1、高等院校非數學類本科數學課程腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中 第六章 一元微積分的應用本章學習要求：熟練掌握求函數的極值、最大最小值、判斷函數的單調性、判斷函數的凸凹性以及求函數拐點的方法。能運用函數的單調性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導數和微分有關的數學模型的方法。能熟練求解相關變化率和最大、最小值的應用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關的數學模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉曲面的側面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧

2、長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。一、曲線的凹凸性、拐點二、曲線的漸近線三、函數圖形的描繪第六章 一元微積分的應用第三節 曲線的凹凸性、 函數圖形的描繪我們說一個函數單調增加, 你能畫出函數所對應的曲線的圖形嗎?OxyAB? !. 一、曲線的凹凸性、拐點, )() ,(時baxf它的圖形的形式不盡相同.一般說來, 對于一個區間上單調的函數的圖形都存在一個需要判別弧段位于相應的弦線的“上方或“下方的問題 .在數學分析中將這種問題稱為曲線 (函數)的凹凸性問題 .簡單地說 , 在區間 I 上 :曲線弧段位于相應的弦線上方時, 稱之為凸的;曲線弧段位于相應的弦線下方時, 稱

3、之為凹的.凸凹Oxy221xx )(xfy 2x1xOxy221xx )(xfy 2x1x. ) I ()( Cxf設 , )( I , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區間 I 上是凸的 ; , )( I , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區間 I 上是凹的 . 凹凸性的一般性定義是Oxy凸xabPQ: 的方程弦線 PQ )()()()(112121xxxxxfxfxfy弦: 的坐標點x) 1 , 0( , )1 (21xxx:曲線位于弦線上方弦y

4、xf)( )()1 ()()1 ( 2121xfxfxxf即)(xfy 2x1xOxy凹xabPQ: 的方程弦線 PQ)()()()(112121xxxxxfxfxfy弦: 的坐標點x) 1 , 0( , )1 (21xxx:曲線位于弦線下方 )(弦yxf )()1 ()()1 ( 2121xfxfxxf即)(xfy 1x2x. ) 1 , 0( , ) I ()( Cxf設 )()1 ()()1 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區間 I 上是凸的 ; , )( I , 2121恒有如果xxxx )()1 ()()1 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy

5、 在區間 I 上是凹的 ; , )( I , 2121恒有如果xxxx1. 曲線凹凸性的定義及其判別法. 3的凹凸性分析立方拋物線xy )2 ( 21xxf8333222122131xxxxxx2)()(21323121xxxfxf, )0 ,( 上在 , ) )()(21) 2 (2121xfxfxxf. 3是凸的xy , ) , 0( 上在, ) )()(21) 2 (2121xfxfxxf. 3是凹的xy 例1分析分析Oxy3xy , )0 ,( 上在 , 3是凸的xy ,32xy , 6xy . 0 y此時, ) , 0( 上在, 3是凹的xy . 0 y此時, 0 時x, 0 y .

6、 )0 , 0( 是曲線凹凸性的分界點點有何體會？能不能根據函數的二階導數的符號來判別函數所對應的曲線的凸凹性呢？判別可微函數的凸凹性主要是對)()(2121xfxf) 2 (21xxf進行比較.有什么公式能把以上的函數值與函數的二階導數聯系在一起呢?泰勒公式 . ) ,( , ) , ()( 內有二階導數在設babaCxf, ) ,( , 21baxx則令 , 2 210 xxx22 2121101xxxxxxx22 1221202xxxxxxx)( 0102xxxx20000)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxf 由泰勒公式201101001)(! 2)()()()( xxfx

7、xxfxfxf 有202202002)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf . , , 202101之間與在之間與在其中xxxx20121021)()()(2)( xxffxfxfxf 于是20121021)()()(2)( xxffxfxfxf 即 , ) ,( , 0)( 則若baxxf , 0)(2)(021xfxfxf2210 xxx . )()(21) 2 ( 2121xfxfxxf即 )( , ) ,( , 0)( xfybaxxf 曲線時故 . , 上是凹的在區間ba . , , 202101之間與在之間與在其中xxxx20121021)()()(2)( xxffxfx

8、fxf 于是20121021)()()(2)( xxffxfxfxf 即 , ) ,( , 0)( 則若baxxf , 0)(2)(021xfxfxf2210 xxx . )()(21) 2 ( 2121xfxfxxf即 )( , ) ,( , 0)( xfybaxxf 曲線時故 . , 上是凹的在區間ba凸以上的討論是對開區間) ,(ba進行的,但結論卻出現了閉區間, ,ba這正確嗎?結論是正確的, 我們是利用函數的連續性將開區間內的結論延伸到了閉區間上.以上過程實際上證明了下面的判別曲線凹凸性的一個方法.定理 . ) ,( , ) , ()( 內有二階導數在設babaCxf . , )(

9、, ) ,( , 0)( 上是凹的在則曲線若baxfybaxxf . , )( , ) ,( , 0)( 上是凸的在則曲線若baxfybaxxf 在運用該定理時要注意：但僅在個別孤立點處等于零 , 則定理仍然成立 . , ) ,( , 0)( 0)( baxxf 如果. 1 的凹凸性判別曲線xy . ) , 0()0 ,( 函數的定義域為, 2 , 1 32xyxy 因為 , 1 , 0 , )0 ,( 為凸的時所以xyyx . 1 , 0 , ) , 0(為凹的時xyyx 該函數的圖形 請自己繪出. 例2解解 . )0( 1432231的凹凸性研究aaxaxaxay, 233221axaxa

10、y, 2621axay , 0 , 3 12 yaax時故 , 0 , 312 yaax時 , 0 , 312 yaax時例3解解 . ) ,( 函數的定義域為; )3 ,( 12中是凸的曲線在aa; ) ,3( 12中是凹的曲線在aa . 312是曲線凹凸性的分界點aax . 1) , 1( 4內的凹凸性在研究 xy,43xy ,122xy , 0 , ) 1 , 1( yx時, 0 , 0 yx時且僅在. 1) 1,( 4內是凹的在故 xyOxy4xy 0 x只是使0 y的孤立點,不是曲線凹凸性的分界點.例3解解 比較例3 和例4 , 發現使得曲線所對的分界點 .我們的興趣 , 因為它可能

11、是曲線凹凸性應的函數的二階導數等于零的點引起了拐 點連續曲線上凸弧與凹弧度分界點 , 稱為曲線的拐點.OxyOxy)(xfy )(xgy 2. 曲線拐點的定義及判別法 . )(上二階可導在區間設 Ixf . 0)( , ) ( )( ) ,( 0000 xfIxxfyyx則的拐點為曲線若 . )( ) ,( 0的拐點為函數設xfbaIx : , 不妨設由拐點的定義 . )( , ) ,( 0為凹的時xfybxx , )( 故上二階可導在由Ixf );0( , ) ,( , 0)(00 xxxxxxf ),0( , ) ,( , 0)(00 xxxxxxf定理( 判別拐點的必要條件 ) . 0)

12、( xf且僅在孤立點處出現 ; )( , ) ,(0為凸的時xfyxax , )( ) ,(00 xxxxf于是, )() ,(00 xxxxf , )( 0處取極小值在故xxxf . 0) )()( 00 xxxfxf從而必有, )( 0)( 不存在的點及使xfxf 稱為曲線的拐點可疑點 .定理( 判別拐點的充分條件 ) . ) I( )(U )( , ) I ()( 00內二階可導在設xxxfCxf , )( 0則兩側符號相反在點若xxf . )( )( ,( 00的拐點為曲線點xfyxfx根據拐點的定義立即可證明該定理 . 定理( 判別拐點的充分條件 ) . ) ( )U( )( , )

13、 ()( 00內三階可導在設IxxxfICxf , 0)( , 0)( 00則且若 xfxf . )( )( ,( 00的拐點為曲線點xfyxfx, 0)( 0 xf由于. 0)( 0 xf故不妨設, 0)( 0 xf又000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0 )(lim00 xxxfxx . )( , )(U :000同號與內在由極限的保號性可知xxxfx , 得故由導數的定義; 0)( , 0 xfxx時故, 0)( , 0 xfxx時 . )( )( ,( ,00的拐點為曲線點從而xfyxfx你能由以上的幾個定理歸納出 求曲線拐點的步驟嗎？ 求拐點一般步驟: )( 拐點的一般

14、步驟求曲線xfy ; )( )( ) 1 (或確定討論區間的定義域求xf; ) )( ( , )( , )( )2(xfxfxf 如需要可求出計算; )( 0)( 不存在的點的點和使xfxf . )4(否確為拐點根據定理判別可疑點是 : )3(求拐點可疑點 . , 22并求拐點的凹凸性討論曲線xey) ,( :定義域為, 22xxey,) 1(222xexy : 0 得拐點可疑點令 y)( 1 , 1橫坐標xxxy y) 1 , (1) 1 , 1(1) , 1 (00拐點拐點拐點拐點例4解解, ) , 1 ( ) 1 , ( 內為凹的及在. 1) , 1( 內為凸的在 . ) , 1 ( )

15、 , 1( 2121為其拐點及點eeOxy1122xey : 22xey曲線.)(21 , : 2yxyxeeeyx時證明, ) , ( , )( tetft令, ) , ( , 0)()( tetftft . ) , ( )( 內是凹的所對應的曲線在故tetf, ) , ( , yx,)(212yxyxeee. )(yx 例5解解 , 有由曲線凹性的定義 , 0 )2.5 , 2( 2的拐點為曲線已知點ybxayx . , 的值求ba . 0 :2bx由題意 , 得由隱函數求導法則, 22bxayxy, )(246222bxybxayxy . 0 :1 y由拐點的必要條件得 : 5 . 2

16、, 2 代入得以yx (1) 05860ba例6解解 : , ,得其坐標滿足曲線方程又拐點在曲線上 (2) 05 . 2210ba , )2( , ) 1 ( 解之得成方程組聯立 , 320a . 34b例7 , )( 其一階導數的圖形上二階可導，在設函數baxf .如下圖所示 . )( 性、凹凸性的極值點、拐點、單調指出函數xf ; , , ,內單調增加TQPKJa . , ,內單調減少QPKJ ; Q , : ; , :KPJ極小點極大點 凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸 . , , , , , , :IHFEDCB拐點xyO)(xfyABCDEFHIKJPQTabMW 函數的凹凸性的判別以

17、及函數的極值的判別都與函數的二階導數有關.你清楚它們之間的聯系嗎?畫畫圖就能搞清楚. 極大凸 0)( xf 極小凹 0)( xf 現在我們還不能很好地作出函數的圖形 , 因為還不知道如何求曲線的漸近線 .中學就會求了.若動點 P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠離坐標原點時, 動點 P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x ) 的一條漸近線 . 二、曲線的漸近線曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線Oxyxy1, 01limxx . 0 y水平漸近線, 1lim0 xx . 0 x垂直漸近線水平漸近線 . )( , )(lim byxf

18、bxfx有一條水平漸近線則曲線若 . )(lim )(lim bxfbxfxx或這里的極限可以是 . )( , )(lim axxfyxfax有一條垂直漸近線則曲線若這里的極限可以是; )(lim ,)(limxfxfaxax. )(lim ,)(limxfxfaxax; )(limxfax垂直漸近線Oxy)(xfy bxay, 0)()(limbxaxfx . bxay斜漸近線想想： 怎么求 a ,b ? )( , )(lim , )(lim xfybxaxfaxxfxx則曲線若 . bxay有一條斜漸近線這里的極限過程可以是. , xx以上的極限實際是. 0)()(limbxaxfx 斜漸

19、近線. sin 的漸近線求曲線xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平漸近線是曲線xxyyOxyxxysin0y 曲線可以穿過其漸近線 .例8解解. ln 的漸近線求曲線xy 的定義域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲線 0 x. ln的垂直漸近線xy Oxyxyln1例9解解. 1 2的漸近線求曲線xxy 1lim2xxx曲線無水平漸近線, 1lim20 xxx 1lim20 xxx . 0 x曲線有垂直漸近線(函數間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解解11lim1lim222xxxxxxx1a0 1 lim 11 lim)()(2xxxxxx0b . xbxay曲線有斜漸近線請同學課后自己繪出此函數的圖形 . )0( 13 , 13 323的漸近線求曲線kttkyttkx1lim33limlim121ttktkxyttx1a , , 1 yxt由于所以, 該曲線無水平漸近線和垂直漸近線 .) 1(limxyxktttkt13lim21kb . kxy故曲線有斜漸近線例11解解現在