1、第第6講講 直線、平面的相對關系直線、平面的相對關系1. 平行：直線與平面平行，兩平面平行；2. 相交：直線與平面相交，兩平面相交；3. 垂直：直線與平面垂直，兩平面垂直；4. 空間幾何元素的綜合解題；1. 直線與平面平行，兩平面平行直線與平面平行，兩平面平行直線與平面平行：直線與平面平行：若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。按平行投影性質進行作圖與判斷； 例例. . 過點作直線與已知三角形平面平行過點作直線與已知三角形平面平行 c a c b a b m

2、m n n 例例. . 判別直線與平面是否平行。判別直線與平面是否平行。 c a c b a b d d e e 直線與平面不平行直線與平面不平行 f f兩平面平行兩平面平行 若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行直線，則此兩平面平行EFDACB 例題例題5.3 5.3 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結論：兩平面平行結論：兩平面平行emnmnfefsrsrkk 例題例題5.4 5.4 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線ABAB和和CDCD給定。試過給定。試過點點K K作

3、一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。 例例.5 .5 判別平行直線與所確定的平面與平行判別平行直線與所確定的平面與平行直線和所決定的平面是否相互平行。直線和所決定的平面是否相互平行。 c a c b a b d d e e f kgg k f兩平面不平行兩平面不平行 h h2. 2. 直線與平面相交，兩平面相交直線與平面相交，兩平面相交直線與平面、平面與平面若不平行，則一定相交。直線與平面的交點是直線與平面的共有點；兩平面相交的交線直線，是兩平面的共有線。本章主要討論交點或交線的求法，以及投影中幾何元素重影部分可見性的判斷。1、特殊位置幾何元素參與相交 直線與特殊位置平面相交 投影面

4、垂直線與一般位置面相交 一般位置平面與特殊位置平面相交 兩特殊位置平面相交2、一般位置幾何元素相交 一般位置直線與一般位置的平面相交 兩個一般位置的平面相交 例例5.6 5.6 直線與特殊位置平面的交點直線與特殊位置平面的交點 c a c b a b e ef ff k k由于由于特殊位置特殊位置平平面的某個投影有面的某個投影有積聚性，交點可積聚性，交點可直接求出。直接求出。投影面垂直線與一般位置面相交投影面垂直線與一般位置面相交 例例5.7 5.7 求投影圖中直線求投影圖中直線EFEF與三角形與三角形ABCABC的交點的交點K K，并判別可見性。并判別可見性。一般位置平面與特殊位置平面相交一

5、般位置平面與特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf兩特殊位置平面相交兩特殊位置平面相交abcd a b c defg f e g一般位置直線與一般位置的平面相交一般位置直線與一般位置的平面相交 由于一般位置直線和一般位置平面的投影都沒有 積聚性，因此，求交點的時候沒有積聚性可以利用，因此通常采用輔助平面法求其交點，一般的步驟為： 1、作包含已知直線的特殊位置的平面（鉛垂面或正垂面）； 2、求輔助面與已知平面的交線； 3、求交線與已知直線的交點； A B C M N E F K R例例5.8 一般位置直線與一般位置平面的交點一般位置直線與一般位置平

6、面的交點PH兩個一般位置的平面相交兩個一般位置的平面相交求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題, 因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL 例例5.9 5.9 求兩平面的交線求兩平面的交線步驟：1用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。llnmmnPVQV1221kkee2連接兩個共有點，畫出交線KE。兩平面相交，判別可見性利利用用重重影影點點判判別別可可見見性性3 4 ( )3 4 21( )1 2 例例5-105-10求三角求三角形和三角

7、形和三角形兩平面形兩平面的交線。的交線。 在三角形在三角形中，邊線為側中，邊線為側垂線，故三角形垂線，故三角形為側垂面。為側垂面。分析：分析：（ ）3 3、直線與平面垂直，兩平面垂直；、直線與平面垂直，兩平面垂直； 1、直線與平面垂直幾何條件：若直線垂直于平面內二相交直線，則直線與平面垂直；若直線垂直于平面，則直線垂直于平面內所有直線； 2、兩平面垂直幾何條件：若直線垂直平面，包含此直線的所有平面均垂直于該平面；1 1、直線與平面垂直、直線與平面垂直幾何條件：幾何條件：1、若直線垂直于平面內二相交直線，則直線與平面垂直；2、若直線垂直于平面，則直線垂直于平面內所有直線；3、直線垂直平面，則直線

8、的三面投影分別垂直于該平面內平行線的相應投影；1、直線與平面垂直、直線與平面垂直 abc b ca A B CkkLKll正平線正平線水平線水平線直線與平面垂直直線與平面垂直llkkabcacb PV水平線水平線正平線正平線1.( ) 2.( ) 3.( )1.( ) 2.( ) 3.( )相交兩直線（幾何元素）表示的平面相交兩直線（幾何元素）表示的平面 例例5.11 5.11 判定下列圖中直線與平面的相對位置（從屬、判定下列圖中直線與平面的相對位置（從屬、平行、相交、垂直相交）平行、相交、垂直相交） 題解題解1. (1. (相交相交) ) 2. (2. (平行平行) ) 3. (3. (平行

9、平行) ) 例例5.12 5.12 判定下列圖中直線與平面的相對位置判定下列圖中直線與平面的相對位置 2 2、若直線垂直于平面，則直線垂直于平面內所有直線；、若直線垂直于平面，則直線垂直于平面內所有直線；3 3、直線垂直平面，則直線的三面投影分別垂直于該平面、直線垂直平面，則直線的三面投影分別垂直于該平面內平行線的相應投影；內平行線的相應投影；knkn 例題例題5.13 5.13 平面由平面由 BDFBDF給定，試過定點給定，試過定點K K作平面的法線。作平面的法線。acacnnkk 例例5.14 5.14 試過點試過點N N作一平面，使該平面與作一平面，使該平面與V V面的夾角為面的夾角為6

10、0 60 ，與，與H H面的夾角為面的夾角為45 45 。分析分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角角互為余角步驟：步驟：1. 作平面的法線作平面的法線2. 由法線作平面由法線作平面作圖過程作圖過程直徑任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnn2 2、兩平面垂直、兩平面垂直幾何條件：幾何條件：1、若直線垂直于平面，則包含直線的所有平面都垂直于該平面；2、若兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。3、反之，若屬于第一個平面的任意一

11、點向第二平面作的垂線不在第一平面上，則兩平面不垂直1 1、若直線垂直于平面，則包含直線的所有平面都垂直于、若直線垂直于平面，則包含直線的所有平面都垂直于該平面；該平面；AD2、若兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。3、反之，若屬于第一個平面的任意一點向第二平面作的垂線不在第一平面上，則兩平面不垂直兩平面垂直兩平面垂直兩平面不垂直兩平面不垂直g 例題例題5.15 5.15 平面由平面由 BDFBDF給定，試過定點給定，試過定點K K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。hacachg無窮解無窮解 例題例題5.16 5.16 試過定點試過定點A A作直線

12、與已知直線作直線與已知直線EFEF正交。正交。分析分析 過已知點過已知點A A作平面垂直于已知直線作平面垂直于已知直線EFEF，并交于點，并交于點K K，連接連接AKAK，AKAK即為所求。即為所求。EQFAK21aefafe1221PV12kk題解題解1、作直線的垂直面、作直線的垂直面2、作直線與垂直面的交點、作直線與垂直面的交點4 4、空間幾何元素的綜合解題、空間幾何元素的綜合解題根據已知的點、線、面等的幾何元素及其之間的相對位置的投影特性與圖示方法，解決幾何元素的定位關系（從屬、平行、相交、垂直等）與度量關系（距離，角度、實形）等圖解問題。綜合題解是包含需要滿足的多個要求來進行求解的題型

13、；解決步驟：解決步驟：1、明確題目的要求；2、進行空間綜合分析；3、確定解題的步驟；4、投影作圖求解；解決的方法：解決的方法：1、軌跡法依次求解滿足條件的軌跡，最后根據所求的軌跡的關系來確定解；2、逆推法；先假設所求結果已經滿足，發過來推斷得到該結果應具備的幾何條件，然后進一步分析這些條件與已知條件的關系，從而獲得求解途徑與方法； 例例5.17 5.17 如圖，過已知點如圖，過已知點A A作直線，使與已知直線作直線，使與已知直線CDCD垂直，垂直，并與已知平面并與已知平面EFGEFG平行。平行。efagdcfgeacd軌跡法分析軌跡法分析空間過A點與直線CD的垂直的直線有無數條，其軌跡線構成了過A點與CD垂直的