1、 什么是什么是“工科數學分析基礎工科數學分析基礎” ？ 它有哪些內容？它有哪些內容？極限理論極限理論微積分的基礎微積分的基礎函數函數 研究對象研究對象工科工科數學分析基礎是數學分析基礎是區別于初等數學的高等數學區別于初等數學的高等數學工科工科數學分析基礎數學分析基礎微積分，級數，常微分方程微積分，級數，常微分方程 研究內容研究內容 由于高等數學的研究對象和研究方法與初等數由于高等數學的研究對象和研究方法與初等數學有很大的不同，因此高等數學呈現出以下顯著特學有很大的不同，因此高等數學呈現出以下顯著特點：點：概念更復雜概念更復雜理論性更強理論性更強表達形式更抽象表達形式更抽象推理更嚴謹推理更嚴謹本

2、本課程的特點如何？課程的特點如何？如何如何學好本課程？學好本課程？一、一、 調整學習心態，盡快適應大學學習環境是前提調整學習心態，盡快適應大學學習環境是前提. 做做好以下幾點：好以下幾點：1.1.學習要學習要扎扎實實扎扎實實, ,勤學好問；勤學好問； 2 2. .擺脫對老師和課堂的依賴心理擺脫對老師和課堂的依賴心理. .二、二、 不斷改進學習方法，提高學習效果不斷改進學習方法，提高學習效果.1. 學會聽課學會聽課2. 做好做好預習和復習預習和復習-聽思路、重點、難點，聽思路、重點、難點，獲得整體認識而不是拘泥于細節獲得整體認識而不是拘泥于細節3. 解題解題 重視基本概念和原理的理解和掌握；重視

3、基本概念和原理的理解和掌握；適當參考一些書籍；適當參考一些書籍；二、二、 不斷改進學習方法，提高學習效果不斷改進學習方法，提高學習效果.1. 學會聽課學會聽課2. 做好做好預習和復習預習和復習-聽思路、重點、難點，聽思路、重點、難點，獲得整體認識而不是拘泥于細節獲得整體認識而不是拘泥于細節3. 解題解題 重視基本概念和原理的理解和掌重視基本概念和原理的理解和掌握；適當參考一些書籍；握；適當參考一些書籍；如何如何學好本課程？學好本課程？對本課程學習的建議和要求對本課程學習的建議和要求1. 課前預習課前預習-定義、定理、公式、疑點；定義、定理、公式、疑點；2. 不遲到（提前不遲到（提前5分鐘），分

4、鐘）， 不早退；不早退； 3. 認真聽課，適量做筆記；認真聽課，適量做筆記；4. 疑問及時記到本子上，合適時間提問；疑問及時記到本子上，合適時間提問；5.認真按時完成作業認真按時完成作業. 關于本門課程關于本門課程的作業、考試和成績的作業、考試和成績 考試考試教考分離式教考分離式 期末成績期末成績平時成績平時成績 15% 期末卷面期末卷面 85% 作業作業寫在寫在16開散頁紙上，抄題。開散頁紙上，抄題。作業記平時成績，每次批作業記平時成績，每次批1/3； 答疑答疑每每周五周五14：00-16：30 南南1-217第一章第一章 函數函數, ,極限極限, ,連續連續第一節 集合、映射與函數二、實數

5、的完備性二、實數的完備性 與確界存在原理與確界存在原理一、集合及其運算一、集合及其運算三、映射與函數三、映射與函數 一、集合一、集合 a是集合是集合A的元素，記為的元素，記為aA。 1. 定義和表示法定義和表示法集合集合 具有某種特定性質具有某種特定性質的的對象全體對象全體, , 記記為為 A,B,C, 。元素元素 組成這個集合的個別對象組成這個集合的個別對象, , 記為記為 a,b,c,Aa 或Aa注注: A 為數集為數集 *A表示表示 A 中排除中排除 0 的集的集 ;A表示表示 A 中排除中排除 0 與負數的集與負數的集 .空集空集 不含任何元素的集合，記為不含任何元素的集合，記為 。有

6、限集有限集 只有有限個元素的集合只有有限個元素的集合無限集無限集1) 定義定義2 2）集合的表示法）集合的表示法(1) (1) 列舉法列舉法： 按某種方式列出集合的全體元素按某種方式列出集合的全體元素例：例： 有限集有限集 naaaA,21niia1(2)(2) 描述法描述法： xA x 具有的性質具有的性質常用集常用集合合,ZqZp 有理數集有理數集qp Q p 與與 q 互質互質實數集實數集 Rx x 為有理數或無理數為有理數或無理數.,.,.,2 , 1 , 0 nN 自然數集自然數集 整數集整數集.,.,.,2 , 1 , 0,.,.,nnZ 正整數集正整數集,2,1nZ NN*子集子

7、集 ,或稱或稱 A 包含于包含于B ,2.2. 集合之間的關系及運算集合之間的關系及運算則稱則稱 A是是B 的的.BA若若BA,AB 且且則稱則稱 A 與與 B 相等相等,.BA 顯然有顯然有:若若Ax,Bx設有集合設有集合,BA記作記作 記作記作必有必有例如例如 ,ZNQZRQ , ,則稱則稱 A是是B 的的真子集真子集. 記作記作AB，但但若若BA, BA;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CAA集合的運算集合的運算：設設A,B為兩個集合，定義下列運算：為兩個集合，定義下列運算：并集并集 xBAAx交集交集 xBAAxBx且且差集差集 xBAAxBx余集余集)(IAAIAC其中Bx或

8、或且且ABABBABAAICA積集積集 ),(yxBA,AxBy特例特例:RR記記2R為平面上的全體點集為平面上的全體點集ABBAABBAABBA,)()(CBACBA)()(CBACBA)()()(CBCACBA)()()(CBCACBAcccBABA)(cccBABA)(集合的運算有下列運算法則：集合的運算有下列運算法則：交換律交換律結合律結合律分配率分配率對偶率對偶率AAAAAA,冪等律冪等律ABAAABAAAAA)(,)(,吸收率吸收率，事實上 ) 1 (證：cBAx)( )(BAxBxAx 且ccBxAx 且, ccBAx.)( cccBABA所以成立，包含關系也的以反向進行，因此相

9、反顯然，上面的推理可 .)( : cccBABA即.)( cccBABA從而）知，由（ 1 )2(.)()()(BABABAccccccc證的等式。等式兩邊取余即得所要 多多個個集集合合的的情情形形。以以推推廣廣到到任任意意有有限限或或窮窮的的對對偶偶原原理理可可 *明明方方法法。以以此此說說明明集集合合等等式式的的證證下下面面給給出出對對偶偶律律的的證證明明,二、實數集的完備性二、實數集的完備性 與確界存在原理與確界存在原理 1. 1. 實數集的完備性實數集的完備性實數集的特性：實數集的特性： 對有理運算對有理運算（, , , ,）的封閉性的封閉性稠密性稠密性 任意兩個實數之間必任意兩個實數

10、之間必存在無窮個存在無窮個實數。實數。有序性有序性 實數可比較大小實數可比較大小完備性完備性 （前三條性質有理數集也具備，但有理數集沒（前三條性質有理數集也具備，但有理數集沒有完備性）有完備性）實數集與坐標軸上的所有點一一對應實數集與坐標軸上的所有點一一對應 -實數的連續性或完備性。實數的連續性或完備性。坐標軸坐標軸(數軸數軸): 一條規定了原點和單位長度的有向直線。一條規定了原點和單位長度的有向直線。有理點有理點:有理數在坐標軸上的對應點。有理數在坐標軸上的對應點。有理點在坐標軸上是處處稠密的。但有理點有理點在坐標軸上是處處稠密的。但有理點不能布滿實數軸不能布滿實數軸.圖中圖中A點不是有理點

11、，點不是有理點，有理數不能與坐標軸上的所有點一一對應有理數不能與坐標軸上的所有點一一對應，故，故有理數集不完備。有理數集不完備。o11Ax實數集完備性的直觀描述：實數集完備性的直觀描述：無理點所對應的數稱為無理數無理點所對應的數稱為無理數.無理點無理點:坐標軸上非有理點的點。坐標軸上非有理點的點。實數集的完備性是極限理論的基礎實數集的完備性是極限理論的基礎.無無界界。稱稱否否則則有有界界則則稱稱既既有有上上界界又又有有下下界界若若的的一一個個上上（下下）界界。為為則則稱稱有有使使若若存存在在且且設設 ,; , ,)(, R, , R, AAAALLxAxLAA定義定義1.1 1.1 （集合的有

12、界性集合的有界性）2.2.確界與確界存在定理確界與確界存在定理 .,sin|.是是一一個個有有界界數數集集例例 22 11ttxxA, : 1:1下界下界上界，上界，lL下界。下界。上界，上界， : 1:1 Ll. 0: 1: lL，下界，下界上界上界.,.也也是是有有界界數數集集例例 1 31 21 1 21nB -刻畫實數完備性的常用定理刻畫實數完備性的常用定理則則稱稱使使，）（，有有）滿滿足足：（，若若存存在在且且設設sxAxsxAxsAA0002 1R R ,定義定義1.21.2（確界確界）sAAssup的的上上確確界界，記記為為為為。的的下下確確界界，記記為為類類似似地地可可以以定定

13、義義 inf AA. 0inf , 1sup 2 . 1 ; 1inf , 1sup 1 . 1BBAA，中中例例中中，例例么么它它必必定定唯唯一一。（下下確確界界）存存在在，那那如如果果一一個個數數集集的的上上確確界界 注：注：i)一一的的。其其上上界界（下下界界）不不是是唯唯集集有有上上界界（下下界界）的的數數都都有有使使得得有有界界）（, ) 2(;| , , 0 , 1MxAxMRMA 【注注】值值是是有有區區別別的的。小小確確界界與與它它的的最最大大下下一一個個數數集集的的上上)()( ii)的的上上確確界界（下下確確界界）。是是則則最最大大值值（最最小小值值）必必）（最最小小值值有

14、有最最大大值值若若 AAAA,minmax沒沒有有最最小小值值。中中，例例在在中中，例例 B , 0infB 1.2 -1;minAinfA1,maxAsupA 1.1 B. )-A(inf Asup , 此此時時規規定定界界自自然然也也沒沒有有上上（下下）確確沒沒有有上上（下下）界界若若數數集集A反之不一定成立。反之不一定成立。iii)定理定理1.1（確界存在定理確界存在定理）)2,( 界界，但但沒沒有有有有理理數數的的上上確確構構成成的的有有理理數數集集有有上上界界的的不不足足近近似似值值例例集集不不成成立立確確界界存存在在定定理理對對有有理理數數.)()( 確確界界下下界界的的非非空空實

15、實數數集集必必有有上上下下有有上上三、映射與函數三、映射與函數1. 1. 映射映射. , )(: ,: :. , , , . B , A AxxfyxfBAfBAfByfAx或或記作記作算子算子的一個映射的一個映射到到為從為從則稱則稱與它相對應與它相對應有唯一確定的有唯一確定的確定的法則確定的法則按照某種按照某種若對每一個若對每一個是兩個非空集合是兩個非空集合設設定義定義1.3y稱為稱為x在映射在映射f下的下的像像，x稱為稱為y在在f下的下的原像原像； f的的定義域定義域: : A。記作記作 AfD)( f的的值域值域: : 像的全體所構成的集合。記作像的全體所構成的集合。記作).()(Aff

16、R或或, )(|)()( AxxfyyAffR即：即： f的的圖像圖像: :BAAxxfxGrfdef |)(,(nnfZA2:.,2N,2,4,B, 1 設設例例. )0 ,(),(:,0| )0 ,( , 222是是映映射射設設例例BxAyxpRRRxxBRA )1 , 1( ,: 32 xxxf例例-11x-1-0.50.510.20.40.60.81oGrfy. 1 , 1 1 , 1 | ),( 2）上的一條拋物線（如圖上的一條拋物線（如圖是區間是區間圖像圖像 xxxGrf.:, ),()(, , gfgfxgxfAxBAgf記作記作相等相等與與則稱映射則稱映射并且并且的映射的映射到

17、到都是從都是從若若映射的映射的相等相等 -定義域相同，相同的原像對應的像相同。定義域相同，相同的原像對應的像相同。, : 是是映映射射設設BAf稱稱f為為單射單射,若每個像都有唯一的原像若每個像都有唯一的原像.稱稱f為從為從A到到B的的一一映射一一映射,若若f既是單射，又是滿射既是單射，又是滿射. .此此 時稱集合時稱集合A與與B一一 一對應一對應. .例如，偶數集與正整數集一一對應例如，偶數集與正整數集一一對應.無限集與其真子集一一對應是無限集的重要特性無限集與其真子集一一對應是無限集的重要特性.上上的的一一個個變變換換。為為稱稱映映射射則則若若 A : , AAfBA; : ,R , 就是

18、一元函數就是一元函數則映射則映射若若BAfBA為泛函；為泛函；則稱映射則稱映射是實數集是實數集若若BAfB: , 稱稱f為為滿射滿射,若若.)(BfR 特別，特別，xxf .A A: 射射稱稱為為恒恒等等變變換換或或單單位位映映映映射射AxxfyxfBAfA, B , )(: , , 記作元函數為一：稱映射是兩個非空實數集設自變量自變量因變量因變量定義定義1.4處的函數值。處的函數值。為函數在點為函數在點稱稱時時當當 )( , 000 xxfAx 函數的符號表示：函數的符號表示：,.,.,.,GFhgf函數的表示法有：函數的表示法有：公式法、公式法、圖形法、圖形法、列表法。列表法。2. 2.

19、函數函數習慣上常用習慣上常用 表示定義在表示定義在A上的函數上的函數.),(Axxfy 函數函數f的圖像：在平面直角坐標系中，通常是一條平面曲線的圖像：在平面直角坐標系中，通常是一條平面曲線.構成函數的要素構成函數的要素： 定義域，定義域， 對應法則對應法則使表達式及實際問題都有意義的自變量使表達式及實際問題都有意義的自變量集合集合. 定義域定義域特殊函數舉例特殊函數舉例 0, 10, 12)( 2xxxxxf12 xy12 xy定義域定義域 R值域值域), 1(1) 分段函數分段函數 (2) 符號函數符號函數010001sgnxxxxy當當當當當當xxx sgn1-1xyo(3) 取整函數取

20、整函數 y=xx表示不超過表示不超過 x 的最大整數的最大整數 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線(4) 狄利克雷函數狄利克雷函數是無理數時是無理數時當當是有理數時是有理數時當當 0 1)(xxxDy有理點有理點無理點無理點1xyo(5) 最值函數最值函數)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg3. 3. 復合映射復合映射與與復合函數復合函數C)(ufz )(xgfBAx)(xgu gfgf )(Ag則定義映射則定義映射z xCgf A:. 構成的復合映射構成的復合映射和和稱為映

21、射稱為映射fg)( xgB . )( 稱為中間元稱為中間元其中其中Bxgu.”稱為復合運算”稱為復合運算“)(xgf，設設)()(g fDA .),()(g 否則不能定義復合映射必須有fDA 注注:復合映射可以推廣到多個映射的情形復合映射可以推廣到多個映射的情形. . 若若復合映射中，復合映射中，A,B,C都是實數集，即都是實數集，即f,g是兩個函是兩個函數，則稱映射數，則稱映射CAgf:為為復合函數復合函數. .例例4.4. ,sin:,:fggfxxfxxg求求設設).()(fDgR解：解：)., 0,sin)()( xxxgfxgf ., 0,sin)()( xxxfgxfg例例5 ,s

22、in)( , 1 , , 0 , 1)( xxgxxxxf . 1 ,sin, 0 , 1sin)(xxxxfg.fg求求解解:分段函數復合分段函數復合要分段復合要分段復合.例例6 6 求復合函數求復合函數xuuysin , ).12 ).,( ,)(sin2 xxy解：解：21 , ,log ).2xzzuuya ,1 , 1 ,1 2xxzu解：).1 , 1( ,1loglog2xxuyaa例例7若若 的定義域為的定義域為 0,1 , 求求 的定義域的定義域)(xf)(axf4. 4. 逆映射逆映射與與反函數反函數 : yxBAf若若Aff )(R : 1則定義新映射則定義新映射單射，單

23、射，.)(),(1xyffRy 規定規定對每一對每一.1的逆映射的逆映射稱為稱為ff.)R( ),()D( 11AffRf 則則若若f 既是單射又是滿射，稱既是單射又是滿射，稱 f 為可逆映射為可逆映射. ,11BAIffIffBf: A是可逆映射是可逆映射映射映射反函數反函數定義：定義：逆逆映映射射單單射射若若函函數數,)(:fRDf稱為稱為 的的反函數反函數. .f)(,)(1DfxxfyDxxfy, )(反函數常記為反函數常記為逆映射的特例逆映射的特例稱為直接函數。稱為直接函數。DDff)(:1 直接函數直接函數 和反函數和反函數 的圖形畫在一個坐標面上的圖形畫在一個坐標面上, ,其圖形

24、關于直線其圖形關于直線 對稱對稱. .)(xfy )(1xfyxy 注：注：.)(,)(函數函數減減單增單增且其反函數也是嚴格且其反函數也是嚴格函數必存在反函數函數必存在反函數減減嚴格單增嚴格單增定理定理1.4(反函數存在定理反函數存在定理)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo單調增單調增)()(21xfxf則稱則稱 在在A A上上 )(xf,A,21xx21xx 若若有有設函數設函數.:RRAf,)()(21xfxf( (單調減單調減).).時時，換換為為）（ )(.A)(上上嚴嚴格格單單調調在在稱稱xf例例8 8 求求y的反函數及其定義域的反函數及其定義域.解解:01

25、x當當時時,2xy 則則1,0(,yyx10 x當當時時,xyln則則0,(,yexy21 x當當時時,12xey則則2,2(,ln12eyxy反函數反函數y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定義域為定義域為2,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e基本初等函數：基本初等函數： 常函數、冪函數、指數函數、對數函數、常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數，反三角函數統稱為基本初等函數。三角函數，反三角函數統稱為基本初等函數。1 1）. . 初等函數初等函數5. 5. 初等函數與雙曲函數初等函數與雙曲函數xay xay)1( ) 1( a)1 , 0(指數函數指數函數xyalog xya1log )1( a)0 , 1(對數函數對數函數正弦函數正弦函數xysin 余弦函數余弦函數xycos xyarcsin 反反正正弦弦函函數數xyarccos 反余弦函數反余弦函數 由基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算后由基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算后得到的只有一個數學表達式表示的函數。得到的只有一個數學表達式表示的函數。. )1ln( , arccossin21 2都是初等函數都是初等函數例如：例如：xxxxx注：注：i) 一般來說，一般來說，分段分段函數不