1、南昌大學 20082009學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對于級數（a0），當a滿足條件時收斂.5. 函數展開成的冪級數為.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數在點處具有偏導數，,是函數在該點可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設，則（ ）（A） （B）（C） （D）4. 若級數在

2、處收斂，則此級數在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設平面通過點，而且通過直線，求該平面方程四、(本題滿分8分)設，其中具有二階連續偏導數，試求和五、(本題滿分8分)計算三重積分，其中六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分七、(本題滿分9分)計算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側八、(本題滿分9分)求冪級數的收斂域及和函數九、(本題滿分9分)求微分方程的通解十、(本題滿分11分)設是上半平面內的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為，記1證明

3、曲線積分與路徑無關；2求的值南昌大學 20082009學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對于級數（a0），當a滿足條件時收斂.5. 函數展開成的冪級數為.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數在點處具有偏導數，,是函數在該點可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設，則（ ）（A）

4、（B）（C） （D）4. 若級數在處收斂，則此級數在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設平面通過點，而且通過直線，求該平面方程解: 由于平面通過點及直線上的點， 因而向量平行于該平面。該平面的法向量為: 則平面方程為: 或： 即： 四、(本題滿分8分) 設，其中具有二階連續偏導數，試求和解: , 五、(本題滿分8分)計算三重積分，其中解: 六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分解法一: 解法二: （的弧長） 解法三: 令， 七、(本題滿分9分)計算曲面

5、積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側解: , 由高斯公式： 八、(本題滿分9分)求冪級數的收斂域及和函數解: 收斂半徑： 易判斷當時，原級數發散。 于是收斂域為 九、(本題滿分9分)求微分方程的通解解:特征方程為：特征根為：,的通解為：設原方程的一個特解為：, 原方程的一個特解為：故原方程的一個通解為： 十、(本題滿分11分)設是上半平面內的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為，記1證明曲線積分與路徑無關；2求的值證明1:因為上半平面是單連通域，在內： ，有連續偏導數，且： ，。 所以曲線積分與路徑無關。解2: 設，由于曲線積分與路徑無關，故可取折線路徑：。 南昌大學 20092010學

6、年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，若，則_.2. 空間曲線，在點處的切線方程是_.3. 計算積分_.4. 設級數收斂，發散，則級數必是_. 5. 函數展開成的冪級數為_. 二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 直線與平面的關系是 （ ）（A）直線在平面上 （B）直線與平面平行但直線不在平面上（C）直線與平面垂直 （D）直線與平面相交但不垂直2函數在點處可微分，則（ ） （A）在點處具有連續偏導數 （B）在點處不一定連續（C）存在 （D）在點的任一鄰域內有界3設，則= （ ）（A） （B）（C） （D）4若級數在處收斂，則此級數在處 （ ）（A

7、）斂散性不確定 （B）發散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5函數的極大值點為（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)求通過兩點和且垂直于平面的平面方程四、(本題滿分8分)設，其中具有二階連續偏導數，試求和五、(本題滿分8分)計算二重積分，其中是由圓周 所圍成的閉區域 六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中是直線從點到的直線段七、(本題滿分9分)計算曲面積分，其中是球面的外側八、(本題滿分9分)求微分方程的通解九、(本題滿分9分)求冪級數的收斂域及和函數十、(本題滿分11分)已知函數有（1）求、的值；（2）計算，其中為取正向南昌大學 20092010學年第二學期期末考試試卷

8、及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，若，則.2. 空間曲線，在點處的切線方程是.3. 計算積分.4. 設級數收斂，發散，則級數必是. 5. 函數展開成的冪級數為. 三、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 直線與平面的關系是 （ A ）（A）直線在平面上 （B）直線與平面平行但直線不在平面上（C）直線與平面垂直 （D）直線與平面相交但不垂直2函數在點處可微分，則（ C ） （A）在點處具有連續偏導數 （B）在點處不一定連續（C）存在 （D）在點的任一鄰域內有界3設，則= （ C ）（A） （B）（C） （D）4若級數在處收斂，則此級數在處 （ D ）（A）斂散性不

9、確定 （B）發散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5函數的極大值點為（ D ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)求通過兩點和且垂直于平面的平面方程解: 設已知平面法向量為，則， 取所求平面方程為即四、(本題滿分8分)設，其中具有二階連續偏導數，試求和解: 令 五、(本題滿分8分)計算二重積分，其中是由圓周 所圍成的閉區域 解: 六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中是直線從點到的直線段解: 七、(本題滿分9分)計算曲面積分，其中是球面的外側解: 八、(本題滿分9分)求微分方程的通解解: 先求的通解特征方程為，特征根，所以對應齊次方程的通解為又設非齊次方程的特解為，則，所以特

10、解為所以的通解為：九、(本題滿分9分)求冪級數的收斂域及和函數解: （1）當時，即時原級數絕對收斂當時，級數化為，發散當時，級數化為，發散所以收斂域為 （2）設的和函數為，則又，所以 十、(本題滿分11分)已知函數有（1）求、的值；（2）計算，其中為取正向解: （1），要使，所以，（2）南昌大學 20102011學年第二學期期末考試試卷一、填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，則 _.2. 設，則 _.3. 曲線繞軸旋轉一周得到的旋轉曲面方程為_.4. 交換積分次序為_.5. 將函數展開成的冪級數為_. 二、單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 下列論述正確的是（ ）（A）函數的

11、極值點必是的駐點；（B）函數的駐點必是的極值點；（C）可微函數的極值點必是的駐點； （D）可微函數的駐點必是的極值點2設 ，其中 具有二階連續導數，則 等于（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） 3設非齊次線性方程 有兩個不同的解 ， ， 為任意常數，則該方程的通解是（ ）（A） ；（B）；（C）；（D）4設有級數，則以下命題成立的是（ ）（A）若收斂，則收斂； （B）若收斂，則收斂；（C）若發散，則發散；（D）以上三個命題均是錯誤的5設：，；：， 則有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）三、計算題（一）(共24分，每小題6分)1、設，求， 2、判斷級數的斂散性3、求與兩條直線及都平

12、行且過點（3，-2，1）的平面方程4、設函數是由方程所確定的隱函數，求，四、計算題（二）(共21分，每小題7分)1、計算，其中為擺線的一拱， 2、計算，其中：是以點，為頂點的三角形正向邊界3、利用高斯公式計算曲面積分，其中為的上側五、解答題(共14分，每小題7分)1、求冪級數的收斂域及和函數2、設函數具有連續的二階導數，且曲線積分 與路徑無關，求函數六、應用題(本題滿分6分)求橢球面上點處的切平面與三個坐標面所圍成的立體的體積七、證明題(本題滿分5分)設級數和都收斂，且存在正整數，當時有，證明級數收斂南昌大學 20102011學年第二學期期末考試試卷及答案 一、填空題(每空 3 分，共 15

13、分)1. 設，則.2. 設，則.3. 曲線繞軸旋轉一周得到的旋轉曲面方程為.4. 交換積分次序為. 5. 將函數展開成的冪級數為. 二、單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 下列論述正確的是（ ）（A）函數的極值點必是的駐點；（B）函數的駐點必是的極值點；（C）可微函數的極值點必是的駐點； （D）可微函數的駐點必是的極值點2設 ，其中 具有二階連續導數，則 等于（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） 3設非齊次線性方程 有兩個不同的解 ， ， 為任意常數，則該方程的通解是（ ）（A） ；（B）；（C）；（D）4設有級數，則以下命題成立的是（ ）（A）若收斂，則收斂； （B）若收斂，則

14、收斂；（C）若發散，則發散；（D）以上三個命題均是錯誤的5設：，；：， 則有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）三、計算題（一）(共24分，每小題6分)1、設，求， 解: 2、判斷級數的斂散性解: 所以該級數收斂。3、求與兩條直線及都平行且過點（3，-2，1）的平面方程解: 設所求平面法向量為，又已知直線的方向向量分別為：，. 取，所以所求平面方程為：即.4、設函數是由方程所確定的隱函數，求，解: 設，則： ，所以，四、計算題（二）(共21分，每小題7分)1、計算，其中為擺線的一拱， 解: 2、計算，其中：是以點，為頂點的三角形正向邊界解: 直線段方程： ，直線段方程： 記折線段，所圍成區域為，由格林公式得： 3、利用高斯公式計算曲面積分，其中為的上側解: 記平面 為，取下側，由和所圍成閉區域為， 由高斯公式可得在平面： 上， 所以五、解答題(共14分，每小題7分)1、求冪級數的收斂域及和函數解: 所以收斂半徑當時，原級數化為，收斂當時，原級數化為，發散所以收斂域為設的和函數為，即， 于是，逐項求導得 上式從到積分，得：于是，當時，有：而 ， 故：2、設函數具有連續的二階導數，且曲線積分 與路徑無關，求函數解: ， 由于曲線積分與路徑無關，