1、圓錐曲線常見題型解法 【方法點評】求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法，先定位，后定量。【變式演練1】 雙曲線的中心在坐標原點O,焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交于雙曲線P，Q兩點，若，求雙曲線方程。題型二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)解題方法 利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)解答例2 已知橢圓，A是橢圓長軸的一個端點，B是橢圓短軸的一個端點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點若ABBF，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.解： 因為ABBF，所以kABkBF1，即1，即b2ac，所以a2c2ac，兩邊同除以a2，得e2e10，所以e(舍負)，故選B.【小結】求值一般利用方程的思想解答，所以本題的關鍵就是找到

2、關于的方程。【練習】已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點若恰好將線段AB三等分，則()A B13 C D2題型三 圓錐曲線的最值問題解題方法一般利用數(shù)形結合和函數(shù)的方法解答例3 已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值（2）分析：顯然采用(1)中方法行不通如果令u=x+y，則將此代入+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值令x+y=u， 則有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0又0y2，(由(1)可知) -(2u+8)2-450（）求橢圓C的方程；（

3、）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。題型四圓錐曲線的范圍問題解題方法一般利用函數(shù)、基本不等式、數(shù)形結合等解答。例4 已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求 的取值范圍；【方法點評】由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的

4、問題轉化為解析幾何問題.【變式演練4】設、分別是橢圓的左、右焦點。（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。題型五直線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利用判別式、韋達定理、弦長公式、點差法等解答。例5已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。題型六圓錐曲線與圓錐曲

5、線的關系問題解題方法一般利用判別式和數(shù)形結合解答。例6 已知曲線及有公共點,求實數(shù)a的取值范圍可得：=2(1-a)y+-4=0 =4(1-a)2-4(a2-4)0， .如圖247，可知：橢圓中心,半軸長,拋物線頂點為,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時,.綜上所述,當時, 曲線與相交.【變式演練6】設橢圓，拋物線。（1） 若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率；（2） 設A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個交點，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。題型七圓錐曲線的定點和定值問題解題方法過定點的問題，一般先求曲線的方程，再證明曲線過定點；定值的問題，就是求值問題，直接求解就可

6、以了。例7 在直角坐標系中，點M到點的距離之和是4，點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線與軌跡C交于不同的兩點P和Q. （I）求軌跡C的方程； （II）當時，求k與b的關系，并證明直線過定點.解：（1）的距離之和是4，的軌跡C是長軸為4，焦點在x軸上焦中為的橢圓，其方程為3分 （2）將，代入曲線C的方程，整理得 5分因為直線與曲線C交于不同的兩點P和Q，所以設，則 7分即經(jīng)檢驗，都符合條件當b=2k時，直線的方程為顯然，此時直線經(jīng)過定點（-2，0）點.即直線經(jīng)過點A，與題意不符.當時，直線的方程為顯然，此時直線經(jīng)過定點點，且不過點A.綜上，k與b的關系是：且直線經(jīng)過定點點【方法

7、點評】證明曲線過定點，一般先求曲線的方程，再證明它過定點。【變式演練7】在拋物線x24y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；(2)為定值.又點在拋物線上，則整理得為所求軌跡方程【方法點評】點P之所以在動，就是因為點B在動，所以點P是被動點，點B是主動點，這種情景，應該利用代入法求軌跡方程。【變式演練8】已知ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程題型九存在性問題解題方法一般先假設存在，再探求，最后檢驗。例9 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象

8、限相切于點M . （1）求橢圓C的方程； （2）求直線的方程以及點M的坐標； （3）是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由.解：（）設橢圓C的方程為，由題意得解得，故橢圓C的方程為.4分 （）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為由得. 因為直線與橢圓相切，所以 整理，得解得 所以直線l方程為將代入式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為9分 （）若存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為所以所以，解

9、得 因為A，B為不同的兩點，所以.于是存在直線1滿足條件，其方程為1.【2012高考真題浙江理8】如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C：（a,b0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M，若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是A. B。 C. D. ，所以PQ的垂直平分線方程為：，令，得，所以，所以，即，所以。故選B2.【2012高考真題新課標理8】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 3.【2012高考真題新課標理4】設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的

10、離心率為（ ） 【解析】因為是底角為的等腰三角形，則有,，因為，所以,，所以，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，選C.4.【2012高考真題福建理8】已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A. B. C.3 D.5【解析】由拋物線方程易知其焦點坐標為，又根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，所以，從而可得漸進線方程為，即，所以，故選5.【2012高考真題全國卷理8】已知F1、F2為雙曲線C：x-y=2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|=|2PF2|，則cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)【解析】雙曲線的方程為，所以，因為|PF1|=|2PF2|

11、，所以點P在雙曲線的右支上，則有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根據(jù)余弦定理得,選C.6.【2012高考真題重慶理14】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= .7.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 ()求直線與直線交點M的軌跡方程; ()設動圓與相交于四點，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值。（2）證明：設，由矩形與矩形的面積相等，得，因為點均在橢圓上，所以由，知，所以。從而，因而為定值8.【2012高考真題上海理22】（4+6+6

12、=16分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積；（2）設斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：；（3）設橢圓：，若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值. 由，得. 設P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.（lb ylfx） 又2，所以， 設O到直線MN的距離為d，因為， 所以，即d=. 綜上，O到直線MN的距離是定值. 16分9、（2012高考真題山東理21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離

13、為（）求拋物線的方程；（）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值又取中點，由垂徑定理知，所以，所以存在，.（）依題，圓心，圓的半徑， 圓心到直線的距離為，所以，.又聯(lián)立，設，則有，. 所以，.于是，記，所以在，上單增，所以當，取得最小值，所以當時，取得最小值.【反饋訓練】1、求下列拋物線的方程（1）頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上點（3，a）到焦點的距離是5；（2）頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線所得的弦長為。3、過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B兩點 ，求面積的

14、最大值 。4、橢圓的焦點為FF，點P為其上的動點，當FP F為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是_。5、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。6、如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、（）求橢圓和雙曲線的標準方程；（）設直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.7、已知常數(shù)m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經(jīng)過點A(m, 0)，以為方向向量的直線與經(jīng)過點B(- m, 0)，以b-為方向向量的直線交于點P，其中R(1) 求點P的軌跡E；(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問

15、是否存在實數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，試說明理由8、已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，)，且長軸長與短軸長的比是1.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上在第一象限的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B，求證：直線AB的斜率為定值；(3)在(2)的條件下，求PAB面積的最大值9 已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點P、Q (1)求直線A1P與A2Q交點M的軌跡方程；(2)當mn時，求所得

16、圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率 【變式演練詳細解析】【變式演練1詳細解析】設所求的雙曲線方程為,右焦點為F(c,0)由題設過F點的直線l方程為： 整理消去y 化為：()現(xiàn)分析的取值若=0，則有這顯然與已知直線l 的斜率相等而已知直線l 平行于雙曲線的漸近線，則直線l 與雙曲線只能交于一點與題設矛盾， 因此若（）方程兩個根為 則有：則：其中：【變式演練3詳細解析】解：（）設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設，。（1）當軸時，。（2）當與軸不垂直時，設直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當且僅當，即時等號成立。當時，綜上所述。當最大時，面積取最大值。（以下同解法一

17、）（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或即 由韋達定理，得：。則線段AB的中點為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時。【變式演練6詳細解析】故，得重心坐標. 由重心在拋物線上得：，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。【變式演練7詳細解析】(1)拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1 A、B到準線的距離分別d1y1+1，d2=y2+1(如圖246所示)【變式演練8詳細解析】設，由重心公式，得又在拋物線上，將，代入，得，即所求曲線方程是【變式演練9詳細解析】（）將直線依題意

18、，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故（）設A、B兩點的坐標分別為、，則由式得解得可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.2、【解析】由橢圓方程 ，得， 設 是關于l對稱點 ， 可求出 坐標為(-9,6) ， 過的直線方程:x+2y-3=0與x-y+9=0聯(lián)立，得交點M(-5,4)， 即過M的橢圓長軸最短。由 ,得，, 所求橢圓方程為 .3、【解析】解 ： 橢圓焦點 ，設過焦點(0,1) ，直線方程為y=kx+1 與聯(lián)立 ，消去y, 得 ， 其中兩根為A,B橫坐標 。 將三角形AOB看作與組合而成 ，|OF| 是公共邊 ，它們在公共邊上的高長為即當直線為 y=1時 , 得到的面積最大值為 。4、【解析】由橢圓的知焦點為F1（,0）F2（,0）.設橢圓上的點可設為P（3cos,2sin）.為鈍角 =9cos254sin2=5 cos21b0)由題意，得解得a24，b22.所以橢圓C的方程為1.(2)由題意知，兩直線PA，PB的斜率必存在，設