1、 姓名：郭晨光 學號：2007020459 微積分課程總結 第六章 定積分 6.2定義： 幾點注意：1、 如果積分和式的極限存在，則此極限值是個常量；它與f（x）及積分區間a,b有關，而與積分變量用什么字母無關，即2、 無界函數是不可積的，即函數f（x）有界是可積的必要條件。3、 有限區間上的連續函數是可積的，有限區間上只有有限個間斷點的有節函數也是可積的。4、 當時， 當時，5、 定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積。6.3定積分的基本性質：性質1： （k為常數）性質2：（此性質可以推廣到任 意有限多個代數和的情況）性質3： 積分的可加性 無論c處去什么位置，該性質都成立。性質4：如果函數f(x

2、)與g(x)在區間a,b上總滿足條件, 則性質5：如果被積函數f(x)=1.則有性質6：如果函數f(x)在區間a,b上的最大值與最小值分別為M 與m，則性質7：（中值定理）如果函數f（x）在區間a,b上連續，則在a,b內至少又一點使得下式成立 ： #推論1：如果在區間a,b上， 則 #推論2： 6.4定積分與不定積分的關系：定理6.1：如果函數f(x)在a,b上連續，則函數對積分上限x的導數，等于被積函數在上限x處的值，即定理6.2：（原函數存在定理）如果函數f(x)在區間a,b上連續，則函數定理6.3：設函數f(x)在區間a,b上連續，且F（x）是f(x)的一個原函數，則 （注意：如果函數在

3、所討論的區間上不滿足可積條件，則定理不能使用）6.5定積分的換元積分法：設函數f(x)在區間a,b上連續，令，如果（1） 在區間a,b上又連續的導數；（2） 當t從變到時從單調地變到。則有（定積分的換元公式）注意：在作變量替換時，要相應地替換積分上下限。6.6定積分的分布積分法：公式：6.7定積分的應用：（1） 平面圖形的面積情形1：由直線x=a,x=b,x軸及y=f(x)(其中f(x)在a,b上連續）所圍成的平面圖形 情景2：由直線x=a，x=b，曲線y=f(x)及曲線y=g(x) 所圍的平面圖形面積（其中f(x),g(x)在a,b上的連續 函數）情形3：由直線y=c,y=d,曲線所圍的平面

4、圖形（其中是a,b上的連續函數） （2） 旋轉體和已知平行截面面積的立體的體積：繞y軸旋轉的旋轉體體積：繞x軸旋轉的旋轉體體積：（3） 經濟應用問題：例：由邊際函數求總函數已知總成本函數，總收益函數，可知邊際成本函數 邊際收益函數 則總成本函數為 總收益函數為 總利潤函數為 6.9廣義積分1、 無限區間上的積分設函數f(x)在區間上連續，如果極限存在，就稱此極限為為f(x)在上的廣義積分，記作 這是稱廣義積分存在或收斂。如果不存在，就說不存在或發散。 類似的有：#對于廣義積分，其收斂的充要條件是： 與都收斂2、 無界函數的積分 設函數f(x)在上連續，當時，,如果存在，就稱此極限值為無界函數f

5、（x)在a,b上的廣義積分，記作這時稱廣義積分存在或收斂。如果不存在，就說不存在或發散。 類似情況：#對于時的廣義積分，其存在的充要條件是：與 第七章 無窮級數7.1概念 如果當時，部分和數列的極限存在，即（S是有限常數）則稱級數收斂。如果的極限不存在，則稱級數發散。7.2無窮級數的基本性質：定理7.1：如果級數 與級數都收斂，他們的和 分別是S、W，則級數 也收斂，且 其和為（注意：必須先說明、收斂，才能運用該性質）定理7.2：如果級數收斂，且其和為S。 則它的每一項都乘以一個不為零的常數a后，所 得到的的級數也收斂， 且其和為aS（即級數每一項同乘一個不為零的常 數后，其收斂性不變。定理7

6、.3：在一個級數的前面加上（或減去）有限項，級數 的斂散性不變。定理7.4：如果一個級數收斂，加括號后所成的級數也收斂， 且與原級數有著相同的和。（反之，如果加括號后 所成的級數發散，則原級數也發散。另外，發散 級數加括號后有可能收斂，即加括號后級數收斂 原級數未必收斂。） 總結：收斂級數加括號收斂級數 發散級數去括號發散級數 收斂級數去括號級數不一定收斂 發散級數加括號級數不一定發散定理7.5：（收斂的必要條件）如果級數 收斂，則（即一般 項極限為零，則級數發散;一般項極限不為零，則 不能判定極限的收斂性，選用其他方法）7.3正項級數：定理7.6：正項級數收斂的充要條件是：它的部分和數列 有

7、界。定理7.6：（比較判別法）如果兩個正項級數 與滿足關系式 其中c是大于0的常數，那么： （1）當級數收斂時，級數也收斂 （2）當級數發散時，級數也發散常用比較法級數總結：（1） 幾何級數：當時收斂于，當時發散（2） 調和級數發散（3） 級數：當時發散,當是收斂定理7.8：（達朗貝爾比值法）如果正項級數 滿足條件，則 （1）當時，級數收斂; （2）當時，級數發散; （3）當時，不能用此法判定級數斂散性。總結：1、兩個收斂級數相加得一收斂級數。 2、兩個發散級數相加不一定是發散的。 3、一個收斂級數加上一個發散級數則為一發散級數。7.4任意項級數、絕對收斂定理7.9：（萊布尼茨定理）如果交錯級

8、數滿足條件 （1） （2） 則級數收斂，其和 定理7.10：如果任意項級數的各項絕 對值所組成的級數收斂，則原級數也收斂。（注意：如果正項級數發散，則只能判斷原級數非絕對收斂，而不能判斷其為發散）定理7.11：如果任意項級數滿足條件則當l<1是級數絕對收斂，當l>1是級數絕對發散。7.5冪級數 求冪級數收斂區間的步驟：先求出收斂半徑R，如果0<R<+,則再判斷是的斂散性，最后寫出收斂區間。定理7.11：如果冪級數的系數滿足條件則 （1）當時，（2）當 時， （3）當 時， 注意：該定理只針對標準形式的冪級數。如果不是標準形式，可以考慮任意項收斂性判定公式。 (2） 冪級

9、數的性質（1） 如果冪級數和的收斂半徑分別為和，則的收斂半徑等于和中較小的那個。（2） 如果冪級數的收斂半徑，則在收斂區間內，它的和級數時連續級數。（3） 冪級數可以在其收斂區間可以逐項積分，并且積分后級數的收斂半徑也是R。（4） 冪級數可以在其收斂區間可以逐項微分，并且微分后級數的收斂半徑也是R。7.6泰勒級數和泰勒公式：定理7.13（泰勒中值定理）如果函數在含有點的區間內，有一階直到階的連續導數，則當x取區間內任何值時，可以按的方冪展開為其中 （在與之間）則該公式稱為函數f(x)的泰勒級數，余項稱為拉格朗日型余項。當令時公式變為再令，則稱為馬克勞林公式。而叫做泰勒級數，當時，公式成為稱為馬

10、克勞林級數。7.7某些初等級數的冪級數展開式：（1） 直接展開法：利用泰勒級數或馬克勞林級數將f(x)展開為冪級數的步驟：1、求出f(x)在x=0的各階導數值，若函數f(x)在x=0的某階導數不存在，則f(x)不能展為冪級數 2、寫出冪級數，并求出收斂區間 3、 考察在收斂區間內余項的極限是否為0.如為0，則冪級數在此區間內等于函數f(x);如不為0，冪級數雖收斂，但它的和也不是f(x).(2） 間接展開法總結:重要冪級數的展開式 第八章 多元函數8.1空間解析幾何空間任意兩點之間的距離：球面方程：8.2多元函數對于多元函數來說，可導不一定連續，連續同樣不一定可導。8.4偏導數其多元函數對一自

11、變量的偏導數時，只需將其他自變量看成常數，用一元函數求導法即可求得。8.5全微分必要條件：可微偏導數存在， 在處連續（但偏導數不一定連續）充分條件;存在連續偏導數可微8.6復合函數微分法： 8.7隱含數的微分法;8.8二元函數的極值定理8.3：(極值存在的必要條件）如果函數f(x)在點處有極值，且兩個一階偏導數存在，則有，定理8.4：（極限存在的充分條件）如果函數f(x)在點的某一領域內有連續的二階偏導數，且時它的駐點設則 （1）如果，且，則是極大值 （2）如果，且，則是極小值 （3）如果，則不是極值 （4）如果，則是否為極值需另法判別*空間一點到平面的垂直距離公式： 8.9二重積分性質1：常

12、數因子可提到積分號外面性質2：函數代數和的積分等于各個函數積分的代數和性質3：二重積分的可加性性質4：如果在區域D上總有則，特別有性質5：如果在區域D上有f(x,y）=1，A是D的面積，則性質6：設M與m分別時函數z=f(x,y)在D上的最大值和最小值，A是D的面積，則性質7：二重積分的中值定理：如果f(x,y)在閉區域D上連續，A是D的面積，則在D內至少存在一點使得（中值定理的幾何意義為：在區域D上以曲面f(x,y)為頂的曲頂柱體的體積，等于區域D上以某一點的函數值為高的平頂柱體的體積。*二重積分的計算，可以歸結為求兩次定積分 （1） （2） 注意：如果平行與坐標軸的直線與區域D的邊界線交點

13、多于兩點，則要將D分為幾個小區域，使每個小區域的邊界線與平行于坐標軸的直線的交點不多于兩個。然后再應用積分對區域的可加性計算。另外，計算二重積分時應先畫出區域D的圖形，再寫出區域D上的點滿足的不等式，從而確定積分上下限。當區域D時圓或是圓的一部分，或者區域D的邊界方程用極坐標表示較為簡單，或者被積函數為等形式時，一般采用極坐標計算二重積分。 第九章 微分方程與差分方程9.2一階微分方程：（1） 可分離變量的一階微分方程 形如 通解為 特別當 或 時得的通解為 的通解為（2） 齊次微分方程形如步驟：1、轉換為標準形式 2、設得，再將其代入可得到可分離變量的微分方程 則通解為或 3，將代入（3） 一階線性微分方程 形如公式：步驟：1、求對應的齊次方程的通解 2、設，并求出 3、將第二步中的y及代入，解出 4、將第三步求出的代入第二步的y的表達式，得 9.3幾種二階微分方程：（1） 最簡單的二階微分方程 形如 方法：對其積分一次得，再對上式積分一次得（2） 不顯含未知函數y的二次微分方程 形如 令，則代入方程得求其通解為 則方程