1、實數全章復習與鞏固（提高）撰稿：康紅梅 責編：吳婷婷【學習目標】1 .了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根 2 .了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根 .3 . 了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點對應， 有序實數對與平面上的點對應； 了解數的范圍由有理數擴大為實數后，概念、運算等的一致性及其發展變化4 .能用有理數估計一個無理數的大致范圍.【知識網絡】【要點梳理】【高清課堂：389318 實數復習，知識要點】要點一、平方根和立方根項目平方根立方根被開方數非負數任意實數付萬表

2、/、性質一個正數有兩個平方根，且互為相反數；零的平方根為零；負數沒有平方根；一個正數有一個正的立方根； 一個負數有一個負的立方根； 零的立方根是零；重要結論要點二、實數有理數和無理數統稱為實數 .1.實數的分類按定義分：拓有理數：有限小數或無限循環小數實數、無理數：無限不循環小數按與0的大小關系分：正數J有理數、正無理數布用:負有理數 入女攵負無理數要點詮釋：（1）所有的實數分成三類：有限小數，無限循環小數，無限不循環小數.其中有限小數 和無限循環小數統稱有理數，無限不循環小數叫做無理數.（2）無理數分成三類：開方開不盡的數，如J5, 五等；有特殊意義的數，如兀；(3)凡能寫成無限不循環小數的

3、數都是無理數，并且無理數不能寫成分數形式(4)實數和數軸上點是對應的 .2 .實數與數軸上的點一 一對應.數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應3 .實數的三個非負性及性質：在實數范圍內，正數和零統稱為非負數。我們已經學習過的非負數有如下三種形式：(1)任何一個實數a的絕對值是非負數，即| a|>0;(2)任何一個實數a的平方是非負數，即 a2>0；(3)任何非負數的算術平方根是非負數，即Va >0 ( a20).非負數具有以下性質：(1)非負數有最小值零；(2)有限個非負數之和仍是非負數；(3)幾個非負數之和等于 0,則每個非負數都

4、等于 0.4 .實數的運算：數a的相反數是一a ; 一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里5 .實數的大小的比較：有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.法則1.實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數 大；法則2.正數大于0, 0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而?。环▌t3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法 .【典型例題】類

5、型一、有關方根的問題【高清課堂：389318 實數復習，例1】J|x| -3 +J3-|x| +1221、已知y =,求x y的值.x -3【思路點撥】 由被開方數是非負數，分母不為 0得出x的值，從而求出y值，及x2y的值.【答案與解析】解：由題意得-3 _0'xI13 x >0 ,解得 x = - 3x-30J|x|-3 +13|x| +12x3=-2x2y= (-3 2 «2 )=-18.【總結升華】 根據使式子有意義的條件列出方程，解方程，從而得到x2y的值.舉一反三：【變式1】已知y = Jx 2 +V2 -x +3,求yx的平方根?！敬鸢浮拷猓河深}意得:x

6、-2-02 -x_0解得x=2.，y=3, yx =32 =9 , yx 的平方根為± 3.【變式2】若V3x -7和#3y+4互為相反數，試求x + y的值?！敬鸢浮?解： 3/3x 7和3/3y+4互為相反數,3x-7+3y+4=03 ( x + y ) = 3, x + y = 1.C2、已知M是滿足不等式-屈<a <<6的所有整數a的和，N是滿足不等式x"37 -22的最大整數.求M+N的平方根.【答案與解析】解：: -石<a(店的所有整數有一1, 0, 1, 2所有整數的和M = 1+1+0 + 2 = 2.xW 且二2 = 2, N是滿足

7、不等式xW三絲三的最大整數.22. N =2；M+N = 4, M+N的平方根是±2.【總結升華】 先由已知條件確定 M N的值，再根據平方根的定義求出N的平方根.類型二、與實數有關的問題03、已知a是50的整數部分，b是它的小數部分，求 "aj+(b + 3)2的化【思路點撥】一個數是由整數部分+小數部分構成的.通過估算J10的整數部分是3,那么它的小數部分就是V10-3,再代入式子求值.【答案與解析】解：: a是加的整數部分，b是它的小數部分，3<J10<4. a =3, b ="訶-3 3232-aiTb 3"：-3,10 -3 3)：

8、 =-27 10=77.【總結升華】可用夾擠法來確定，即看后介于哪兩個相鄰的完全平方數之間，然后開平方.這個數減去它的整數部分后就是它的小數部分.舉一反三：【變式】 已知5+ 后的小數部分為a , 5新1的小數部分為b ,則a + b的值是；a - b的值是.【答案】a +b =1;ab =2如7 ；提示：由題意可知 a = J1T-3, b=4-J11. 4、閱讀理解，回答問題.在解決數學問題的過程中， 有時會遇到比較兩數大小的問題，解決這類問題的關鍵是根據命題的題設和結論特征，采用相應辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效的方法：若a- b>0,則 a>b；若 a

9、 b=0, 則a = b；若 a b<0,則 avb.例如：在比較 m2 +1與m2的大小時，小東同學的作法是：m2 1)m2 = m2 1 -m2 = 122 m 1 m請你參考小東同學的作法，比較4 J3與(2 + J3)2的大小.【思路點撥】 仿照例題，做差后經過計算判斷差與0的關系，從而比較大小【答案與解析】_ 2_解：4 ,3- 2-3 =4,3 -(4 4,3 3) = -7 < 0 . 4,3 v (2 k3)2【總結升華】 實數比較大小常用的有作差法和作商法，根據具體情況加以選擇舉一反三：【高清課堂：389318 實數復習，例5】19【變式】實數a在數軸上的位置如圖

10、所不，則 a,-a,，a2的大小關系是： a【答案】 l<a<a2<a； a類型三、實數綜合應用5、已知 a、b 滿足 J2aT8+|bJ3|=0,解關于 x 的方程(a+2x+b2 =a1。【答案與解析】解：= 2a 8 |b - .3尸0；2a+8 = 0, b 73=0，解得 a = 4, b=T3,代入方程：【總結升華】 先由非負數和為 0,則幾個非負數分別為 0解出a、b的值，再解方程.舉一反三：【變式】設a、b、c都是實數，且滿足(2a)2+Ja2 +b + c+|c+8 =0 ,求代數式2a-3bc的值?！敬鸢浮拷猓?(2_a)2+%：a2+b+c + c +

11、8=02-a=0a=22a +b +c = 0 ,解得b =4c 8 =0c - -82a-3b -c =4-12 8 =0.【高清課堂：實數復習，例 6】66、閱讀材料：學習了無理數后，某數學興趣小組開展了一次探究活動：估算J13的近似值.小明的方法：炳 <而<配，設 Y13 = 3+k (0<k<1) .(而)2 =(3+k)2.一 一.244 13=9+6k+k .，13之9 +6k .解得 k & . . 13 先 3 + & 3.67. 66問題：(1)請你依照小明的方法，估算 河 的近似值；(2)請結合上述具體實例，概括出估算 jm的公式：已知非負整數a、b、m ,若a <而<a+ 1,且m = a2 +b ,則而定(用含a、b的代數式表示)；(3)請用(2)中的結論估算 J37的近似值.【答案與解析】解：(1).炳<問<腐，設 74T = 6+k (0<k<1).( .41)2 =(6 k)2.一一 一 2- 41 =36 + 12k +k .41 36+12k.,一 5解得k . 12,41 : 6 6.42. 12(2) a 父而 <a 十1,設 4m =a+k (0<k<1).