1、第一章 直角三角形的邊角關系1.1 從梯子的傾斜程度談起（第一課時）學習目標:1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.學習重點:1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.學習難點:理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.學習方法:引導探索法.學習過程:一、生活中的數學問題:1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？2、生活問題數學化：如圖：梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？以下三組中，梯

2、子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？二、直角三角形的邊與角的關系（如圖，回答下列問題）RtAB1C1和RtAB2C2有什么關系?有什么關系？如果改變B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?由此你得出什么結論?三、例題：例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?例2、在ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、隨堂練習：1、如圖，ABC是等腰直角三角形，你能根據圖中所給數據求出tanC嗎?2、如圖，某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂的點B，已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度.(結果精確到0.001)3、若某人沿坡度i3：4的斜坡前

3、進10米，則他所在的位置比原來的位置升高_米.4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為，則tan_.5、如圖，RtABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結果保留根號) 五、課后練習：1、在RtABC中,C=90,AB=3,BC=1,則tanA= _.2、在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,則tanA=_.3、在ABC中,AB=AC=3,BC=4,則tanC=_.4、在RtABC中,C是直角,A、B、C的對邊分別是a、b、c,且a=24,

4、c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如圖,在菱形ABCD中,AEBC于E,EC=1,tanB=, 求菱形的邊長和四邊形AECD的周長.7、已知:如圖,斜坡AB的傾斜角a,且tan=,現有一小球從坡底A處以20cm/s 的速度向坡頂B處移動,則小球以多大的速度向上升高?8、探究: 、a克糖水中有b克糖(ab0),則糖的質量與糖水質量的比為_; 若再添加c克糖(c0),則糖的質量與糖水的質量的比為_.生活常識告訴我們: 添加的糖完全溶解后,糖水會更甜,請根據所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式: _. 、我們知道山坡的坡角越大,則坡越

5、陡,聯想到課本中的結論:tanA的值越大, 則坡越陡,我們會得到一個銳角逐漸變大時,它的正切值隨著這個角的變化而變化的規律,請你寫出這個規律:_. 、如圖,在RtABC中,B=90,AB=a,BC=b(ab),延長BA、BC,使AE=CD=c, 直線CA、DE交于點F,請運用(2) 中得到的規律并根據以上提供的幾何模型證明你提煉出的不等式.1.1從梯子的傾斜程度談起（第二課時）學習目標： 1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正弦和余弦的意義. 2.能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算. 4.理解銳角三角函數的意義.學習重點

6、： 1.理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，并能舉例說明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算.學習難點： 用函數的觀點理解正弦、余弦和正切.學習方法： 探索交流法.學習過程：一、正弦、余弦及三角函數的定義想一想：如圖(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系?(2) 有什么關系? 呢?(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結論?(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結論?請討論后回答.二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關系：三、例題：例1、如圖，在RtABC中

7、，B=90，AC200.sinA0.6，求BC的長.例2、做一做：如圖，在RtABC中，C=90，cosA，AC10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.四、隨堂練習：1、在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2、在ABC中，C90，sinA，BC=20，求ABC的周長和面積.3、在ABC中.C=90，若tanA=，則sinA= .4、已知：如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BC2ABBD.(用正弦、余弦函數的定義證明)五、課后練習：1、在RtABC中, C=90,tanA=,則sinB

8、=_,tanB=_.2、在RtABC中,C=90,AB=41,sinA=,則AC=_,BC=_.3、在ABC中,AB=AC=10,sinC=,則BC=_.4、在ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列結論正確的是( ) A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=5、如圖,在ABC中,C=90,sinA=,則等于( )A. B. C. D.6、RtABC中,C=90,已知cosA=,那么tanA等于( )A. B. C. D.7、在ABC中，C=90,BC=5,AB=13,則sinA的值是A B C D8、已知甲、乙兩坡的坡角分別為、, 若甲坡比乙坡更徒些, 則下

9、列結論正確的是( ) A.tantan B.sinsin; C.coscos9、如圖,在RtABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列線段的比中不等于sinA的是( ) A. B. C. D.10、某人沿傾斜角為的斜坡前進100m,則他上升的最大高度是( )m A. B.100sin C. D. 100cos11、如圖,分別求,的正弦,余弦,和正切.12、在ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC邊上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在RtABC中,BCA=90,CD是中線,BC=8,CD=5.求sinACD,cosACD和tanACD.14、在RtABC中,C=90,sinA和cosB

10、有什么關系?15、如圖,已知四邊形ABCD中,BC=CD=DB,ADB=90,cosABD=.求：sABD：sBCD1.2 30、45、60角的三角函數值學習目標： 1.經歷探索30、45、60角的三角函數值的過程，能夠進行有關的推理.進一步體會三角函數的意義. 2.能夠進行30、45、60角的三角函數值的計算. 3.能夠根據30、45、60的三角函數值說明相應的銳角的大小.學習重點： 1.探索30、45、60角的三角函數值. 2.能夠進行含30、45、60角的三角函數值的計算. 3.比較銳角三角函數值的大小.學習難點： 進一步體會三角函數的意義.學習方法： 自主探索法學習過程：一、問題引入問

11、題為了測量一棵大樹的高度，準備了如下測量工具：含30和60兩個銳角的三角尺；皮尺.請你設計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度.二、新課問題 1、觀察一副三角尺，其中有幾個銳角?它們分別等于多少度?問題 2、sin30等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.問題 3、cos30等于多少?tan30呢?問題 4、我們求出了30角的三個三角函數值，還有兩個特殊角45、60，它們的三角函數值分別是多少?你是如何得到的?結論：三角函數角度sincotan304560例1計算：(1)sin30+cos45； (2)sin260+cos260-tan45.例2一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m，當秋

12、千向兩邊擺動時，擺角恰好為60，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結果精確到0.01 m)三、隨堂練習1.計算：(1)sin60-tan45； (2)cos60+tan60；(3) sin45+sin60-2cos45； ；(+1)-1+2sin30-； (1+)0-1-sin301+()-1；sin60+； 2-3-(+)0-cos60-.2.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30.高為7 m，扶梯的長度是多少?3如圖為住宅區內的兩幢樓，它們的高ABCD=30 m，兩樓問的距離AC=24 m，現需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當太陽光與水平線的夾角為30時，

13、求甲樓的影子在乙樓上有多高?(精確到0.1 m，1.41，1.73)四、課后練習：1、RtABC中，則；2、在ABC中，若,，則，面積S ；3、在ABC中，AC：BC1：，AB6，B，ACBC4、等腰三角形底邊與底邊上的高的比是，則頂角為 （）（A）600 （B）900（C）1200（D）15005、有一個角是的直角三角形，斜邊為，則斜邊上的高為 （）（A） （B） （C） （D）6、在中，若，則tanA等于（ ） （A） （B） （C） （D）7、如果a是等邊三角形的一個內角，那么cosa的值等于（ ） （A） （B） （C） （D）18、某市在“舊城改造”中計劃內一塊如圖所示的三角形空地上

14、種植某種草皮以美化環境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要（ ） （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元9、計算：、 、 、 、 、tan60 、10、請設計一種方案計算tan15的值。1.4 船有觸礁的危險嗎學習目標： 1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的應用. 2.能夠把實際問題轉化為數學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數的計算，并能對結果的意義進行說明.學習重點： 1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用. 2.發展學生數學應用意識和解決問題的能力.學習難點： 根據題意

15、，了解有關術語，準確地畫出示意圖.學習方法： 探索發現法學習過程：一、問題引入：海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續往東航行，你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.二、解決問題：1、如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30，再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結果精確到1 m)2、某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40減至35，已知原樓梯長為4 m，調整后的樓梯會

16、加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.0l m)三、隨堂練習 1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且DB5 m，現再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?2.如圖,水庫大壩的截面是梯形ABCD.壩頂AD6m，坡長CD8m.坡底BC30m，ADC=135. (1)求ABC的大小： (2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結果精確到0.01 m3)3如圖，某貨船以20海里時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風中心正以40海里時的速度由A向北

17、偏西60方向移動，距臺風中心200海里的圓形區域(包括邊界)均受到影響. (1)問：B處是否會受到臺風的影響?請說明理由. (2)為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內卸完貨物?(供選用數據：1.4， 1.7)四、課后練習：1. 有一攔水壩是等腰樓形,它的上底是6米,下底是10米,高為2米,求此攔水壩斜坡的坡度和坡角.2.如圖,太陽光線與地面成60角,一棵大樹傾斜后與地面成36角, 這時測得大樹在地面上的影長約為10米,求大樹的長(精確到0.1米).3.如圖,公路MN和公路PQ在點P處交匯,且QPN=30,點A處有一所學校,AP=160米,假設拖拉機行駛時,周圍100米以內會受到噪聲的影響,

18、那么拖拉機在公路MN上沿PN的方向行駛時 ,學校是否會受到噪聲影響?請說明理由.4.如圖,某地為響應市政府“形象重于生命”的號召,在甲建筑物上從點A到點E掛一長為30米的宣傳條幅,在乙建筑物的頂部D點測得條幅頂端A點的仰角為40,測得條幅底端E的俯角為26,求甲、乙兩建筑物的水平距離BC的長(精確到0.1米).5.如圖,小山上有一座鐵塔AB,在D處測得點A的仰角為ADC=60,點B的仰角為BDC=45;在E處測得A的仰角為E=30,并測得DE=90米, 求小山高BC 和鐵塔高AB(精確到0.1米).6.某民航飛機在大連海域失事,為調查失事原因,決定派海軍潛水員打撈飛機上的黑匣子,如圖所示,一潛

19、水員在A處以每小時8海里的速度向正東方向劃行,在A處測得黑匣子B在北偏東60的方向,劃行半小時后到達C處,測得黑匣子B在北偏東30 的方向,在潛水員繼續向東劃行多少小時,距離黑匣子B最近,并求最近距離.7.以申辦2010年冬奧會,需改變哈爾濱市的交通狀況,在大直街拓寬工程中, 要伐掉一棵樹AB,在地面上事先劃定以B為圓心,半徑與AB等長的圓形危險區,現在某工人站在離B點3米遠的D處測得樹的頂點A的仰角為60,樹的底部B點的俯角為30, 如圖所示,問距離B點8米遠的保護物是否在危險區內?8.如圖,某學校為了改變辦學條件,計劃在甲教學樓的正北方21米處的一塊空地上(BD=21米),再建一幢與甲教學

20、等高的乙教學樓(甲教學樓的高AB=20米),設計要求冬至正午時,太陽光線必須照射到乙教學樓距地面5米高的二樓窗口處, 已知該地區冬至正午時太陽偏南,太陽光線與水平線夾角為30,試判斷: 計劃所建的乙教學樓是否符合設計要求?并說明理由.9.如圖,兩條帶子,帶子的寬度為2cm,帶子b的寬度為1cm,它們相交成角,如果重疊部分的面積為4cm2,求的度數.1.5 測量物體的高度1.下表是小明同學填寫活動報告的部分內容:課題在兩岸近似平行的河段上測量河寬測量目標圖示測得數據CAD=60,AB=30m,CBD=45,BDC=90請你根據以上的條件,計算出河寬CD(結果保留根號).2.下面是活動報告的一部分

21、, 請填寫“測得數據”和“計算”兩欄中未完成的部分.課題測量旗桿高測量示意圖測得數據測量項目第一次第二次平均值BD的長24.19m23.97m測傾器的高CD=1.23mCD=1.19m傾斜角a=3115a=3045a=31計算旗桿高AB(精確到0.1m)3.學習完本節內容后, 某校九年級數學老師布置一道利用測傾器測量學校旗桿高度的活動課題,下表是小明同學填寫的活動報告,請你根據有關測量數據, 求旗桿高AB(計算過程填在下表計算欄內,用計算器計算).活動報告課題利用測傾器測量學校旗桿的高測量示意圖測量數據BD的長BD=20.00m測傾器的高CD=1.21m傾斜角=28計算旗桿高AB的計算過程(精

22、確到0.1m)4.某市為促進本地經濟發展,計劃修建跨河大橋,需要測出河的寬度AB, 在河邊一座高度為300米的山頂觀測點D處測得點A,點B的俯角分別為=30,=60, 求河的寬度(精確到0.1米) 5.為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度, 學校數學應用實踐小組做了如下的探索: 實踐一:根據自然科學中光的反射定律,利用一面鏡子和一根皮尺, 設計如圖(1)的測量方案:把鏡子放在離樹(AB)8.7(米)的點E處,然后沿著直線BE 后退到點D,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE=2.7米,觀察者目高CD=1.6米,請你計算 樹AB的高度(精確到0.1米) 實踐二:提供選用的測量工具有:皮

23、尺一根;教學用三角板一副;長為2. 5米的標桿一根;高度為1.5米的測角儀一架,請根據你所設計的測量方案, 回答下列問題: (1)在你設計的方案中,選用的測量工具是_. (2)在圖(2)中畫出你的測量方案示意圖; (3)你需要測得示意圖中哪些數據,并分別用a,b,c,等表示測得的數據_. (4)寫出求樹高的算式:AB=_.6.在1:50000的地圖上,查得A點在300m的等高線上,B點在400m的等高線上, 在地圖上量得AB的長為2.5cm,若要在A、B之間建一條索道,那么纜索至少要多長? 它的傾斜角是多少?(說明:地圖上量得的AB的長,就是A,B兩點間的水平距離AB,由B向過A 且平行于地面

24、的平面作垂線,垂足為B,連接AB,則A即是纜索的傾斜角.)300350400AB7、為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數學應用實踐小組做了如下的探索：AB太陽光線CDE實踐一：根據自然科學中的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如右示意圖的測量方案：把鏡子放在離樹（AB）8.7米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這是恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.7米，觀察者目高CD=1.6米，請你計算樹（AB）的高度（精確到0.1米）AB實踐二：提供選用的測量工具有：皮尺一根；教學用三角板一副；長為2.5米的標桿一根；高度為1.5米的測角儀（能測量仰角、俯角的儀器）一架。請根據

25、你所設計的測量方案，回答下列問題：（1）在你設計的方案中，選用的測量工具是（用工 具的序號填寫） （2）在右圖中畫出你的測量方案示意圖；（3）你需要測得示意圖中的哪些數據，并分別用a、b、c、等表示測得的數據： （4）寫出求樹高的算式：AB= 第一章回顧與思考1、等腰三角形的一腰長為，底邊長為，則其底角為（ ）A B C D 2、某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內斜坡的坡度，壩外斜坡的坡度，則兩個坡角的和為 （ ）A B C D 3、如圖，在矩形ABCD中，DEAC于E，設ADE=，且, AB = 4, 則AD的長為（ ） （A）3 （B） （C） （D）4、在課外活動上，老師讓同學們做一個對角線

26、互相垂直的等腰梯形形狀的風箏，其面積為450，則對角線所用的竹條至少需（ ） （A） （B）30cm （C）60cm （D）5、如果是銳角，且，那么 6、如圖，在坡度為1：2的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6米，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是 米7、如圖,P是的邊OA上一點, 且P點坐標為(3,4),則= ,=_. 8、支離旗桿20米處的地方用測角儀測得旗桿頂的仰角為，如果測角儀高為1.5米那么旗桿的有為 米（用含的三角比表示）9、在Rt中AB，CM是斜邊AB上的中線，將沿直線CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好與AB垂直，那么A等于 度10、如圖，某公路路基橫斷面為等腰梯形.按工程設計要求路面寬度為10米，坡角為，路基高度為5.8米，求路基下底寬（精確到0.1米）. 11、“曙光中學”有一塊三角形形狀的花圃ABC，現可直接測量到AC = 40米，BC = 25米，請你求