1、高三文科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之圓錐曲線知識歸納:名稱橢圓雙曲線圖象yO1X-y-O1/定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn) Fi ,F2的距離的和為常數(shù)（大于 F1F2 ）的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 |MF1MF2 2a當(dāng)2a 2C時，軌跡是橢圓，當(dāng)2a =2c時，軌跡是一條線段F1F2I當(dāng)2a 2c時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1,F2的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于|FiF2）的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即|MF1 MF2 2a當(dāng)2a 2c時，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn) 方程22焦點(diǎn)在X軸上時：與 y- 1a2 b222焦點(diǎn)在y軸上時：y-T Xr 1 a2 b2注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一 坐標(biāo)軸上22焦點(diǎn)在X軸上時：匕 1a b

2、22焦點(diǎn)在y軸上時：與二 1 a b常數(shù)a,b,c的關(guān) 系22.2.na c b , a b 0,a 最人，c b, c b, c b22.2Cc a b , c a 0c最大，可以a b, a b,a b漸近 線焦點(diǎn)在X軸上時： 衛(wèi) 0 a b焦點(diǎn)在y軸上時：0 a b拋物線:圖 形JOi9JII上方 程2一，jy 2px(p 0)2c,c、y2px(p 0)2一，jx 2py(p 0)2一，jx2py(p 0)隹占八、p (7,0)2(-,0) 2p (0,7)2(0,92準(zhǔn) 線xp.2x 2y iy考(一)橢圓221.橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程 二 。1(a b 0) a2b2(1)范圍：

3、a x a,-b x a,橢圓落在x a, yb組成的矩形中。(2)對稱性：圖象關(guān)于y軸對稱。圖象關(guān)于 x軸對稱。圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心。x軸、y軸叫橢圓的對稱軸。從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距。(3)頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)橢圓共有四個頂點(diǎn)：A ( a,0), A2(a,0) , B (0, b), B2(0,b)。加兩焦點(diǎn)F( c,0), F2(c,0)共有六個特殊點(diǎn)。AA2叫橢圓的長軸， B1B2叫橢圓的短軸。長分別為2a,2b。a, b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn)。(4)離心率：橢圓焦距與長軸長

4、之比。e c e J1 (b)2。0 e 1。aa橢圓形狀與e的關(guān)系：e 0,c 0,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在 e 0時的特例。e 1,c a,橢圓變扁，直至成為極限位置線段F1F2,此時也可認(rèn)為是橢圓在 e 1時的特例。(0,1)內(nèi)常數(shù)e,那么這2 . 橢圓的第二定義：一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個 個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù) e就是離心率。橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式3 .橢圓的準(zhǔn)線方程2L；右準(zhǔn)線12 ：x c22對于斗y71 ,左準(zhǔn)線11 : xa b對于2xb21 ,下準(zhǔn)線

5、11 : y2a一;c上準(zhǔn)線12 ： y2222焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 p a- c a b-(焦參數(shù)) cc c(二)雙曲線的幾何性質(zhì)：1.(1)范圍、對稱性22由標(biāo)準(zhǔn)方程二、1,從橫的方向來看，直線x=a,x =a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著xa b的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線。雙曲線不 封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心。(2)頂點(diǎn)頂點(diǎn)：A(a,0),A2a,0 ,特殊點(diǎn)：B(0,b),B2 0, b實(shí)軸：AA2長為2a,a叫做實(shí)半軸長。虛軸：B1B2長為2b, b叫做虛半軸長。雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓則有四個頂點(diǎn)，這是兩者的又一

6、差異。(3)漸近線2冬 1的漸近線y b2bxyc、x( 0)aab5(版權(quán)所有 翻版必究)(4)離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比空-,叫做雙曲線的離心率2a a.范圍：e1雙曲線形狀與e的關(guān)系:Ve2 1 , e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大， 它的開口就越闊。2 .等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。(2)漸近線互相垂直；(3)離心率e 0,由萬程y 2px p 0可知，這條拋物線上的點(diǎn) M的坐標(biāo)(X, y)滿足不等式x0,所 以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方

7、和右下方無限延伸。(2)對稱性以一y代V,方程y2 2px p 0不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。(3)頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程y2 2px p 0中，當(dāng)y=0時，x=0,因此拋物線y2 2px p 0的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。(4)離心率拋物線上的點(diǎn) M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用 e表示。由拋物線的 定義可知，e=1o【典型例題】例1.根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程 .(1)中心在原點(diǎn)、以對稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為1/2、長軸長為8;(2)和橢圓9x2+4y2 = 36有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(2, 3);(3)中

8、心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，從一個焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長軸上較近頂點(diǎn)的距離是阮一55 。a2=b2+c2及已知條件分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦點(diǎn)位置確定方程形式，其次是根據(jù) 確定a2、b2的值進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。解：(1)焦點(diǎn)位置可在x軸上，也可在y軸上21或y-162112(2)焦點(diǎn)位置確定，且為(0,J5 ),22y x 1 , (ab0),由已知條件有a b2.2a2 b252222、y x94 a 15,b10,故方程為三0 11510a2 b222(3)設(shè)橢圓方程為1, (ab0)a2 b2b c由題設(shè)條件有,_及a2 = b2 + c2,4a c .10. 51。

9、b= . 5,a,1022故所求橢圓的方程是 y- 1o105例2.直線y kx 1與雙曲線3x2 y2 1相交于A B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時，A B分別在雙曲線的兩支上?解：把y kx 1代入3x2 y2 1整理得：(3 a2)x2 2ax 2 0(1)22因此有兩解： x y-16129(版權(quán)所有 翻版必究)當(dāng) aJ3時，24 4a2由 0得展 a 66且a，3時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)若A、B在雙曲線的同一支，須 x1x2故當(dāng) 6Q a33或V3 a-2-0,所以 a 。3 或 a M。a 3V6時，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng) V3a J3

10、時，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。例3.已知拋物線方程為y2 2p(x 1) (p0),直線l:x y m過拋物線的焦點(diǎn) F且被拋物線截得 的弦長為3,求p的值。1 .12 | y1 丫2 |2 | y1 y2 |k解：設(shè)l與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB| 3.由距離公式 |AB| = v(xi -x2)2 (y1 y2)2則有(yi y2)2 9. 2,x y 1 ,22由2,消去x,得y 2py p 0y2 2p(x i)222(2P) 4P 0.yiy22p,yy2p .從而（y1y2)2(y V2Y 4y1 y2即（2p）24p2由于p0,解得p9234例4.過

11、點(diǎn)（1 , 0）的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于2線y=1x過線段AB的中點(diǎn)，同時橢圓 C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線 2程.l對稱，試求直線lA、B兩點(diǎn)，直與橢圓C的方解法一：由c e= a亞，得Jb2 a21,從而 a2=2b2,c=b.2設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2) 在橢圓上. 則 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0, yy2xx22(yiy2)設(shè) AB 中點(diǎn)為(x0,y0),則 kAB=- -x0又(x0,y0)在直線y=1x上, 2于是-x0- =

12、 1,kAB= 1,設(shè)l的方程為y=-x+1.右焦點(diǎn)（b,0）關(guān)于l的對稱點(diǎn)設(shè)為（xy則x by2解得x y由點(diǎn)（1,1b）在橢圓上，得.所求橢圓C的方程為對解法二：由e=- a設(shè)橢圓C的方程為9一 2,# 22yy0= 1 x0,9 o 91+2(1 b)2=2b2,b2= ，a2 -16816 2 1yb22 a=1,l的方程為y= x+1.1,從而 a2=2b2,c=b.2x2+2y2=2b2,l 的方程為 y=k(x 1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2則 x1+x2=_,y1+y2=k(x1 1)+k(x21 2k24k2x+2k2 2b2=0,1)=k(x1+x

13、2) 2k= 直線l : y=1x過AB的中點(diǎn)(x一生,奧22戶則2k1 2k22k21 2k2解得k=0,或k= 1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓 C上，所以k=0舍 去，從而k= - 1,直線l的方程為y=- (x - 1),即y= x+1,以下同解法一.22 1(a b 0)(1) b2直線l不平彳T于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線1y 2x過AB中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線l的方程為y k(x1)(2)(2)代入(1)消y整理得：(k2a22 2 b )x2 22. 22k a x a k2. 2 a b0 (3)設(shè)A(xi, yi

14、)B(X2y2)知:c, 2 22k ax1x2k 2ab2又yiy2 k(xiX2)2k代入上式得:k上% x22k2k1ka2此時a2 2b22(a22 ac2)2e2直線l的方程為y方程(3)化為3x24x2b20,16 24(1b2)2、_8(3b2 1)0b三3,橢圓C的方程可寫成:32_ 2_ 2x2 2y2 2b2 (4)又c222b2 b2 ,右焦點(diǎn)F(b,0)設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)(xo, yo)則x0Vo1 bV。2x02x 1, Vo b又點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，代入(4)得：12(1 b) 2b2 ,解法3:設(shè)橢圓方程為今 a所以所求的橢圓方程為:2 x 百82 y旦

15、16例5.如圖，已知 P1OP2的面積為,P為線段P1P2的一個三等分點(diǎn)，求以直線 OP1、OP2為漸近線且4過點(diǎn)P的離心率為任的雙曲線方程.解：以。為原點(diǎn)，/設(shè)雙曲線方程為2P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系2，=1(a0,b 0) b22由 e2=c-2 a(b)2a由3 4 2徂()，仔2.兩漸近線OP1 OP2方程分別為y=- - x 2設(shè)點(diǎn)P1(x1,3x1),P2(x2, - 3 x2)(x1 0,x20),22則由點(diǎn)P分RP2所成的比入空=2,PP2得P點(diǎn)坐標(biāo)為(x12x2 , x12x2 ),32又點(diǎn)P在雙曲線2所以a2,(Xi 2x2)(Xi9a22曳2=1上

16、21,9a產(chǎn)=1, 9a即(x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a211(版權(quán)所有 翻版必究)又|O川292XiXi4sinFOP22tanROx-21 tan P1Ox43X1,|OP|22 I化d 913142 x2924x213Vx2S POP21八八-IOPiI |OP2|sin ROP213XiX241213274=1.例6.已知點(diǎn)B (- 10), C (1,0),P是平面上一動點(diǎn)，且滿足|PC | | BC | PB CB.(1)(2)求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；已知點(diǎn)A (m,2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD! AE,判斷：

17、直線 DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論(3)已知點(diǎn) 求證：直線A(m,2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦 AD, AE,且AD, AE的斜率k1、k2滿足k1 *2=2.DE過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn) .解：(1)設(shè)P(x,y)代入 IPC I IBC I PB CB 得 d(x 1)2 y2 1 x,化簡得 y2 4、（2）將A（m,2）代入y24x得m 1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）.13（版權(quán)所有 翻版必究）設(shè)直線AD的方程為y 2k(x 1)代入 y24x,得y24ky由y12可得y242,同理可設(shè)直線AE: yd61(x41, 丁 2).k1),代入 y24x彳#E(4k21,4k2).則

18、直線DE方程為：y4kk2(y 2) k(x 5) (y 2)4 4k&(x 4k2 1),化簡得4k2 4k0,、_一k, 、 即y 2一 (x 5),過定點(diǎn)(5, 2).k2 1(3)將 A(m,2)代入 y24x 得 m 1,設(shè)直線 DE的方程為 y kx b,D(x1, y1),E(x1, y1),y kx b 2 22由 得 k2x2 2(kb 2)x b2 0,y 4xy12y2 2kAD kAE2, -11_ 21_ 2(x1,x2 1),x1 1 x2 1且 y1kx1 b, y2kx2 b,22(k2)x1x2 (kb 2k 2)(x1x2) (b 2)2 0,2將x1x2z

19、,x1x2-5-代入化簡得 b2 (k 2)2, b (k 2).k2k2b (k 2).將bk2代入ykxb彳尋ykxk2k(x1)2,過定點(diǎn)(1, 2).將b2k代入ykxb彳導(dǎo)ykx2kk(x1)2,過定點(diǎn)(1,2),不合，舍去,定點(diǎn)為(1,2)【模擬試題】（答題時間：50分鐘）、選擇題1.是任意實(shí)數(shù)，則方程 x2 y2sinA. 橢圓 B. 雙曲線 C.4所表示的曲線不可能是（拋物線 D. 圓2.2 x 已知橢一12(y t)2211的一條準(zhǔn)線方程是y8,則實(shí)數(shù)t的值是（）A. 7 或一7B. 4 或 12 C. 1 或 15D. 0223.雙曲線 y- 1的離心率e （1,2）,則k

20、的取值范圍為（4 kA.,0)B.(12, 0) C.(3, 0)D.(60, 12)4.2 y121的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為（A.2 x162 y12B.2 x122 y16C.2 x16D.2 y165.拋物線2 .y 8mx的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A.,0)B.(0擊C.(0,32m)1D. (,0)32 m6.已知點(diǎn)A （- 21)2y4x的焦點(diǎn)為fP是y24x的點(diǎn)，為使PA PF取得最小值,P占I 八、的坐標(biāo)是（A.1(1,1) B.4(2,2 .2) C.4,1)D.(2, 2.2)7.已知雙曲線的漸近線方程為3x 4y0 , 一條準(zhǔn)線方程為5y 9 0,則雙曲線方程為（A.2

21、x16B.2L 116C.2 x25D.2L 1258.拋物線y x2至U直線2x4距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（A.(2,4)B.(1,1)D.(2,4)9.動圓的圓心在拋物線y28x上，且動圓與直線x 20相切，則動圓必過定點(diǎn)（A.(4, 0)B.(20) C. (0, 2) D.(0, 2)10 .中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為（0, 5行）的橢圓被直線3x-y- 2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則橢圓方程為（）A.W 這 1252 C.25 7575,12x2 B.-752D.752y2 125亡125二、填空題i o（版權(quán)所有 翻版必究）. 211 .到定點(diǎn)（2, 0）的距離與到定直線 X 8的距離

22、之比為 三的動點(diǎn)的軌跡方程為 212 .雙曲線2mx2 my2 2的一條準(zhǔn)線是y 1 ,則m 。13 .已知點(diǎn)（一2, 3）與拋物線y2 2Px（p 0）的焦點(diǎn)距離是5, p 。14 .直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P,若過點(diǎn)P且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn), 那么具有最短長軸的橢圓方程為 。15.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),MN一一，3 一過右焦點(diǎn)F （2,0）作斜率為, _的直線，交雙曲線于 M N兩點(diǎn)，且 ,5=4,求雙曲線方程。16.2 x 過橢圓一42y-1的左焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于P、Q3F2為右焦點(diǎn)。1 7（版權(quán)所有 翻版必究）求：|PF2| QF2 的最值

23、9 - 22417 . 已知橢圓的一個焦點(diǎn)為 F1（0,2*5）,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y ，且離心率e滿足一,e、一433成等比數(shù)列。（1）求橢圓的方程。1 （2）試問是否存在直線l ,使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M N,且線段MN恰被直線x平分？若存在，2求出l的傾角的取值范圍，若不存在，請說明理由。18.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為。，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5 , 0）,傾斜角為的直線l與線段OAf交（不經(jīng)過點(diǎn)。或點(diǎn)A）且交拋物線于 M N兩點(diǎn)，求 AMN積最大時直線l的方程，并求 AMNB勺最大面積.【試題答案】1. C6. A2. C7. A3. B8. B4. A9. B 10.C5. B

24、11.(x4)2722 y3612.13. 414.15.解:2=14設(shè)所求雙曲線方程為2 x 2 a2 y b2(a0,b0),由右焦點(diǎn)為(2, 0)。知 c=2, b2 = 4-a22則雙曲線方程為三a2y4b21,設(shè)直線MN的方程為：y3.,i-（x 2）,代入雙曲線方程整理得：（20 58a2) x2+12a2x+5a432a2=0設(shè) M (x1,y1 ) ,N (x2,y2),則 x1X212a220 8a2X1X25a4 32a220 8a2MNx1x24x1 x2解得:2012a28a25a4 32a2)2 420 8a2a2 1,b2故所求雙曲線方程為:x16.解：直線l :yP、Q為l與橢圓的交點(diǎn)(1 tan )26 cos. L 12Kt- cost s