1、第六章  軍事模型§6.1  核武器競賽問題：甲乙雙方（兩國），均將對方視為假想敵，在某種“國家安全”的定義下發(fā)展核武器，展開核軍備競賽。問題：在這場核軍備競賽中，雙方擁有的核武器會無限增長呢，還是存在某種平衡狀態(tài)？ 一 模型假設1    分別以、表示甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目，這里視之為非負實數(shù)（即連續(xù)型變量），以、表示甲乙雙方對對方施行一次致命性打擊所需的核武器數(shù)目；2    甲乙雙方的“國家安全”概念均采用保守定義：即在招到對方“傾瀉性”核打

2、擊后，保證有足夠的核武器被保存下來以給對方致命的還擊；3    分別以、（）表示甲乙雙方，其一枚核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的概率，這里假定不同核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的機會是相對獨立的。 二 模型建立定性分析模型：應當存在二函數(shù)、，分別表示當甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目為、時，對方在遵照模型假設中所給出的有關“國家安全”概念，乙方、甲方所應擁有最少的核武器數(shù)目。即當甲方擁有的核武器數(shù)目為時，須有時，乙方才會確認自己是安全的。顯然，、均應當為單調(diào)增函數(shù)。這里稱為雙方安全區(qū)，是核軍備競賽的穩(wěn)定區(qū)域

3、。問：是否為空集？若為空集，即說明核軍備競賽是沒有盡頭的，其終究構(gòu)成人類持久和平愿望的最大威脅。所附四圖僅僅是在雙方安全曲線滿足單調(diào)增函數(shù)的條件下給出的四種可能情形，有陰影存在的區(qū)域表示存在雙方安全區(qū)。但實際當中應當是哪一種呢？   定量分析模型：在前述模型假設的基礎上，不難得到：，即、分別為甲乙雙方的安全曲線，而上面附圖的后三幅給出的三種可能的典型情形，顯然第四幅表示與兩者至少有一個滿足時方可出現(xiàn)。    在模型中涉及到的幾個參數(shù)的取值，比如影響的主要因素可以考慮雙方的國土、一枚核彈爆炸的破壞力，以及各自的防空能力。

4、60;三 模型分析通過定量分析模型得到的結(jié)果表明，核武器競賽是不容樂觀的，要么不存在穩(wěn)定區(qū)域，要么穩(wěn)定區(qū)域是一有界區(qū)域。也即表明建立在本文“安全概念”基礎上的核武器競賽從根本上應當撇棄，因為即使在穩(wěn)定區(qū)域非空，由于某一方（或雙方）不克制的態(tài)度最終導致核武器競賽的災難性后果。這一結(jié)果與我們對當前國際上一些有核國家在發(fā)展核武器的現(xiàn)狀有一定距離，考察本模型，應當注意的是在第二條模型假設中提到的“安全概念”，事實上，一個和平國家在發(fā)展核武器時所遵循的原則是在遭到強大敵國的全面入侵，核武器應當作為一種先發(fā)性威懾力量而進行有效阻止而不應當作為一種后發(fā)性的在已遭到毀滅性打擊后的純粹報復行為。事實上

5、在保留模型假設二中提到的“安全概念”，對其余假設作更為貼近問題真相的改進只能導出對核武器競賽的前途更加悲觀的結(jié)論。 四 點評本例是在作了相當程度的簡化假設下考慮了核武器競賽問題，我們很難期望模型能對所考慮問題給出比較樂觀的指導意義，但其整個建模過程卻對我們有很大的啟發(fā)：1定性分析與定量分析：在對一個應用問題分析，通常包括定性分析與定量分析這樣兩個有機統(tǒng)一的環(huán)節(jié)，定性分析是數(shù)學建模的初級階段，在這一環(huán)節(jié)著力解決2隨機性模型：3建模的最終目的在于應用：§6.2  戰(zhàn)爭模型一問題分析影響一個軍隊戰(zhàn)斗力的因素是多方面的，比方士兵人數(shù)、單個士兵的作戰(zhàn)素質(zhì)

6、以及部隊的軍事裝備，而具體到一次戰(zhàn)爭的勝負，部隊采取的作戰(zhàn)方式同樣至關重要，此時作戰(zhàn)空間同樣成為討論一個作戰(zhàn)部隊整體戰(zhàn)斗力的一個不可忽略的因素。本節(jié)介紹幾個作戰(zhàn)模型，導出評估一個部隊綜合戰(zhàn)斗力的一些方法，以預測一場戰(zhàn)爭的大致結(jié)局。總以、表示甲乙交戰(zhàn)雙方在時刻的兵力，不妨視為雙方的士兵人數(shù)，、表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時的初始兵力，顯然。在整個戰(zhàn)爭期間，雙方的兵力在不斷發(fā)生變化，而影響兵力變化主要有如下三個因素：1戰(zhàn)斗減員率，它取決于雙方的兵力，不妨以、分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率；2非戰(zhàn)斗減員率，比方由于疾病或逃跑等因素導致一個部隊減員，它通常可被設與本方的兵力成正比，比例系數(shù)分別對應甲乙雙方；3增援

7、率，它通常取決于一個已投入戰(zhàn)爭部隊以外的因素，甲乙雙方的增援率函數(shù)分別以表示。由此，可以得到一般的戰(zhàn)爭模型：而評價雙方的勝負，總認定兵力先降為“零”（全部投誠或被殲滅）的一方為敗。以下分正規(guī)戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)來討論。 二 正規(guī)作戰(zhàn)模型模型假設：1不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；2甲乙雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，每一方士兵的活動均公開，處于對方士兵的監(jiān)視與殺傷范圍之內(nèi)，一旦一方的某個士兵被殺傷，對方的火力立即轉(zhuǎn)移到其他士兵身上。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率僅與對方的兵力有關，簡單的設為是正比關系，以、分別表示甲乙雙方單個士兵在單位時間的殺傷力。若以、分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，它們通常主要

8、取決于部隊的武器裝備；以、分別表示甲乙雙方士兵一次射擊的（平均）命中率，它們主要取決于士兵的個人素質(zhì)，則有、。模型建立：根據(jù)模型假設，得正規(guī)作戰(zhàn)的數(shù)學模型：模型求解：從模型方程得到，進而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。進一步可得甲方獲勝的充要條件為，從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、士兵一次射擊的（平均）命中率（士兵的個人素質(zhì)）、士兵數(shù)的平方均服從正比例關系，這樣在三個因素中只有條件使其中的一個提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時，顯然要選士兵數(shù)的增加，它可以帶來部隊綜合

9、戰(zhàn)斗力四倍的提升。因此，正規(guī)作戰(zhàn)模型又被稱為平方率模型。   三 游擊作戰(zhàn)模型模型假設：1不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；2甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵的活動均具有隱蔽性，對方的射擊行為局限在某個范圍考慮可以被認為是盲目的。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率不光與對方的兵力有關，同樣設為是正比關系；而且與自己一方的士兵數(shù)有關，這主要是由于其活動空間的限制所引起的，士兵數(shù)越多，其分布密度會越大，顯然二者服從正比例關系，這樣對方投來的一枚炮彈的平均殺傷力（期望值）也會服從正比例關系增加；3若以、分別表示甲乙雙方的有效活動區(qū)域的面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，以、分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，、主要取決于部隊的武器裝備的性能和貯備；、也取決于士兵的個人素質(zhì)。模型建立：根據(jù)模型假設，得游擊作戰(zhàn)的數(shù)學模型：模型求解：從模型方程得到，進而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于游擊作戰(zhàn)部隊的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、炮彈的有效殺傷范圍的面積、部隊的有效活動區(qū)域的面積、士兵數(shù)四者均服從正比例關系，這樣在四個要素中只要有條件使其中的一個提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時，它們均可以帶來部隊綜合戰(zhàn)