coherent Optical Imaging J . J. Opt. Soc. Am. A, 1988, 5( 5) : 666- 673. 7 T Hebert, R Leahy. A Generalized EM Algorith