1、第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程形如形如xdxfydyg)()(的一階微分方程叫做已分離變量方程的一階微分方程叫做已分離變量方程 .設(shè)設(shè) 是方程的解是方程的解 , )(xyxdxfxdxxg)()()(兩邊積分兩邊積分, 則有則有ydyg)(,)(xdxf即即CxFyG)()(稱為隱式通解稱為隱式通解)形如形如)()(21yfxfxdyd的方程都叫做可分離變量方程的方程都叫做可分離變量方程 . 則有恒等式則有恒等式 0 )( )(11xNxdxMydyNyM)( )(22或或 5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 例例1. 求微分方程求微分方程yxxdyd

2、23的通解.解解: 分離變量得分離變量得xdxyyd23兩邊積分xdxyyd23得13lnCxyCxylnln3即13Cxey 31xCee 3xeC 令1CeC( C 為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程在求解過程中每一步不一定是中每一步不一定是同解變形同解變形, 因此可能增、減解.如此例, y = 0 也是原方程的解 , 但在變量分離時丟失了此解.例例2. 解下述初值問題解下述初值問題0)1(2ydxxdyx解解: 分離變量得分離變量得xdxxyyd21兩邊積分得兩邊積分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1 112xy( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù)

3、 )故所求特解為故所求特解為 1)0(y求方程求方程 的通解的通解 . yxey 解法解法 1：xdeydexy Ceexy 或或01)( yxeCe( C 0 )解法解法 2: 令令 ,yxu那么那么yu1故有故有ueu1積分積分Cxeudu1Cxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )即即Cyeyx)1(lnudeeeuuu1)1 (3例例yxeedxdy 01422222dyyxxyydxx求求例例 .解解 原式化為原式化為xdxxdyyy22211兩邊積分得兩邊積分得Cxxyyarctanln221滿足初始條件滿足初始條件11xy的特解。的特解。由初始條件由初始條件11xy2

4、34 C得得所求特解為所求特解為423arctan21ln2xxyy例例5. 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原子已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原子的含量的含量 M 成正比成正比 ,0M求在衰變求在衰變過程中鈾含量過程中鈾含量 M(t) 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意 , 有有)0(MtdMd00MMt(初始條件初始條件)對方程分離變量對方程分離變量, MMd得得,lnlnCtM即即teCM利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分然后積分:td)(知知 t = 0 時鈾的含量

5、為時鈾的含量為例例6. 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比成正比 ,求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程vkmgtdvdm00tv初始條件為初始條件為:對方程分離變量對方程分離變量,mtdvkmgvd然后積分然后積分, 得得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm利用初始條件利用初始條件,得得, )(ln1gmkC代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解)1 (tmkekgmv說明說明: ,limkgmvt跳傘最后階段接近于等速運動跳傘最后階段接近于等速運動.并設(shè)降落傘離開跳傘