1、1小學數學小學數學2容斥原理容斥原理v在計數時，為了使重疊部分不被重復計在計數時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。為容斥原理。3容斥原理（第一講）v 一次期末考試，某班有15人數學得滿分，

2、有12人語文得滿分，并且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？ v數學 語文v 15 4 12v 數學和語文 4數學語文15124得滿分的同學這個班至少有一門得滿分是什么意思？這個班至少有一門得滿分是什么意思？數學得滿分數學得滿分只有數學得滿分只有數學得滿分兩種都得滿分兩種都得滿分語文得滿分語文得滿分只有語文得滿分只有語文得滿分得滿分的學生得滿分的學生方法一：（方法一：（15-4）+4（12-4）=23（人）（人）方法二：15+（12-4）=23（人）方法三：（15-4）+12=23（人）方法四：15+12-4=23（人）方法一、二、三是分塊計數的方法；方法四不考慮重

3、復，先相加，再去重。5 容斥原理一 上題中語文滿分人數是上題中語文滿分人數是12，數學滿分人數是，數學滿分人數是15，一門滿分的人數應該是，一門滿分的人數應該是27，但我們重復，但我們重復計算了語文數學都是滿分人數計算了語文數學都是滿分人數4，所以應該減，所以應該減去去4，答案就是，答案就是23結論：（公式一）結論：（公式一） 如果被計數的事物有如果被計數的事物有A、B兩類，那么，兩類，那么， A類或類或B類事物個數類事物個數= A類事物個數類事物個數+ B類事物類事物 個數個數既是既是A類又是類又是B類的事物個數。類的事物個數。6v某班學生每人家里至少有空調和電腦某班學生每人家里至少有空調和

4、電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調兩種電器中的一種，已知家中有空調的有的有41人，有電腦的有人，有電腦的有34人，二者都人，二者都有的有有的有27人，這個班有學生多少人？人，這個班有學生多少人？ v 41 27 3441+34-27=48（人）（人）7v一個班有一個班有45名學生，訂閱小學生數名學生，訂閱小學生數學報的有學報的有15人，訂閱今日少年報人，訂閱今日少年報的有的有10人，兩種報紙都訂閱的有人，兩種報紙都訂閱的有6人。人。v（1）訂閱報紙的總人數是多少？）訂閱報紙的總人數是多少？ 15 6 10v（2）兩種報紙都沒訂閱的有多少人？）兩種報紙都沒訂閱的有多少人？ 容斥原理容斥原理15

5、+10-6=19人45-19=26人8v在在1到到1000的自然數中，能被的自然數中，能被3或或5整除的數共整除的數共有多少個？不能被有多少個？不能被3或或5整除的數共有多少個？整除的數共有多少個？v能被能被3整除的個數：整除的個數： 10003=333個個1 v能被能被5整除的個數：整除的個數： 10005=200個個 能被能被3和和5整除的個數：整除的個數： 100015=66個個10所以根據容斥原理，能被所以根據容斥原理，能被3或或5整除的數共有整除的數共有： 333+200-66=467個個不能被不能被3或或5整除的個數：整除的個數： 1000-467=533個個9v某校選出某校選出5

6、0名學生參加區作文比賽和名學生參加區作文比賽和數學競賽，作文比賽獲獎的有數學競賽，作文比賽獲獎的有16人，人，數學比賽獲獎的有數學比賽獲獎的有12人，有人，有5人兩項比人兩項比賽都獲獎了。賽都獲獎了。v（1）共有多少人獲獎？）共有多少人獲獎？v16+12-5=23人人v（2）兩項比賽都沒獲獎的有多少人？）兩項比賽都沒獲獎的有多少人？v50-23=27人人 10v習題習題v1、四（、四（1）班有）班有40個學生，其中個學生，其中25人參加人參加數學小組，數學小組，23人參加航模小組，有人參加航模小組，有19個人個人兩個小組都參加了，那么，有多少人兩個兩個小組都參加了，那么，有多少人兩個小組都沒有

7、參加？小組都沒有參加？v2、有、有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不懂英語人既不懂英語又不懂俄語，有又不懂俄語，有75人懂英語，人懂英語，83人懂俄語，人懂俄語，問既懂英語又懂俄語的有多少人？問既懂英語又懂俄語的有多少人？25+23+19=29人 40-29=11人100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人11v3、在一次數學測驗中，所有同學都答了第、在一次數學測驗中，所有同學都答了第1、2兩題，其中答對第兩題，其中答對第1題的有題的有35人，答對第人，答對第2題的題的有有28人，這兩題都答對的有人，這兩題都答對的有20人，沒有人兩題人，沒有人兩題都答錯。一共有

8、多少人參加了這次數學測驗？都答錯。一共有多少人參加了這次數學測驗？v4、一個俱樂部里，會下中國象棋的有、一個俱樂部里，會下中國象棋的有69人，會人，會下國際象棋的有下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有人，這兩種棋都不會下的有12人，都會下的有人，都會下的有30人。這個俱樂部里有多少人。這個俱樂部里有多少人？人？35+28-20=42人69+52-30=91人 91+12=103人12v5、全班有、全班有50人，不會騎車的有人，不會騎車的有23人，不會人，不會滑旱冰的有滑旱冰的有35人，兩樣都會的有人，兩樣都會的有5人。問：人。問：兩樣都不會的有多少人？兩樣都不會的有多少人？v6、六年級（

9、、六年級（2）班有）班有48名學生，其中會騎自名學生，其中會騎自行車的有行車的有27個，會游泳的有個，會游泳的有18人，既會騎自人，既會騎自行車又會游泳的有行車又會游泳的有10人。問兩樣都不會的有人。問兩樣都不會的有多少人？多少人？50-5=45人 23+35-45=15人27+18-10=35人 48-35=13人13容斥原理（第二講）容斥原理（第二講）v某校六（某校六（1）班，每人）班，每人在暑假里都參加體育訓在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊練隊，其中參加足球隊的有的有25人，參加排球隊人，參加排球隊的有的有22人，參加游泳隊人，參加游泳隊的有的有34人，足球、排球人，足球、排球都

10、參加的有都參加的有12人，足球、人，足球、游泳都參加的有游泳都參加的有18人，人，排球、游泳都參加的有排球、游泳都參加的有14人，三項都參加的有人，三項都參加的有8人，這個班有多少人？人，這個班有多少人？v 足球 排球v v 游泳 14A+B+C+D+E+F+G=六（六（1）班人數）班人數 只參加足球訓練只參加足球訓練只參加游泳訓練只參加游泳訓練只參加排球訓練只參加排球訓練既參加足球又參加游泳既參加足球又參加游泳既參加足球又參加排球既參加足球又參加排球既參加游泳又參加排球既參加游泳又參加排球三種都參加三種都參加共七塊共七塊15 A+D+E+G=25 D+G=18 B+D+F+G=34 F+G=

11、14 C+E+F+G=22 E+G=12（A+D+E+G）（）（BDFG）（）（CE+F+G）-（DG）（）（FG）（）（E）塊（去重時把塊（去重時把G去完了）去完了）再加上三種都參加的再加上三種都參加的G這個班人數這個班人數16v結論（結論（公式二）公式二）v如果被計數的事物有如果被計數的事物有A、B、C三類，三類，那么，那么，A類或類或B類或類或C類事物個數類事物個數= A類類事物個數事物個數+ B類事物個數類事物個數+C類事物個類事物個數數既是既是A類又是類又是B類的事物個數類的事物個數既既是是A類又是類又是C類的事物個數類的事物個數既是既是B類類又是又是C類的事物個數類的事物個數+既是

12、既是A類又是類又是B類類而且是而且是C類的事物個數。類的事物個數。 17v例1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選修德語的學生人數為20，同時選修英語和法語的學生人數為8，同時選修英語和德語的學生人數為13 ，同時選修法語和德語的學生人數為6，而同時選修上述三種外語的學生人數則為3，問該班共有多少名學生？ 25+18+20-8-13-6+3=39人人18v例2、在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人

13、；三樣都要的有1人。問：共有幾個小朋友去了冷飲店？ 6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人 v分析與解：根據題意畫圖。6614冰汽?人103雪19v例3. 某校六年級二班有49人參加了數學、英語、語文學習小組，其中數學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學既參加數學小組又參加語文小組的有3人，既參加數學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數均為質數，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數學小組的人數。v 分析與解：根據已知條件畫出圖。數英49人質3語3020101質20v 三圓蓋住的總體為49人，假設既參加數學又參加英語的有x人，既參加語文又參

14、加英語的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質數，因而這兩個質數中必有一個偶質數2，另一個質數為7。v 答：既參加英語又參加數學小組的為2人或7人。3020103149xyxy 921v例5. 某班同學參加升學考試，得滿分的人數如下：數學20人，語文20人，英語20人，數學、英語兩科滿分者8人，數學、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個班最多多少人？最少多少人？v 分析與解：根據題意畫圖。數英98語2020207322v 設三科都得滿分者為xv 全班人數 v整理后：全班人數39xv 39+x表示全班人數，當x取最大值時，全班人數就最多，當x取最小值時，全班人數就最少。x是數學、語文、英語三科都得滿分的同學，因而x中的人數一定不超過兩科得滿分的人數，即 且 ，由此我們得到 ，另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得滿分的。v 當x取最大值7時，全班有 人，當x取最小值0時，全班有39人。v 答：這個班最多有46人，最少有39人。2020207893xxx78，()39746x 9x 723試一試v1. 某班45名同學參加體育測試，其中百米得優者20人，跳遠得優者18人，又知百米、跳遠都得優者7人，跳高、百米得優者6人，跳高、跳遠均得優者8人，跳高得優者22人，全班只有1名同學各項都沒達優秀，求三項都是優秀的人數。v45-1=