1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓(1)橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a (大于IF1F2I)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MF1 | IMF2I 2a。2222橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2 與 1 (a b 0)(焦點(diǎn)在x軸上)或上2 x2 1 (a b 0)(焦點(diǎn)在y軸 a2 b2a2 b2上)。注：以上方程中a,b的大小a b 0 ,其中b2 a2 c2 ；2222在x2yr1和與x21兩個方程中都有a b 0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分a b a b22x y母的大小。例如橢圓

2、 1 ( m 0, n 0, m n)當(dāng)m n時表本焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m n時m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。(2)橢圓的性質(zhì)22范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程22 a b1知| x | a , | y| b ,說明橢圓位于直線xa, yb所圍成的矩形里;對稱性：在曲線方程里，若以y代替y方程不變，所以若點(diǎn)(x,y)在曲線上時，點(diǎn)(x, y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以x代替x方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對稱。若同時以x代替x , y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心 叫橢圓的中心;頂點(diǎn)：確定曲

3、線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x 0,得y b,則BK0, b), B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點(diǎn)。同理令 y 0得x a,即A( a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個，這四個交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時，線段 AA2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b, a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ;在Rt OB2F2中，IOB2 | b , IOF2 | c , | B2F2 | a ,2_22 一 222且 |OF2 | |

4、%F21 |OB2 | ,即 c2 a2 b2 ;c離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e 叫橢圓的離心率。a c 0, .-.0 e 1,且e越接近1, c就 a越接近a,從而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0,從而b越接近于a ,這時222橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a b時，c 0,兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 x y a。2.雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點(diǎn)軌跡是雙曲線(| PF1 | | PF2 | 2a )。注意：式中是差的絕對值，在0 2a |F1F2|條件下；|PF1| |PF2| 2a時為雙曲線的一支； |PF2| |

5、PF1| 2a時為雙曲線的另一支(含 F1的一支)；當(dāng)2a | F1F21時，|PF11 |PF2| 2a表示兩條射 線；當(dāng)2a IF1F2I時，|PFi| IPF2II 2a不表示任何圖形； 兩定點(diǎn)Fi, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)， 尸尸21叫做 焦距。(2)雙曲線的性質(zhì)22范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程 。4 1 ,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線x a的外側(cè)。即a b22. x a , x a即雙曲線在兩條直線 x a的外側(cè)。22對稱性：雙曲線 x2 J 1關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn) a b22是雙曲線 -yy 1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中

6、心。 a b 22頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線 三 4 1的方程里，對稱軸是 x,y軸，所 a b22以令y 0得x a,因此雙曲線和x軸有兩個交點(diǎn) A ( a,0)A2(a,0),他們是雙曲線 三 4 1的頂點(diǎn)。 a b令x 0,沒有實(shí)根，因此雙曲線和 y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段A 4叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于 2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段 B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了

7、兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從22圖上看，雙曲線 5 2r 1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。 a b等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y x ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。0時交點(diǎn)在x軸,223）注意到等軸雙曲線的特征 a b,則等軸雙曲線可以設(shè)為：x y （0）,當(dāng)當(dāng) 0時焦點(diǎn)在y軸上。2222注意 A 1與 L 1的區(qū)別：三個量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐

8、標(biāo)169916軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線l上）。定點(diǎn)F叫做拋 物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2萬程y 2 px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)萬程。 pp注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F （上,0）,它的準(zhǔn)線方程是 x -;22（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其. 一 .2_22他幾種形式：y 2px, x 2py, x 2 py .這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如 卜表:標(biāo)準(zhǔn)方程y2

9、 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)圖形小二s焦點(diǎn)坐標(biāo)(p,0)2(旦0) 2p。萬)(。,康準(zhǔn)線方程x衛(wèi)2x衛(wèi)2y iT范圍x 0x 0y 0y 0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說明：(1)通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2)拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；(3)注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識點(diǎn)梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)

10、的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f(x,y)=0 ,則點(diǎn)P0(x0y)在曲線C上f(x0,y 0)=0 ;點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上fi(x0,y0) f2(x0,y°)f(x0,y0)w 0。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線C,C2的方程分別為fi(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)P0(x0,y0)是Ci, C2的交點(diǎn)程組有n個不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點(diǎn)

11、；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn)。二、圓:1、定義：點(diǎn)集 M | | OM | 二r,其中定點(diǎn)。為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2.2222DE(2) 一般萬程：當(dāng) D+E-4F>0時，一兀二次萬程 x +y +Dx+Ey+F=0叫做圓的一般萬程，圓心為 (一，一)半22徑是 JD一寸4。配方，將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+D )2+(y+ )2= D 2 E 2 - 4F2224當(dāng)D +E -4F=0時，方程表不'一&

12、quot;個點(diǎn)(-,-)；22當(dāng)D +E -4F V 0時，方程不表不任何圖形 (3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為僅0洞，則| MC | < r 點(diǎn)M在圓C內(nèi)，| MC |22=r 點(diǎn) M 在圓 C 上，I MC I >r 點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)，其中 | MC|=J(x0-a)(yo - b)。有兩個公共點(diǎn)；直(4)直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交Aa Bb C,A2 B2線與圓相切有一個公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=

13、0的距離d半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動點(diǎn)P(x,y)到一個定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e>0),則動點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0vev1時，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng) e>1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義1 .到兩定點(diǎn)門尸的距離之 和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn) 的軌跡2 .與定點(diǎn)和直線的距離之 比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1 )1 .到兩定點(diǎn)F1,F2的距

14、離之差的 絕對值為定值 2a(0<2a<|F尼|) 的點(diǎn)的軌跡2 .與定點(diǎn)和直線的距離之比為 定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1 )與定點(diǎn)和直線的距離相等的 點(diǎn)的軌跡.軌跡條件點(diǎn)集：（M 1=2a, I FI MF1+ | MF2 | 1F2 | v 2a.點(diǎn)集：M II=t2a, |MF1 |-| MF2 | .F2F2 | > 2a.點(diǎn)集M | MF | 二點(diǎn)M至IJ直線l的距離.圖形7v- r卜1L j.K -療. r方程標(biāo)準(zhǔn) 方程22xy/-21(ab>0)ab22xy/221 (a>0,b>0)aby2 2px參數(shù) 方程x acos y bsin（參

15、數(shù)為離心角）x asec y btan（參數(shù)為離心角）c ±2X2 pt(t>#數(shù))y2 Pt范圍a x a, b y b|X| a, y Rx 0中心原點(diǎn)O (0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0), ( a,0), (0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實(shí)軸長2a,虛軸長2b.X軸住日 八'、八、Fi(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)f(7，0) 2準(zhǔn)線2 a X= 1c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓 外.2 a X= 1c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的 內(nèi)側(cè).x

16、=衛(wèi)X2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)， 且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距/ 222c (c= 7ab)2c (c=也2 b2 )離心率ce -(0 e 1) ae - (e 1) ae=1y x ,離心率e 22 .共軻雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線,叫做已知雙曲線的共輛雙曲線2 y b22 y b2互為共輛雙曲線，它們具有共同的漸近線:2 X2 a0.共漸近線的雙曲線系方程:2 X2 a2y2（0）的漸近線方程為b222"' 0如果雙曲線的漸近線為a b-0時, b【備注1】雙曲線: 等軸雙曲線：雙曲線 X2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為22它的雙曲線方

17、程可設(shè)為(0).a2 b2【備注2】拋物線：2pp2(1)拋物線y =2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(；,0),準(zhǔn)線方程x=-,開口向右；拋物線y =-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-P,0),準(zhǔn)線方程x=,開口向左；拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,E),準(zhǔn)線方程y=-,開口向2222上；2pp拋物線x =-2py ( p>0 )的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-5)，準(zhǔn)線方程y=,開口向下.2p2(2)拋物線y =2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離MFx°二；拋物線y =-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)2與焦點(diǎn)F的距離MF

18、 x02(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離-,焦點(diǎn)22到準(zhǔn)線的距離為 p.2(4)已知過拋物線y =2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長AB = xix2 +p 或 AB2P2sin(&為直線ab的傾斜角)，y1y22p ， Xx22p-, AF x1 2(AF42叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位

19、置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程(2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。(3)坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y),在新坐標(biāo),x O'y'中的''x x'h x' x、h坐標(biāo)是(x , y ).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) O'在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k),則 I 或y y' k y' y k叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表：方 程住 日焦線對稱軸橢圓(x-h)2 ,

20、 (y-k)2 +=12. 21ab(ic+h,k)a2x= ± +h cx=h y=k(x-h)2 (y-k)2-2+2=1ba(h, ic+k)a2 y= 1 +k cx=h y=k雙曲線22(x-h)(y-k)272=1ab(ic+h,k)2x= ±+k cx=h y=k(y-k)2 (x-h)"2-2=1 ab(h, ic+h)a2 y= ±+k cx=h y=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)pT +h，k)2x=-2 +h 2y=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-+h,k)2x+h 2y=k(x-h) 2=2p(y-k)p(h, -2

21、+k)y= - +k 2x=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-衛(wèi) +k) 2p y=-+kx=h六、橢圓的常用結(jié)論:1 . 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2 . PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的 兩個端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切225.若Po(xo,yo)在橢圓 1 1上，則過P0的橢圓的切線方程是 粵岑 1.a ba b6.2 x 右Po(xo,yo)在橢圓 ab21外，則過 吊作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、 P2,則

22、切點(diǎn)弦PP2的直線方程是XoX2ay0 y b21.7.2X橢圓ab2(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2,則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為 S fpfb2 tan -.1 1 222 2，一 x y ,8 . 橢圓下 2 1 (a>b>0)的焦半徑公式 |MFi| a ex0,|MF2 | a ex0(F1( c,0) ,F2(c,0) M (x0, y。). a b9 .設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則 MFXNF.AiP和A2Q交于點(diǎn)M1

23、0 .過橢圓一個焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, Ai、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn),AiQ交于點(diǎn)N,則 MFXNF.2一 .一 X11 . AB是橢圓a2 y_ b21的不平行于對稱軸的弦，M (X0, yO)為AB的中點(diǎn)，則K ABb2Xo2。a V。12 .若Po(xo,yo)在橢圓2y2> 1內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的方程是 bX0X-2"aycy2 X0 -2" a2X1、右 P°(X0, y0)在橢圓2a22yr 1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 今 ba2 y b2X0X-2aycyb22 X °橢圓一2 a2上1 b2(a>b

24、 >o)的兩個頂點(diǎn)為 Ai( a,0) ,A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于Pi P2時AlPl與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程2是X7a2 y b21.22一一 x y2、過橢圓 ，1 (a>0, b>0)上任一點(diǎn)A(X0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于 a bB,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBCb2Xn-2-0 (常數(shù)) a V。2X3、若P為橢圓xya2吟 1 (a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) F, F2是焦點(diǎn)，PF1F2bPF2F1,則tan co t .4、設(shè)橢圓2-yT 1 (a>b>0)的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長軸端

25、點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記bF1PF2 _ sinPF1F2，F(xiàn)F2 P,則有sin sin5、若橢圓2X2ab21 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、電左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0vew J2 1時，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PR是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項.22一一 x y6、P為橢圓 匕 1 (a>b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 a b2a |AF2 11PA | | PF1 | 2a | AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時，等號成立7、橢圓22(x x。)(y y。)b21與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的

26、充要條件是_ 2 2B b(Ax。_ 2By。 C).2,一x8、已知橢圓Fa2 y_ b21 (a>b>0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且 OP OQ . (1)12|OP|1_2|OQ|1224a2b2一；(2) |OP| +|OQ|的最大值為 2; (3) S opq的最小值是 ba b2,2a b7-2 .ab2 x 9、過橢圓a2 y_ b2(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于10、已知橢圓2 y b2a>b>0) ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(Xo,0)

27、,2,2 a b則 ab2Xo11、設(shè)P點(diǎn)是橢圓2 y_ b21 ( a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，R、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2,則(DIPF1IIPF2I2b21 cos.(2)PF1F2b2 tan .212、設(shè)A、B是橢圓2 x ""2 a2 y b21 ( a>b>0)的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PABPBABPA2ab2|cos |e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)|PA| 一2一 J.(2)a c costan tan1 e2.S PAB2a2b22 cot b a13、已知橢圓2 X 2 a2 y b21 ( a>b

28、>0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，的中點(diǎn).則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)e(離心率).)17、橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外

29、點(diǎn)到橢圓中心的比例中項七、雙曲線的常用結(jié)論:1、點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分PRF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 個端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4、以焦點(diǎn)半徑 PR為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)2X5、若F0(Xo, y0)在雙曲線 a2y ,% 1 (a>0,b>0)b上,則過F0的雙曲線的切線方程是 Wayoy 1 / 1.2X6、右P0(X0, y0)在雙曲線2 a2yT 1 (a>0,b>0)b2,則過Po作雙曲線的

30、兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是Wav v1.2 X 7、雙曲線2a2y(a>0,b>o)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2,則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為F1PF2b2co t .2228、雙曲線 -2-2-2ab(a>0,b>o)的焦半徑公式：(F1( c,0) , F2(c,0)當(dāng)M(X0,y°)在右支上時,|MF1| ex0 a,|MF2| exo a；當(dāng)M(Xo,yo)在左支上時,|MFi|ex a ,1 MF21ex a。9、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn)，

31、連結(jié) 于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.AP和AQ分別交相應(yīng)10、過雙曲線一個焦點(diǎn)A2P和A1Q交于點(diǎn)N ,F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),則 MFLNF.AiP和A2Q交于點(diǎn)M,2一 X11、AB是雙曲線a(a>0,b>0)的不平行于對稱軸的弦，M(X0, y0)為AB的中點(diǎn)，則KOM K ABb2X0-2 a V。b2X0-2°a y02 X 12、若P0(X0,y0)在雙曲線 a2 y b21 (a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2X13、若P0(x0,y0)在雙曲線 x a2 y b21

32、 (a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是X0Xyoy2X02近2.22.2abab22XLx°xy°y2,22,2abab2X1、雙曲線ab21 (a>0,b>0)的兩個頂點(diǎn)為 A( a,0),A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時2-A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡萬程是a2 x2、過雙曲線-2a2r 1b2(a>0,b>。)上任一點(diǎn) A(%,yo)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)白直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),則直線BC有定向且kBCb2%2a Vo2x3、若P為雙曲線a2 y b21 (a>0,b>0)右(或左)

33、支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)F, F2 是焦點(diǎn)，PF1F2PF2F1,則tan cot(或22tancot ).222 - 4、設(shè)雙曲線a2 y b2(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn)為Fi、F2,P (異于長軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記 F1PF2PF1F2, F1F2P，則有sin -(sin sin ) ae.2 - 5、若雙曲線a2y_1 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 R、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1vew J2 1時，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PFi是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項.2x6、P為雙曲線一2a2 1 (a>0,b>0)

34、上任一點(diǎn)FF為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則b|AF2| 2a |PA|PFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時，等號成立2 x 7、雙曲線一2" a2 y b22 21 (a>0,b>0)與直線Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條件是 A aB2b2C2.8、已知雙曲線2x2ab21 (b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn)，且 OPOQ .1(1) 2|OP|1|OQ I2.2. 2|OP+|OQ| 2的最小值為-r一2； (3) Sopq的最小值是b a2, 2a b722 .b a229、過雙曲線-2- -y2

35、- a b1 (a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線、j, |PF |交x軸于P,則JL| MN | 210、已知雙曲線2 y_ b21(a>0,b>0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),Xo2.2a b2.2a b貝 U xo a11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線2x2a2 y b21 (a>0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)F、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2,則(DIPF1IIPF2I2b21 cos.(2)PF1F2b2cOt2.12、設(shè)A、B是雙曲線2x2a2 y b21 (a>

36、0,b>0)的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn),PABPBABPA2 .c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有 (1)|PA| a 12cos2 | | a c cos |(2) tan tan 12e .(3) S pab2, 22a b ,2一2 cotb a2X13、已知雙曲線a2y21 (a>0,b>0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相b2交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC X軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線 垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線