1、單擺振動中的等效冋題單擺是由一根不能伸長的細線，系一個視為質點的擺球構成。在擺角（新教材）時，擺球的運動可視為簡諧運動。等效方法 是通過對問題中的某些因素進行變換或直接利用相似性，移用某一規律進行分析而得到相等 效果，禾U用等效法不僅可以使問題變得簡單易解，而且活躍了學生的思維。在通常情況下，很多物體的運動模型可等效為單擺模型，單擺振動中的等效問題包括模型 的等效、擺長的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效單擺的周期公式可以廣義地表示為式中為等效擺長,為等效重力加速度。一、等效單擺擺長所謂擺長意味著懸點到擺球球心間的距離。單擺的運動軌跡點是一小段圓弧，其軌道半徑相等，即與等效擺長=R。對于

2、形異質同的單擺物理模型,不管有無“懸點”，只要搞清了圓弧軌道的半徑 R,單擺的周期即可用計算。同學們對下圖中各擺等效擺長一看便知（若等效擺長不易一眼看出，則應從數學角度計算）。圖1圖2圖3例1.由長度依次為L和2L的AC和BC兩根細繩懸掛小球 C,如圖4所示，每根細繩跟豎直方向的夾角均為30。，當該小球向紙內外做微小擺動時，其擺動周期為 圖4圖5簡析：本題是一個雙線擺問題，解決其周期，首先得確定其等效擺長，連接AB，然后過擺球C作豎直線交直線 AB于0點，則0C為該擺的等效擺長，如圖 5所示，L”，故周期:例2.如圖6所示，光滑圓弧槽半徑為 R, A為最低點，C到A距離遠小于R,兩質點B和C

3、都由靜止開始釋放，問哪一個小球先到A點？簡析：B球到A點時間用自由落體運動規律求解，其時間：A點用C球在光滑圓弧槽內往復運動可看作等效單擺運動，半徑R為等效擺長。第一次到達單擺周期公式：顯然，討論：要使兩球在 A點相遇，可使 B球上移，問此時分析：B球下落時間為：，即B球先到。B球高度h為多少?h值亦應有多解:又C點運動具有重復性，兩球相遇時間必有多解，相應的解得等效重力加速度F)與擺球的質量等效重力加速度的大小等于擺球的視重(擺球相對懸點靜止時線的拉力。求之比，即的基本步驟如下:(1 )分析擺球的受力，確定擺球相對靜止的位置(即平衡位置)。(2)計算擺球的視重。(3)利用，求出視重加速度。應

4、當注意，在計算拉力時，不能將始終沿懸線方向的力(法線方向)包括在內。因為只有對回復力有貢獻的力，才能改變振動周期。如圖7幾種情況，振動周期不變。例3.如圖8所示的擺球，由于受到橫向風力的作用，偏過角。若繩長為I，擺球質量為m，且風力穩定,當擺球在紙平面內平衡位置附近振動時，其周期為（）。A.B.C.D.解析：平衡時擺球受重力mg，風力，線的拉力擺球的視重為，受力分析如圖9所示。由力的平衡可得,等效重力加速度為所以擺的周期為故選項B正確。例4.如圖10,用一根細線，長為I，將一個密度 的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏離平衡位置而振動，求它的周期是在空氣中周期 的幾倍。圖11圖10解析：設擺

5、球的體積為 V,則質量為碼=戸1 翊召=心朮呂申畑10x1008X103-1）他。擺球在水中平衡時受重力 mg、拉力、浮力作用，如圖11所示。由力的平衡條件可得等效重力加速度為擺在水中的周期為擺在空氣中的周期為所*原始的單擺模型在振動過程中回復力來源于重力的分量，要研究升降機中單擺的周期 問題，必須從研究回復力著手，求出其等效重力，再求等效重力加速度，則例5.在升降機中掛著一單擺，擺長為L,當升降機以加速度 a勻加速上升的過程中，求單擺的振動周期T。簡析：單擺在擺動過程中，受重力和繩的張力F的作用，當升降機勻加速上升時，單擺一方面繞懸點振動，另一方面沿豎直方向作勻加速直線運動。根據力的作用效果

6、，將 F分為三個力，如圖12所示，在豎直方向上，F3與G的合力產生向上的加速度 a,切線方向的Fi使單擺返回“平衡” 位置，產生切向加速度，F2沿擺線方向產生做圓周運動所需的向心加速度。因為又因為F丄Fi,所以:很小時,故單擺在加速上升的升降機中所受回復力與位移成正比，且方向相反，得單擺在升降機中擺動周期為:顯然升降機以加速度a勻加速下降，則:，我們稱之為等效重力加速度，同理，若可見在升降機中加速（或加速）上升（或下降），可以等效為重力加速度發生變化，只要求 出等效重力加速度，則單擺的周期問題迎刃而解，現列舉另外幾種常見情形：（1）在水平加速運動的車廂內如圖13所示，若將單擺懸掛于水平加速向左

7、運動的車廂內，其平衡位置由O變到了 0等效重力加速度為，則振動周期為圖14圖13(2) 在斜面上加速運動的車廂內如圖14所示，當小車沿傾角為的光滑斜面自由滑下時，單擺的周期為，比小車靜止時要大。(3) 光滑斜面上的單擺如圖15所示，單擺一端系于傾角為的光滑斜面上，產生回復力的是的切向分力，等效重力，周期為加速度為圖15圖16(4 )復合場中的單擺 若將帶電量為q的單擺放入電場強度為 E的勻強電場中，如圖16所示，則得到最常見的復合 場。若擺球帶負電，則:若擺球帶正電，則:當若電場方向改為水平，同理分析可得。時，單擺停擺。(5)在勻速圓周運動的衛星內因為擺球受到的萬有引力全部充當了和衛星一起環繞

8、行星運動所需要的向心力，所以處于完全失重狀態，單擺停擺。三、等效單擺周期對懸點下方有固定釘子的單擺及組合單擺來說，還存在等效周期的問題:例6、 一個單擺如圖17所示，擺長I = 150厘米，懸點0的正下 方有一個固定的釘子 A , 0A = 50厘米，設擺角B很小，試求此擺的 周期。解析:此單擺的一次全振動中，一半由擺長為li=150cm 的單擺的半個全振動組成，一半由擺長為l2=100cm 的單擺的半個全振動組成，圖17因此此組合單擺的周期T=T=3.14 X(O.3912+ 0.3194) =2.23s.以則（）A.如果例7、如圖10中兩單擺的擺長均為 L=1m，平衡時，兩鋼球剛好接觸，現

9、將擺球A在兩擺線所在的平面向左拉開一小角度釋放，碰撞后兩球分開各自做簡諧運動,分別表示兩擺球 A、B的質量，g取10m/s 2，下次碰撞發生在平衡位置的右側B.如果，下次碰撞發生在平衡位置的左側C該組合擺的周期 T合=n秒D.無論擺球質量之比是多少，下次碰撞都不可能發生在平衡位置的左側解析：因兩擺擺長相等，故兩擺球的周期相等，所以兩球同時到達平衡位置，在平衡位置發生第二次碰撞，且每隔 T/2即n秒時間，該組合擺完成一次全振動。故答案應選C、D。四、等效單擺模型小結常見的等效單擺模型很多，上述各圖中的模型就是典型的例子。除此以外，同學們還會遇到其它情況。從近幾年高考試題看，命題人的指導思想很明確

10、，那就是力求所命題目的創 意新、背景新、過程新。但從題目所對應的物理模型來看，其本質上講還是萬變不離其宗。等效法是科學思維的基本方法之一，要提高解決綜合問題的能力，從根本上講還是提高構建物理模型的能力，要學會透過現象看本質，進而對物理模型進行等效轉化。鞏固檢測1、如圖19，是記錄地震裝置的水平擺示意圖擺球m固定在邊長為I、質量可忽略的等/1/y叮F /邊三角形的頂點 A處.它的對邊BC與豎直線成不 大的a角擺球可沿固定軸 BC擺動，則擺球做微小圖19振動時周期為多大？（答案：T=2）解析：此裝置擺動時，形成擺球 A以BC為轉軸，以紙面上的 0A為平衡位置，在近于垂直紙面的向內、向外方向上作微小振動這時擺球A可視為擺長為0A的單擺，其等效擺長為I =/2.當擺球處在“平衡位置不擺動”時，沿等效擺長A0方向的等效擺線的拉力 T=mgsin a,即為等效重力 G=mgsin a,故此擺的周 期T=22、汽車的重量一般支撐在固定于軸承上的若干彈簧上，彈簧的等效勁度系數 k=1.5 x105N/m ,汽車開動時，在振幅