1、通過定價部分，準備得到以下結論：1、因為期貨有做市商制度、保證金制度等，期貨定價與遠期定價在理論上是不同的，利率是常數時兩者相等。2、數據驗證表明，二因素和三因素明顯優于單因素，期貨定價與現實更接近3、時間差，期權到期日T與期貨到期日T1、T2.TR間的時間間隔對定價有顯著影響。4、數據驗證，一系列期貨期權與期貨系列期權的區別目錄一、準備工作 2 21 1、期貨和遠期定價的比較 2 22 2、分別用單、二、三因素模型對期貨定價 4 43 3、數據驗證部分（得到一些參數）6 6二、商品期貨系列期權（futuresstripoptionfuturesstripoption）的定價模型 7 71 1

2、、商品互換和商品互換期權定價問題 7 72 2、HJMHJM 框架下單因素模型定價 13133 3、HJMHJM 框架下兩因素模型定價 15154 4、HJMHJM 框架下三因素模型定價 16165 5、HJMHJM 框架下的近似解法 19196 6、數據實證 2020三、定價模型及數據驗證的結論（準確度,應用情況等）2323、準備工作1、期貨和遠期定價的比較期貨和遠期定價是兩個比較流行的理論，兩者價格的不同之處在于期貨有做市制度，并且其持有成本也是不同的，包括稅務處理、交易成本、保證金制度等方面。經驗交易數據也能夠驗證商品期貨和遠期的價格是不同的。所以，一般期貨合約常被看做由一系列的遠期合約

3、組成，每個遠期合約當天被結算，并且同時再發行一個新的遠期合約，而投資者賬戶的損益每日軋平。期貨與遠期價格在統計意義上是顯著的，但兩者價差一般比較小或者在經濟意義上不顯著。并且一般來說，如果利率是隨機的，并且利率和商品現貨價格正(負)相關時，期貨價格就大于(小于)遠期價格，當利率是常數時兩者相等。n假設現貨價格S滿足幾何布朗運動，有dS(t)S(t)dtjS(t)dW(t)其中i1,W(t),i1,n是服從標準布朗運動的獨立同分布，是期望收益率常數，是S(t)的波動率，將上式離散化為 k k 個階段，有：nnS(tk)S(t)exp(-i2)kiW(tk)Wi(t)2i1i1S(tk)是 k+t

4、k+t 時刻的現貨價格。兩邊同取自然對數，并調整有：1n2nInS(tk)InS(t)(2)kiWi(tk)Wi(t)(2)2i1i1可見，現貨價格自然對數的變化服從一個隨機過程，它等于一個常量加上獨立分布nN(0,ki2)的殘差。111.1商品遠期的定價應用遠期和現貨價格的無套利定價原理進行定價，S(t)是 t t 時刻可存儲商品的現貨價格，H(t,tk)是 t t 時刻的遠期價格，其到期時間為 t+K,t+K,Pd(t,tk)是在 t+Kt+K 時刻一美元在 t t 時刻的貼現值，Pc(t,tk)是 t t 到 t+kt+k 時間存儲成本，記Pd(t,tk)exp(kf(t,tk),Pc(

5、t,tk)ex)(kc(t,tk),其中f(t,tk)是 t t 時刻 k k 時間段的利率，c(t,tk)是 t t 至Ut+kt+k 凈持有成本，通過無套利原理，有以下關系:將（4 4）帶入（2 2）, ,得到:c1n2InS(tk)InH(t,tk)(2)kInD(t,tk)2iiniWi(t,tk)Wi(t)i1n關參數的大小；二是利率和持有成本的差；三是服從 N N（0,k0,k：）：）的獨立同分布變量 W Wi的i1變化量。1.2商品期貨的定價期貨和遠期的價格從理論角度是不同的，特別的，在對效用函數和風險偏好沒有具體假設的情況下，很難求解出期貨價格的封閉收斂的解。國外交易所市場上有

6、文獻表明，如果利率過程和持有成本的某些假設給定的情況，公式（3 3）對期貨價格也是適用的。假設現貨定價的公式（1 1）中 I I 心 L L 假設前兩個變量 1%1%和電分別代表利率和現貨價格，卅 3 3，”“現貨價格不確定的唯一來源。另外還假設凈持有成本是常量，利率過程符合以下形式：d_tk_d_P(t,tk)expP(t,tk)exptf(t,u)duf(t,u)duH(t,tk)S(t)Pc(t,tPd(t,tk)k)S(t)D(t,tk)(3)(3)其中D(t,tk)Pd（t，tk）/是持有成本。上式說明，遠期價格等于現貨價格的調.Pc（t,tk）整，即除以當前到到期日的無風險債券價格

7、和凈持有成本的比率。值得注意的是，投資者應該區分以下兩點：一是買入現貨并持有，產生存儲成本和收到便利收益率；二是當前即以遠期價格買入商品并以無風險收益率進行投資。上式兩邊取自然對數有InH(t,tk)InS(t)InD(t,tk)(4)(4)(5)(5)即當前的遠期價格與現貨價格的對數差由三部分組成:是期望變量，其大小取決于相其中f(r.t+ +A)A)/ /+ +A)A)+ +r+kkltt+n；u.i4AH%4AH%的.(6)(6)以及公式(6)6)還可以寫成以下形式S(t)其中(LI(LI+幻是 t t 時融入資金在 t+Kt+K 歸還的遠期利率，歲?是的波動率方差，|九是風險的市場價格

8、，H H，是獨立的布朗運動。公式(6)6)是融資的遠期利率，等于一個固定非隨機的初始遠期利率初值(一個外生變量)，加上一個期望變量和噪音。設F(t,tk)是 t+kt+k 到期的 t t 時刻的期貨合約的價格，有文獻表明(|(|AmMundJurnmAmMundJurnm,上邊的假設成立并且還假設資產和利率過程具有確定的“波動率參數”，期貨價格的封閉解可以表達為：F(t,tk)H(t,tk)expQ(t,tk).；)k)expQ(t,tk)F(t,tk)InS(t)InD(t,tk)Q(t,tk)重新整理并帶入(2)2)有C1n2cInS(tk)InF(t,tk)i2Q(t,tk)k2iinI

9、nD(t,tk)iW(t,tk)叫i1其中Q(t,tk)是一個常數項，因為它反映了做市調整所以是不變的。遠期合約定價公式()和期貨定價公式的明顯不同之處在于后者增加了一個非隨機項,合約的影響。2、分別用單、二、三因素模型對期貨定價應用Schwartz97Schwartz97”對期貨進行定價假設商品現貨價格服從以下隨機過程dS=-InS)Sdt+txSds令T=ln$,并應用伊藤引理，價格的對數服從 Ornstein-UhlenbeckOrnstein-Uhlenbeck 隨機過程:dX=X)dt+adt其中Q(t,tk)a；(v,tk)ad(v,tk)idvad(v,tk)id(v,u)du兩

10、邊取自然對數，有In反映了做市對于期貨2K其中 k0k0 衡量價格的對數均值恢復到 a a 的速度，.-F(S7-expe*rInS+(1-e/M*+-1-EB，R)(7)Or,inIngform:IT 方InT=gFin5+(1-eft*4-(1田田。(a)4KThishitcquutiunitheoneusedinthoempiricaltes 此Itlatoverifythatequatkui7?iitheKulutiuDuthepbrtiuldifTerenlialcqunticnr%，印 F 力+-A-InSSSifs-FT-0(9)withboundi*ry 川口 diliemRS

11、,0)-S.dS=yt-8)Sdt+6 日見(10)dS=KK&dt+色 ds(11)eiutiiLliiloMtfindjiTiBrownianmationartcorrelatedwith:盤 i&L 聞,(2)!fi!fiuwwa-W|4fknjWSIXWLFHVIuwwa-W|4fknjWSIXWLFHVI Wu-ajliXLXVBUKjrIUWu-ajliXLXVBUKjrIU：IILi|LK1SVLUIUJIILi|LK1SVLUIUJ：XI.XI. a-la-lL/KJUUUXLL/KJUUUXL1_|1_|LUBUUJH-LUBUUJH-vw；s 嚇 L+內。承

12、區/d+2”4-(r-6)SFs+-6)-AMT 丁=U(17JHubioct-mthewrminfilbuundtirycuiKlicjun.F(S.8.0)-S3Jamshidion 口 ndFein(19901AndBjerksund(1991)haveshawnthatthaHnlutionto(17)顯FlS,S,n-StJXp-a1-+A(T)1(18)Or.inlogfuim：1-*51BFIS,=InW-+A(T|(19)*where/1ify 嗎 5 即 11e1-丁 3AS=(=占+三 1JF+不巧產j.討17、+(rw+ESp-I1(20)1*d*A&=&

13、= 1 1 dS=(r目)SdfSdf+ +(T|S(iz*(T|S(iz*小8 8= =MlMl。A)dt+冢竟122)122)dr-dr-a(m*-r)dt+123)123)da*d*=d*da*d*=d*紜舄=p/p/ ,(,(24)24)因為變量 X X 是不可見的，轉化為狀態空間形式，利用卡爾曼濾波進行參數求解。在計量經濟學中狀態空間模型被用來估計不可觀測的時間變量，包括理性預期、測量誤差、長期收入和不可觀測因素(趨勢和循環要素)。利用狀態空間形式表示動態系統的優點：一是狀態空間模型將不可觀測的變量并入可觀測模型并與其一起得到估計結果，二是狀態空間模型是利用強有力的迭代算法一卡爾曼濾

14、波(KalmanfilterKalmanfilter) )來估計的。卡爾曼濾波的導出依賴于擾動項和初始狀態向量服從正太分布的假設。服從正態分布，就可以由它們的均值和協方差矩陣完全確定，這就是卡爾曼濾波計算的估計值。3、數據驗證部分1 1、主要利用單因素、二因素和三因素方法對期貨進行定價，求解一些參數，用到后面的期貨系列期權的定價中。2 2、數據驗證二因素和三因素模型定價與真實數據的更接近，明顯優于單因素模型。二、商品期貨系列期權(futuresstripoption)的定價模型對于期貨期權一類短期的金融工具，可近似地把商品便利收益看作是常數，但對于像互換這樣長期的金融工具來說，這種假設是不合理

15、的。對于利率，已經建立了許多模型，例如 CISCIS 模型，MertonMerton 模型，VascekVascek 模型等。類似的，我們可以通過便利收益率，建立與利率模型類似的各種模型來進行模擬。MitersenMitersen 和SchwartzSchwartz 對具有便利收益的商品期貨及商品期貨期權的定價作了分析，他們對利率和便利收益率都采用了 HJMHJM 模型，但他們假定了利率和便利收益率受相同的不確定性的影響。在實際中由于期貨合約和遠期合約都是短期的，所以不可能得到與初始的便利收益比較吻合的模型。HilliardHilliard 和 ReisReis 對商品期貨和商品期貨期權也作了

16、分析，他們對利率采用了 HJMHJM 模型,對便利收益率采用 Vas1cekVas1cek 模型。周杰和何穗在對商品互換和商品互換期權的定價中對利率和便利收益都采用了VasicekVasicek 模型。得到了互換和互換期權在不同的模型下的定價，并得到結論：利率的隨機性對互換的定價是無影響的。Black模型到HJM1型，高斯模型，解析解、MonteCarlo，快速傅里葉變換1、商品互換和商品互換期權定價問題假設投資者 A A 與對手簽訂了這樣一個互換協議：在每一個到期日T1,T2,Tm,由A A 支付一個固定的價格F(t)給對方，而對方支付一個那個時刻的即時價格或者說浮動價格給 A A。商品互換

17、合約在簽訂日刻的價值是為 0 0 的，商品互換的定價問題就是確定這個固定價格F(t)的問題。假設投資者 B B 與對手簽訂了這樣一個互換期權協議：期權的執行價格是 K,K,期權的到期日時T。在T時刻，如果互換的價值大于等于 0,0,B B 就進入這樣一個互換，在每一個到期日T1，T2，Tm,由 B B 支付一個固定的價格給對方，而對方支付一個那個時刻的即時價格或者說浮動價格給 BoBo 如果互換的價值小于 0,0,那么期權就失去價值。商品互換期權的定價問題就是這個期權的價值。假設現在的時刻是t,滿足 t t T T1,T2，Tm。用F(t,T)表示在t時刻看，T時刻到期的遠期或期貨的價格，用Q

18、 Q 表示份額或者名義本金，用D(t,T)表示折現率，那么t時刻的互換價值是：mSW(t)QD(t,Ti)F(t,Ti)Ki1m在T時 刻 期 權 到 期 ， 此 時 互 換 的 價 值 ：SW(T)QD(T,Ti)F(T,Ti)Ki1SW(T)0就等于mD(T,Ti)F(T,Ti)K口mD(T,Ti)i1對于實物交割的互換期權，也就是說在期權到期日，期權的持有者進入互換，并擁有長頭寸。如果是看漲期權，那么投資者將進入一個收入互換，也就是付出固定價格，收入浮動價格；如果是看跌期權，那么投資者將進入一個付出互換，也就是付出浮動價格，收入固定價格。一個實物交割的看漲期權的收益是：mV(T)MAXS

19、W(T),0,SW(T)QD(T,Ti)F(T,T。Ki1對于現金交割的互換期權，也就是說在期權到期日，期權的持有者獲得一個現金收益。如果是看漲期權，現金收益的價值就是收入浮動價、付出固定價的互換的價值；如果是看跌期權，現金收益的價值就是付出浮動價、收入固定價的互換的價值。一個現金交割的看漲期權的收益是：mV(T)MAXSW(T),0,SW(T)QF(T,Ti)Ki1在一個完全市場中，期權的無套利價格是風險中性測度下的期望值：_Q_cD(t,T)EtV(T)對看漲互換期權來說，就是：QcD(t,T)EtMAXSW(T),0布萊克模型不考慮商品的便利收益，對商品價格建立一個簡單的模型：dS(t)

20、S(t)dtS(t)dW(t)在風險中性測度里，dS(t)rS(t)dtS(t)dW(t)期貨價格 SDE:SDE:dF(t,T)F(t,T)dW(t)dW(t)是標準布朗運動，是波動率。在風險中性世界里，期貨價格的增長率是 0 0.那么，期貨價格的期望值就是現在的期貨價:F(t,Ti)EtF(T,TJ又因為期貨價格最終要收斂于現貨價格，也滿足：F(t,Ti)EtS(TJ當利率是常數時，滿足D(t,T)er(Tt),D(t,T1)D(t,T)D(T,T1)實物交割的互換期權期權的持有方在 T T 時刻，獲得一系列期貨的長頭寸：mVcsw(T)MAXSW(T),0,SW(T)QD(T,1)F(T

21、,Ti)Ki1mVcsw(T)Q*MAXD(T,T)(F(T,Ti)K),0i1mVcsw(T)Q*MAXer(TiT)(F(T,T)K),0i1將F(T,Ti)STer(Ti-T)代入，得到mmKD(T,Ti)D(T,Ti)K,0mQ*MAX(ST,0iim代入 BSBS 公式可得到看漲看跌期權的價格分別是:mQStN(di)Ker(TN&)mQKer(TN(d2)SoN(di)S2,、ln(T(r)(T-t)K2T-td1.T-t實物交割的互換期權，還可以利用這個關系：D(T,Ti)F(t,Ti)F(t,T),T工我們將實物交割的看漲互換期權在 T T 時刻的收益寫作：mVcsw(

22、T)Q*MAXD(T,Ti)(F(T,Ti)K),0i1mVcsw(T)Q*MAXD(T,Ti)(F(T,Ti)K),0i1mQ*MAXD(T,Ti)(D(Ti,Tm)F(T,Tm)K),0i1mQ*MAXmD(T,Tm)F(T,Tm)D(T,Ti)K,0i1mKD(T,T)Q*D(T,Tm)*MAXmF(T,Tm),0D(T,Tm)m_KD(T,Ti)如果我們令KD(T,Tm)J.mQ*D(T，Tm)*MAXF(T，Tm)爭0Vcsw(T)Q*MAX(mST這個期權就是mQ份執行價為mK*D(T,Ti)i1m的歐式看漲期權。令mKD(T,Ti)Kmdid2K布萊克的期貨期權公式，這是mQ*D

23、(T,Tm)份額的，執行價為一的期貨期權mcQ*D(t,Tm)*mF(t,Tm)N(di)KN(d2)pQ*D(t,Tm)KN(d2)mF(t,Tm)N(di)2mF(t,Tm)2/、ln(-)(T-t)K2Ttd1T-t1.1.2現金交割的互換期權期權的持有方在 T T 時刻，獲得一系列期貨的長頭寸和一個收益：mVcsw(T)Q*MAX(F(T,Ti)K),0i1既然期貨的長頭寸的價值為 0,0,在為期權定價時，便可忽視之。將F(T,Ti)STer(Ti-T)代入，就得到mVcsw(T)Q*MAX(STer(TiT)mK,0i1代入 BSBS 公式可得到:cQer(TT)SN(d1)m楝er

24、(T)(d、)i1r(TiT)ei1mr(TT)mKr(Tt)Pe-eN(d2)SN(d/i1r(TT)did，mVcsw(T)Q*er(TiT)*MAX(STi1mKmer(TiT)e,0這個期權就是Q*emr(TiT)份執行價為i1mK耳一二；的歐式看漲期權。r(TiT)ei1e還可以利用這個關系：D(T,TJF(t,TJF(t,T), ,TTimVcsw(T)Q*MAXF(T,Ti)K,0i1mQ*MAXD(Ti,Tm)F(T,Tm)K,0i1mQ*MAX(D(Ti,Tm)F(T,Tm)mK,0i1mQ*D(Ti,Tmi)*MAXF(T,Tm)K,0i1D(Ti,Tm)i1mKmD(Ti

25、,Tm)i1m_參考布萊克的期貨期權公式，這是Q*D(Ti,Tmi)份額的，執行價為Ki1m_cQ*D(Ti,Tm)*F(t,Tm)N(d1)KN(d2)i1m_pQ*D(T,Tm)KN(d2)F(t,Tm)N(d1)i12ln(3!)f-t)K2、Ttd1T-tHJMHJM 框架下,MILTERSEMMILTERSEM 口 SCHWARTZSCHWARTZ 因素模型MILTERSEMILTERSE麗SCHWARTSSCHWARTS 出了即期商品價格，遠期利率和便利收益率的三因素模型。在假設商品價格遵從對數正態分布，利率和便利收益率為正態分布時，給出了類似 BSMBSM 模型的解析解。他們也意

26、識到商品價格走勢具有均值回歸特性，利用商品價格和便利收益率的正相關性給出了解釋.ln(Sodidii1mKdiT-t)(r.一T-t2)(T-t)2的期貨期權d1d22、HJM框架下單因素模型定價所謂單因素模型，也就是在假設商品的便利收益率和利率都是常數的前提之下，對商品的價格建立一個隨機微分方程，從而得到商品互換期權的價格。假設商品價格S(t)服從如下幾何布朗運動：dS(t)()S(t)dtS(t)dW(t)其中：常數r為利率，為商品的便利收益率，為商品價格的波動率，dW(t)為標準維納過程。假設存在一個風險中性世界，即存在一個與風險測度P等價的測度Q,tR(u)du在這個測度下，所有的價格

27、過程在經過貼現過程D(t)e0后在Q下是鞅:S(0)EQD(t)S(t),當利率是常數r時，S(0)EQertS(t)在Q測度下，S(t)過程變成：dS(t)(r)S(t)dtS(t)dW(t)EQS(T)Ste(r)(Tt)若現在t時刻，投資者B買入一份看漲的實物交割的互換期權，假設期權在T時刻到期，則在T時刻，該互換對于B的價值為mKD(T,Ti)Km代入BS公式可得到看漲看跌期權的價格分別是:D(T,Ti)er(TIiT)ETQS(Ti)STe(r)(TiT)SW(T)D(T,Ti)ES(Ti)Ki1mSW(T)er(TiT)STe(r)(TiT)Ki1在T時刻開始的互換，如果讓合約價值

28、等于0,也就是mSTe(TiT)i1mer(TiT)ei1這就是互換的價格。其互換期權在T時刻的價值為:Vcsw(T)MAXSW(T),0故將F(T,Ti)STer(Ti-T)代入，得到Vcsw(T)QMAX(mSTD(T,Ti)K,0mQMAX(STmKD(T,Ti)i1,0_rTtcmQStNdiKeNck_rTt_pmQKeNd2SQNdiSt2,、In(曾)(r萬)(T-t)T-td1T-t3、HJM框架下兩因素模型定價對于兩因素模型，我們參考了Schwartz1997的兩因素模型，即假設利率是一個常數，即定義模型如下：dS(t)sS(t)dtsS(t)dWs(t)d(t)dtdW(t

29、)F(T,Ti)STer(TT)cor(Ws,W)s 小小 4.s,、/s，均為常數。若假設期權的執行價格是K,期權的到期日為T。t表示現在時刻，用D(t,T)表示折現率，F(t,T)表示t時刻看T時刻到期的遠期或期貨的價格，則t時刻的互換價值可以表示為:NND(t,T)*F(t,Ti)SW(t)D(t,Ti)*(1JNK)i1D(t,Ti)i1從而看漲期權的收益為：V(T)MAXSW(T),Q故，在完全市場中，對看漲期權的無套利價格就是風險中性測度下的期望值:cD(t,T)EQMAXSW(T),Q由上述對標的資產S以及其便利收益率的SDE的假設，利用布萊克期貨期權公式，可得：D(T,T)-r

30、(TT)edid2其中D(t,1)*N)KN(d2)D(t,T)i1其中ND(t,Ti)*F(t,T)11ln(/K)-(t,T)D(t,Ti)did2(t,T)i1-.(t,T)NN(0,T)w(0,Ti)*w(0,Tj)*J(T,Ti,Tj)i1j1這里Nw(0,Ti)D(0,Ti)*F(0,Ti)/(D(0,1)*F(0,1)i1/(TiT)TiI(T,Ti)(T(ee)1(TT)T1(T.T)T,1(TT.2T)(TT)J(T,Ti,Tj)(T-(e(TTi)eTi)(ejej)(eijeij)4、HJM框架下三因素模型定價dr(t)kf(mr(t)dtfdWr(t)結論：可以看出三因

31、素互換定價公式實質上與兩因素定價公式是相同的，也就是說，如果采用我們所選取的模型，則互換的價格只與初始的利率的期限結構有關系，而與以后階段利率的期限結構無關.所以只要我們所選取的利率模型與當前的利率結構匹配就可以了，而無需考慮其具體演化過程.N*T2*S*Sw(0,TJ*I(T,Ti)i1HJMHJM 框架下,MILTERSEMMILTERSEM 口 SCHWARTZSCHWARTZ 因素模型MILTERSEMILTERSE 麗 SCHWARTSCHWART 股出了即期商品價格，遠期利率和便利收益率的三因素模型。在假設商品價格遵從對數正態分布，利率和便利收益率為正態分布時，給出了類似 BSMB

32、SM 模型的解析解。他們也意識到商品價格走勢具有均值回歸特性，利用商品價格和便利收益率的正相關性給出了解釋.即期商品價格S(t), ,利率r(t), ,便利收益率(t)在風險中，f f 測度下，Tr(s)dsP(t,T)Eet|FtT(r(s)(s)dsS(t)EetST|FtTr(s)dsEet0|FtP(t,T)T(s)dsStCov(et,e連續遠期便利收益率(t,s)G(t,T)EST|EP(t,T)Eet(s)ds|FtG(t,T)F(tJ)島Tr(s)dsCov(et-IT|Ft)St在 HJMHJM 框架下，作者采用了遠期利率f(t,s),P(t,T)EeTr(s)dst|Fte

33、Tf(t,s)dstF(t,T)F(t,T)Tr(s)ds,&|Ft-StG(t,T)-eP(t,T)遠期利率和即期利率的關系:f(t,t)r(t)便利收益率之間也存在這類似的關系:(t,t)(t,t)(t)作者在用如下的 SDESDE 來描述現貨，遠期利率和遠期便利收益率，期貨便利收益率:dStsStdts(t)StdWtQdf(t,s)f(t,s)dtf(t,s)dWtQQd(t,s)(t,s)dt(t,s)dWtd(t,s)(t,s)dt(t,s)dWtQ那么，以Ti時刻到期的期貨為標的的，一個T時刻到期的期權，如果在T時刻的收益是V(T)，它在t時刻的價值就是：TQf(s,s)

34、dsC(t)EtQet(G(T,Ti)K)在假設了期貨便利收益率和遠期利率滿足正態分布，商品滿足正態分布，期貨期權的解析解是：1nG(t,T)i121nG(t,T)i12C(t)P(t,T)(G(t,T1)eN(K2)KN(K2)TTI2t|S(U)u(f(u,s)(u,s)ds|duTTTIt(uf(u,d)ds).(S(U)u(f(u,s)(u,s)ds)duF(t,T)-eP(t,T)T(t,s)dstT(f(t,s)(t,s)dsStet連續期貨便利收益率(t,s)T(t,s)dstT(f(t,s)(t,s)dsSet5、HJM框架下的近似解法作者 KARLLARSSONKARLLAR

35、SSON 波動率可以看做是時間和到期日的函數時，近似解法給出了一個作者認為在互換交易中，遠期價格比期貨更適合。在 HJMHJM 框架下，互換期權的價格只能由蒙特卡洛法得到，而沒有解析解。然而在波動率確定的情形下，可以近似給出一個解析解。在風險中性測度下，遠期的價格是：TQ%dsF(t,T)EQD(t,T)期貨的價格是：(t,T)EQST可以看出，如果利率是確定的，就是一樣的。假設零息債券的價格可以表示為:Tf(t,s)dsD(t,T)etf(t,s)是連續遠期利率。Tf(t,s)(t,s)ds則遠期價格就是：F(t,T)Stet作者在用如下的 SDESDE 來描述現貨，遠期利率和遠期便利收益率

36、:dStsStdts(t)StdW(Qdf(t,s)f(t,s)dtf(t,s)dWQd(t,s)(t,s)dt(t,s)dWQmSW(t)QD(t,Ti)y(t)K或者是與現貨不相關的，那么遠期的價格和期貨的價格則遠期價格就是：F(t,T)Tf(t,s)dsStet類似地，定義一個連續遠期便利收益率:(t,s)i1首先，用A(t)作為一個 NUMERAIRENUMERAIRE 相應的測度定為 Q,Q,dQA(T)/A(t)dQM(T)/M在新的測度下，c(t)A(t)EtQy(T)K6、單因素-兩因素-三因素模型及其實證4.3.4實證分析（先只考慮單因素模型的，兩因素模型有待進一步考慮）考慮棕楣油的商品互換期權的定價， 我們假設棕楣油每日的交割價服從