1、一、平面區域的概念一、平面區域的概念二、二元函數的概念二、二元函數的概念三、二元函數的極限三、二元函數的極限四、二元函數的連續性四、二元函數的連續性一、平面區域的概念一、平面區域的概念（1 1鄰域鄰域回憶回憶。且且是是兩兩個個實實數數與與設設0, a,叫叫做做這這鄰鄰域域的的中中心心點點a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 ),( axxaU的的稱稱為為點點數數集集aaxx ,鄰鄰域域 ),( aU記記作作),( axaxaU) ,( aaxa a a（1 1鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),( 2020 yyxxyx一、平面區域的概念一、平面區域的概念 :)( 00

2、PUP 的的去去心心鄰鄰域域點點 .)()(0| ),( )(20200 yyxxyxPU注：注：，有有時時也也可可用用點點集集的的鄰鄰域域點點)( 00PUP來描述，稱為方形鄰域。來描述，稱為方形鄰域。而前述領域稱為圓形鄰域。而前述領域稱為圓形鄰域。 .,| ),( 00 yyxxyxP0顯然，任何圓形鄰域內必顯然，任何圓形鄰域內必含方形鄰域，任何方形鄰含方形鄰域，任何方形鄰域內必含圓形鄰域。域內必含圓形鄰域。（2 2區域區域的的E E為為P P，則則稱稱E EU U( (P P) )使使得得U U( (P P) ), ,的的某某一一鄰鄰域域P P個個點點如如果果存存在在點點是是平平面面上上

3、的的一一P P是是平平面面上上的的一一個個點點集集，E E設設 .EE 的的內內點點屬屬于于EP 為為的的點點都都是是內內點點，則則稱稱如如果果點點集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集內點內點.（如下圖）（如下圖）內點：內點：開集：開集：開集開集.U(P)E=外點外點EP 是是，則則稱稱點點集集都都屬屬于于且且該該折折線線上上的的點點都都可可用用折折線線連連結結起起來來，內內任任何何兩兩點點，為為一一點點集集，如如果果對對于于設設EEEE 連通：連通：連通的連通的.開區域：連通的開集稱為區域或開區域開區域：連通的開集稱為區域或開區域.yx(x,y)|E41221 例

4、如，例如，xyo.0 , 0 | ),( yxyxD（不連通）（不連通）xoy的的為為），則則稱稱，也也可可以以不不屬屬于于屬屬于于本本身身可可以以點點的的點點點點，也也有有不不屬屬于于的的于于的的任任一一個個鄰鄰域域內內既既有有屬屬如如果果點點EPEEPEEP ( EP 的的邊邊界界的的邊邊界界點點的的全全體體稱稱為為EE邊界點：邊界點：邊界點邊界點.41),(221 yxyxE例如，例如，圓周x2+y2=1和x2+y2=4均為圓的邊界.41| ),(E222 yxyx例如，例如，xyo閉區域：閉區域：對于點集對于點集 E，如果存在正數，如果存在正數 K，使一切點，使一切點 PE 與某一點與

5、某一點O 間的距離間的距離 |OP| 不超過不超過 K，即，即KP O對于一切點對于一切點 PE 成立，則稱成立，則稱 E 為有界點集。為有界點集。否則稱為無界點集否則稱為無界點集.0| ),(E3 yxyx有界閉區域；有界閉區域；無界開區域無界開區域例如，例如，41| ),(E222 yxyxxyo（3 3聚點聚點設設 E是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個 點點，如如果果點點 P的的任任何何一一個個鄰鄰域域內內總總有有無無限限多多個個 點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P為為 E 的的聚聚點點. . （1 1內點一定是聚點；內點一定是聚點；（2 2邊界點

6、可能是聚點；邊界點可能是聚點；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是邊界點也是聚點既是邊界點也是聚點補充補充（3 3點集點集E E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E E，也可以不屬于，也可以不屬于E E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合（4 4n n 維空間維空間實數實數 x一一對應一一對應數軸點數軸點. 數組數組 (x, y)實數全體表示直線實數全體表示直線(一維空間一維空間)一一對應一一對應R平面點平面點(x, y)

7、全體表示平面全體表示平面(二維空間二維空間)2R數組數組 (x, y, z)一一對應一一對應空間點空間點(x, y, z) 全體表示空間全體表示空間(三維空間三維空間)3R推廣：推廣：n 維數組維數組 (x1, x2, , xn) 全體稱為全體稱為 n 維空間，記為維空間，記為.nRn 維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 設兩點為設兩點為特殊地，當特殊地，當 n =1, 2, 3n =1, 2, 3時，便為數軸、平面、空時，便為數軸、平面、空間兩間兩 點間的距離點間的距離n 維空間中鄰域概念：

8、維空間中鄰域概念： .,| ),(00nRPPPPPU 區域、內點、邊界點、區域、聚點等概念也可定義區域、內點、邊界點、區域、聚點等概念也可定義（1 1二元函數的定義二元函數的定義回憶回憶y 按按照照一一定定法法則則總總有有確確定定的的數數值值和和它它對對應應，則則稱稱 y 是是 設設x和和y是兩個變量。是兩個變量。D是一個給定是一個給定 的的數集數集，若對于每個數，若對于每個數Dx ，變量，變量 ).(xfy x 的的函數函數，記作，記作 ),(),( DyxyxfzzW 點集點集 D -定義域，定義域，- 值域值域.x、y -自變量，自變量，z -因變量因變量.二、二元函數的概念二、二元函

9、數的概念當當2 n時時，n元元函函數數統統稱稱為為多多元元函函數數. . 對對應應地地，函函數數)(xfy 稱稱為為一一元元函函數數. 類似地可定義三元及三元以上函數類似地可定義三元及三元以上函數定定義義 1 1 設設D是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點 DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定 的的值值和和它它對對應應，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數數， 記記為為 ),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 點集點集 D -定義域，定義域，- 值域值域.x、y -自變量，

10、自變量，z -因變量因變量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函數數也也可可記記為為、是是函數的兩個要素函數的兩個要素: :定義域、對應法則定義域、對應法則. .與一元函數相類似，對于定義域約定：與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集. .例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD （2 2二元函數二元函數 的圖形的圖形),(yxfz 設設函函數數),(yx

11、fz 的的定定義義域域為為D，對對于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，對對應應的的函函數數值值為為),(yxfz . . 以以x為為橫橫坐坐標標、y為為縱縱坐坐標標、z為為豎豎坐坐標標在在空空 間間就就確確定定一一點點),(zyxM，當當),(yx取取遍遍D上上一一切切 點點時時，得得一一個個空空間間點點集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數數的的圖圖形形. . （如下頁圖）（如下頁圖）二元函數的圖形通常是一張曲面二元函數的圖形通常是一張曲面. .xyzsin 例如例如, ,圖形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 例如例如, ,

12、右圖球面右圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :xyzo三、二元函數的極限三、二元函數的極限（4二重極限的幾何意義* 0， P0 的去心的去心 鄰域鄰域 U(P0, )。在U(P0, )內，函數),(yxfz 的圖形總在平面 Az及 Az之間。補充補充說明：說明：（1定義中 的方式是任意的；0PP （2二元函數的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數的極限運算法則與一元函數類似例例2 2 求證求證 證證. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx

13、 , 0 , 當當 時，時， 22) 0() 0(0yx.01sin)(2222 yxyx原結論成立例例3 3 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103120 例例4 4 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusi

14、nlim0, 1 2220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 注意： 是指 P 以任何方式趨于P0 .0PP,)(lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)y,(lim0AxfPP ) ). .0 0P P 以以某某種種方方式式趨趨于于 ( (P P )y,(AxfAxfyyxx )y,(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px軸軸沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py軸軸沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx

15、),(lim0000)(yxxky 例例5 5 設設解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值隨其值隨 k k 的不同而變化。的不同而變化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(lim00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx( (1 1) ) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趨趨向向于于),(000yxP， 若若極極限限值值與與k有有關關，則則可可斷斷

16、言言極極限限不不存存在在； (2) (2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 兩者不相等，此時也可斷言兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP 處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：又如又如,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41,)(),(24223yxyxy

17、xf 四、二元函數的連續性四、二元函數的連續性定義定義3 3（1二元函數連續的概念例例6 6 )0 , 0(y),( , 0 )0 , 0(y),( ,),(2233xxyxyxyxf討討論論二二元元函函數數. )0 , 0(處處的的連連續續性性在在點點利用極坐標變換，設x=cos,y=sin，那么解解 ),0 , 0( f0)cossin(lim)y, x( flim330)0 , 0()y , x( 所以函數在所以函數在0 0，0 0連續連續. .注意：二元函數可能在某些孤立點處間斷，也可能 在曲線上的所有點處均間斷。例如例如(1) (1) . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(

18、22yxyxyxxyyxf. )0 , 0(是是間間斷斷點點.),(2xyxyyxf 時，時，當當 2xy . ),(無定義無定義yxf因而，因而，的間斷點。的間斷點。上的所有點均是上的所有點均是 ),( 2yxfxy 例如例如(2) (2) 二元初等函數：二元初等函數： 由由x和和y的基本初等函數經過有限次的四則運算和的基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的二元函數叫復合步驟所構成的可用一個式子所表示的二元函數叫二元初等函數。二元初等函數。一切二元初等函數在其定義區域內是連續的定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域在定義區域內的連續點求極限可用在定義區域內的

19、連續點求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定定義義區區域域 PPfPfPP例7 求極限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是二元初等函數。定義域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD點點.D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不連通）（不連通）xoy例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00例例9 9* *. .求函數求函數222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4

20、222yx的連續域的連續域. .解解: :02 yx2yx 2oyx2補充補充（2閉區域上連續函數的性質在有界閉區域D上的二元連續函數，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界閉區域D上的二元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次定理1 最大值和最小值定理定理2 介值定理內容小結內容小結1. 1. 區域區域 鄰域鄰域 : :, ) ,(0PU) ,(0PU 區域區域連通的開集連通的開集2. 2. 二元函數概念二元函數概念二元函數二元函數)y,(xf ( (圖形一般為空間曲面圖形一般為空間曲面) )DP)(zPf 2R APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 PP有有)( APf3. 3. 二元函數的極限二元函數的極限4. 4. 二元函數的連續性二元函數的連續性1) 1) 函數函數連續在0)(PPf)()(lim00P