1、導(dǎo)數(shù)的隱極值點(diǎn)代換導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問(wèn)題最終都會(huì)歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，可以說(shuō)是導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的判斷、數(shù)值上的精確求解或者估計(jì)是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng) 用中最核心的問(wèn)題。導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)其數(shù)值計(jì)算上的差異，可以分為兩類：1、數(shù)值上能夠精確求解的，稱為顯零點(diǎn)2、能夠判斷其存在但是無(wú)法直接表示的，稱為隱零點(diǎn)對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求比較高，往往稱為考察的難點(diǎn)題型一：隱極值點(diǎn)代換例題設(shè)函數(shù)f (x) =ex -ax -2 .(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(H)若a =1 , k為整數(shù)，且當(dāng)x 0

2、時(shí)，(k)f (x) x 10，求k的最大值.【解答】 解：(I)函數(shù)f(x) =e ax2的定義域是R , f (x) =e a ,若a, 0 ,則f (x) =ex，所以函數(shù)f (x) =ex - ax -2在(-：，：)上單調(diào)遞增.若 a 0，則當(dāng) x(一：,1 na)時(shí)，f (x) =ex -a .0 ； 當(dāng) x (Ina,：)時(shí)，f (x) =ex -a 0 ;所以，f (x)在(一二,1 na)單調(diào)遞減，在(In a,；)上單調(diào)遞增.(II)由于 a =1，所以，(x - k) f (x) x 1 = (x -k) (ex -1) x1x +1故當(dāng) x 0 時(shí)，(x -k) f (

3、x) x 10等價(jià)于 kx(x 0)e -1令 g(x)x,e -1x / 則g (皿x / xce (e x 2)x2(e -1)由(I)知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h(x)=ex_x_2在(0, ：)上單調(diào)遞增,而 h (1)<0 , h (2)0 ,所以h(x) =e -x -2在(0, ：)上存在唯一的零點(diǎn)，故g(x)在(0,;)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為：，則有很三(1,2)當(dāng) x：=(0,:)時(shí)，g (x) :：:0 ;當(dāng) x：=(:,：:)時(shí)，g(x) .0 ；所以g(x)在(0,;)上的最小值為go .又由 g (:) =0，可得 e：丄:-2 所以 g(:J = : 4 (2

4、 , 3)由于式等價(jià)于k：g()，故整數(shù)k的最大值為2.設(shè)函數(shù) f(x) =e" -alnx .(I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(n)證明：當(dāng) a . 0 時(shí)，f(x)2a 亠 al n2 .a【解答】 解：(I) f (x) =e2x -al nx的定義域?yàn)?0,=),.f (x) =2e2x _a .x當(dāng)a, 0時(shí)，f(x) .0恒成立，故f (x)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)a 0時(shí)，：y二e“為單調(diào)遞增，y二-旦單調(diào)遞增，x f (x)在(0,；)單調(diào)遞增，又 f (a)0 ,假設(shè)存在b滿足0 : b < ln 時(shí)，且b ：丄,f (b) ： 0 ,24故當(dāng)a 0時(shí)，導(dǎo)

5、函數(shù)f (x)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng) x ：=(0, Xo)時(shí)，f (x) ：；0 ,當(dāng) X(Xo -)時(shí),f (x) . 0 ,故f(x)在(0,人)單調(diào)遞減，在(人：)單調(diào)遞增， 所欲當(dāng)X =x0時(shí)，f (x)取得最小值，最小值為f (x0 )，由于2e2x° -旦=0 ,Xa22所以 f(x0)2ax)aln 2a aln .2x0aa2故當(dāng) a 0 時(shí)，f(x)2a aln .a題型二、恒成立求參之隱極值點(diǎn)代換x a +1例題 1已知函數(shù) f (x) =a?e+-2(a+1)(a >0).x(I)當(dāng)a=1時(shí)，求f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程；(n)若對(duì)于任意的

6、 x( 0, +8)，恒有f (x)成立，求a的取值范圍.例題 2設(shè)函數(shù) f(x)=(x-a)2lnx,a R(1)若x=e為函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值2 若對(duì)任意的X，(0,3e,恒有f(x)詔e，求實(shí)數(shù)a的取值范圍題型三：隱極值的值域問(wèn)題x _2例題(I)討論函數(shù)f(x)=ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x = 0時(shí)，(x2)ex+x+2 a0;x 2x(II)證明：當(dāng)a 0,1)時(shí)，函數(shù)g x =e _ax _a (x 0)有最小值.設(shè)g x的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域【解析】證明:xf x =ex242x 2-(x+2)丿(x+2)當(dāng) x 三 i , -刎 2 ,亠時(shí)，f x 0 f x在n 2和-2, 二上單調(diào)遞增 x 0時(shí)，x-2ex .x+2f 0 = -1(ex _a k2 2x(ex _ax a ) g'x =x xex -2ex ax 2ax -2 x e a x 23xx 2由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)= ex的值域?yàn)?T, +°°),只有一解.x 2使得F2e-a，円o,2】當(dāng)x三