1、 伽利略變換和理想流體的運動 王宗謨 江蘇省盛澤中學 (吳江 215228) 提要：本文論述了理想流體的伯努利方程及連續性方程在慣性坐標系變換下不具備協變性的原因，指出這并不違背力學相對性原理；分析了這些方程在坐標變換后的物理意義. 一、伯努利方程對伽利略變換不協變 如圖a，理想不可壓縮流體沿水平管道x方向穩定流動。設在位置1處流速為v1，管橫截面積S1，壓強為P1；在位置2處流速為v2，橫截面積為S2，壓強為P2，流體密度為r。在相對于管道靜止的x系中，伯努利方程為 P1+v12/2=P2+v22/2 -（1） 又有連續性方程：v1S1=v2S2 -（2） 現設想有一個相對管道以速度u（遠小

2、于光速）沿管道勻速直線運動的慣性系x/系，在x/系中流體的運動又如何呢？ 根據伽利略變換： x/=xvt，y/=y，z/=z，t/=t， 可得： vX/=vXu，vY/=vY，vZ/=vZ，即v/=vu。 另有、S、不隨坐標系改變；壓強P可用比托管顯示，也不隨坐標系改變。于是（1）式變換為：P1+（v1/+u）2/2=P2+（v2/+u）2/2， 或 P1+v1，2/2=P2+v2，2/2+u（v2/v1/） -（3） 顯然， P1+v1，2/2P2+v2，2/2。即在x/系中形如（1）式的伯努利方程失效了。我們知道（1）式實質上就是流體運動中機械能守恒的關系，流體可視為保守場；（1）式不協變

3、說明在不同坐標系中功能關系的形式有所不同。豈止是伯努利方程，連續性方程也失效了：將變換關系代入（2）式得（v1/+u）S1=（v2/+u）S2，即v1/S1v2/S2. 可見，一個無源場在坐標變換中可成為有源的場。 二、相對性原理失效了嗎？ 上例容易導致這樣一種看法，認為存在一個特別優越的參照系，僅在這個參照系中伯努利方程成立，連續性方程滿足。亦即力學相對性原理對流體運動不適用。 這自然是一種誤解。相對性原理并不認為所有力學方程都在慣性坐標系變換下保持形式不變，而僅指動力學基本方程具有協變性。連續性方程是運動學方程，本不應有協變性。我們也不能據此說明x系特別優越，因為若管道相對于x/系靜止，則

4、在x系中同樣會看到流體不連續。伯努利方程也并非動力學基本方程，在理想流體力學中動力學基本方程是歐拉方程： 或 僅當流體定常（=0）、無旋=0）時，可得， 若體積力G是保守力，設其勢為，上式可寫為. 再沿任意曲線積分，得v2/2+P=C（常量） -（5） 此即伯努利方程。可見伯努利方程并非理想流體動力學的基本方程，它僅是基本方程（歐拉方程）在定常、無旋條件下的積分形式，因而它在慣性坐標系變換下不具備協變性 是不足為怪了。 為了說明相對性原理對動力學規律普遍適用，我們來證明歐拉方程在慣性坐標系變換下的協變性： 在方程（4）中G、P、t是不變量，可直接變換為G/、/、P/、t/；v變換為v/+u。其

5、中u是常矢，故 再考慮算符的坐標變換，單位矢i、j、k都是不變量，可用i/、j/、k/代入，y、z用y/、z/代入。但 ， 當算符所作用場量為壓強P時，t與x可認為是獨立坐標，從而 當算符作用于場量v時，t與x是相關的，從而-（6） 將（6）式代入 歐拉方程最終變換為：。可見，歐拉方程在x/系中的形式與在x系中形式完全相同。歐拉方程在慣性坐標系變換下協變是意料中的，因為歐拉方程是牛頓運動定律在流體力學中的表達，而牛頓運動定律對伽利略變換是協變的，故對歐拉方程自然也協變。但在求解歐拉方程時所需運用的定解條件卻不一定對伽利略變換協變，這是導致歐拉方程的積分伯努利方程對伽利略變換不協變的根本原因。

6、三、對（1）、（2）兩方程變換的詮釋 從慣性參照系x變換到x/系，這一看似簡單的變換卻使速度場v發生了一系列變化： 1、x系中的無源場變為x/系中的有源場。 在x系中理想不可壓縮流體連續性方程的一般形式為： 代入坐標變換關系式（6），得： 這一結果我們也可以定性地加以解釋。為使問題更加突出，不妨假設x/系相對于管道的速度u=v1，這樣在x/系中v1/=0，v2/=v2u。因而在圖a中，位置1處的流體變為靜止，管中流線如圖b所示。在x/中看來，流線顯然不連續了，出現了許多“源頭”。若uv1，則1處流線還可變為反向。2、 x系中的無旋場變為x/系中的有旋場。 在x系中若流體是無旋的：×v

7、=0。代入坐標變換關系式（6），得： 仍以圖b來看，顯然在管道橫截面積變化處的流線出現了“卷曲”。流線的切線方向v/方向如圖d所示。3、 x系中的定常流動變為x/系中的非定常流動。 設想在x/系中有一固定點x/0開始處在管道較粗處（圖c），由于管道相對于x/系是向左勻速移動的，因而經過若干時間在x/0處可以變為管道的細部，即在x/0處的流速隨時間而變，因而是非定常的流動。 前已指出，在x系中理想流體的基本動力學方程歐拉方程在定常、無旋的條件下方可積分得出伯努利方程。而2、3兩條表明，在x/系中流體不具備定常、無旋兩條件，自然不能將其積分為伯努利方程的形式。4、在x系中管道是靜止的，管道對流體的作用力垂直于流線，因而作用力與反作用力均不做功。但在x/系中流體與管道“錐狀部”的作用力與管道的運動、及流體的運動均不垂直（圖d），流體對管道作負功，管道“錐狀部”對流體作正功，即流體系統有外力做功。這種情況猶如一支“牙膏”，管道“1”處是“牙膏腹腔”，“2”處是“牙膏出口”，當有外力不斷擠壓“錐部”使之變細，那么“腹腔”內原來靜止的牙膏就從管口流了出來。 伯努利方程的物理意義是體現一段流體在無其它外力做功時機械能守恒。但在x/系中管道壓力對流體系統做正功，機械能不守恒，自然導不出形如（1）式的伯努利方程。 我們看到在（3）式中含有u（v2/v1/）這一項，其中（v2/v1/）是1