1、Field and Wave Electromagnetic電磁場與電磁波電磁場與電磁波2011.09.19作業情況作業情況1班：人班：人2班：人班：人合計：人合計：人情況情況:位置矢量位置矢量: :111xyzopx ay az a 111( ,)p x y zxxyyzzAA aA aA a xxyyzzA BA BA BA B 222xyyAA AAAA 任意矢量任意矢量 A:A:點積點積: :叉積叉積: : = xyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzxyzA BaA BABaABA BaA BA BaaaAAABBB 微分長度微分長度 : :xxyyzzxyzdldl adl ad

2、l adxadyadza微分體積微分體積 : :dvdxdydz微分面積微分面積: :sxxyyzzxyzdsdsaa dsa dsa dsa dydza dxdza dxdy1. 矢量及其運算、坐標系矢量及其運算、坐標系復習復習2. 標量場的梯度標量場的梯度3. 矢量場的散度矢量場的散度4. 散度定理散度定理ndVGradVVadn xyzVVVVaaaxyz0limSVA dSdivAV AA=yxzAAAdivxyz VSdivAdVA dS 5. 矢量場的旋度矢量場的旋度6. 旋度定理旋度定理0max1limnsCCurlAAaA dlS ()()SSCCurlAdSAdSA dl7.

3、 兩個零恒等式兩個零恒等式8. 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理()0V ifthen0EEV ()0 Aifthen0B BA 9. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理( )( )( ) F rrA rVSF(r)ntor and & FFFF10. 格林定理格林定理1( )( )d4VV F rA rrr1( )( )d4VV F rrrr式中式中第二章第二章 靜電場靜電場 主主 要要 內內 容容電場強度、電位、介質極化、場方程、邊界條件、能量與力電場強度、電位、介質極化、場方程、邊界條件、能量與力1. 電場強度電場強度2. 真空中靜電場方程真空中靜電場方程3. 電位與等位面電位與等位面

4、4. 介質極化介質極化5. 介質中的靜電場方程介質中的靜電場方程6. 兩種介質的邊界條件兩種介質的邊界條件7. 介質與導體的邊界條件介質與導體的邊界條件8. 電容電容9. 電場能量電場能量10. 電場力電場力Main topic 1. 電場強度電場強度2. 真空中的靜電場真空中的靜電場3. 電位與等位面電位與等位面1. 電場強度電場強度 電場對某點單位電場對某點單位正正電荷的作用力稱為該點的電荷的作用力稱為該點的電場電場強度強度，以以E 表示表示。 (V/m)FEq式中式中q 為試驗電荷的電量，為試驗電荷的電量，F 為電荷為電荷q 受到的作用力。受到的作用力。 電場強度通過任一曲面的通量稱為電

5、場強度通過任一曲面的通量稱為電通電通，以以 表示，即表示，即 dSES電通的大小與電場強度電通的大小與電場強度E及面元及面元dS的方向的方向有關，它可以有關，它可以大于大于零、零、小于小于零或零或等于等于零。零。d0El電場線電場線方程方程電場管電場管帶電帶電平行平行板板 負負電荷電荷 正正電荷電荷 幾種典型的幾種典型的電場線電場線分布分布電場線的電場線的疏密程度疏密程度可以顯示電場強度的可以顯示電場強度的大小大小。 2. 真空中靜電場方程真空中靜電場方程 實驗表明，真空中靜電場的電場強度實驗表明，真空中靜電場的電場強度 E 滿足滿足下列兩個積分形式的方程下列兩個積分形式的方程 0 dqSES

6、 d0lEl式中式中0 為真空介電常數。為真空介電常數。F/m)(10361m)/F(10854187817. 89120此式表明，真空中靜電場的電場強度沿此式表明，真空中靜電場的電場強度沿任一任一條閉條閉合曲線的合曲線的環量環量為零。為零。 0 dqSES d0lEl此式稱為高斯定此式稱為高斯定律律。它表明真空中靜電場的電場。它表明真空中靜電場的電場強度通過任一強度通過任一封閉封閉曲面的曲面的電通電通等于該封閉曲面所等于該封閉曲面所包圍的包圍的電荷量電荷量與真空介電常數與真空介電常數之比之比。 根據上面兩式可以求出電場強度的根據上面兩式可以求出電場強度的散度散度及及旋度旋度分別為分別為0E0

7、E左式左式表明，真空中靜電場的電場強度在某表明，真空中靜電場的電場強度在某點點的散度的散度等于該點的等于該點的電荷體密度電荷體密度與真空介電常數與真空介電常數之比之比。右式右式表明，表明，真空中靜電場的電場強度的旋度真空中靜電場的電場強度的旋度處處處處為零為零。 0 dqSES d0lEl真空中靜電場是真空中靜電場是有散無旋有散無旋場。場。()SCAdSA dlVSAdVA dS 已知靜電場的電場強度的散度及旋度以后，根已知靜電場的電場強度的散度及旋度以后，根據據亥姆霍茲亥姆霍茲定理，電場強度定理，電場強度E 應為應為 AE 1( )( ) d41( )( ) d4VVVV AE rr|rr

8、|E rr|rr |xPzyrOVd)(rrrr 01( )( )d4VVrr|rr |( )0A r求得求得 E因此因此 標量函數標量函數 稱為稱為電位電位。因此，上式表明真空。因此，上式表明真空中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的負負值。值。0E0E已知已知 1( )( ) d41( )( ) d4VVVV AE rr|rr |E rr|rr | E 按照國家標準，電位以按照國家標準，電位以小寫小寫希臘字母希臘字母 表示，上式應寫為表示，上式應寫為 將電位表達式代入，求得將電位表達式代入，求得電場強度電場強度與與電荷電荷密度密度的關系為的關系

9、為30( )()( )d4VVrrE rrrrxPzyrOVd)(rrrr3311RRRRRR 01( )( )d4VVrr|rr | 若電荷分布在一個有限的若電荷分布在一個有限的表面表面上，或者分布在一上，或者分布在一個有限的個有限的線段線段內，那么可以類推獲知此時電位及電場內，那么可以類推獲知此時電位及電場強度與電荷的強度與電荷的面密度面密度 S 及及線密度線密度l 的關系分別為的關系分別為 0( )1( )d4|SSSrrrr |3 0( )()1( )d4|SSSr rE rrrr |0( )1( )d4lllrr|rr |3 0( )()1( )d4|lllr rE rrrr |（1

10、 1）高斯定律中的電荷量高斯定律中的電荷量q 應理解為封閉面應理解為封閉面 S 所包所包圍的圍的全部全部正負電荷的總和。正負電荷的總和。 靜電場幾個重要特性靜電場幾個重要特性（2）靜電場的靜電場的電場線電場線是不可能閉合的是不可能閉合的 ，而且也不，而且也不可能相交。可能相交。（3）任意兩點之間電場強度任意兩點之間電場強度 E 的的線積分與路徑無線積分與路徑無關，它是一種關，它是一種保守場保守場。 0E0E 0 dqSES d0lEl（4）若若電荷分布電荷分布已知已知，計算靜電場的三種方法是，計算靜電場的三種方法是，直接根據直接根據電荷電荷分布計算電場強度分布計算電場強度通過通過電位電位求出電

11、場強度求出電場強度利用利用高斯定律高斯定律計算電場強度計算電場強度例例1 計算計算點電荷點電荷的電場強度。的電場強度。 利用高斯定律求解。取中心利用高斯定律求解。取中心位于點電荷的球面為位于點電荷的球面為高斯面高斯面，得，得 0dSqES上式左端上式左端積分為為 2n d dd4SSSeE Sr EESES得得204rqEr204qreE或或 xzy高斯面高斯面 也可通過電位計算點電荷產生的電場強度。當也可通過電位計算點電荷產生的電場強度。當點電荷位于坐標原點時，點電荷位于坐標原點時， 。那么點電荷的。那么點電荷的電位為電位為| rrr0( )4qrr200144rqqrr eE求得電場強度求

12、得電場強度 E 為為 22 00( )d44rrVqVrreerE若直接根據電場強度公式，同樣求得電場強度若直接根據電場強度公式，同樣求得電場強度E 為為 例例2 計算計算電偶極子電偶極子的電場強度。的電場強度。 由于電位及電場強度均與電由于電位及電場強度均與電荷量的荷量的一次方一次方成正比。因此，可成正比。因此，可以利用以利用疊加原理疊加原理計算多種分布電計算多種分布電荷產生的電位和電場強度。那么，荷產生的電位和電場強度。那么，電偶極子產生的電位應為電偶極子產生的電位應為 rrrrqrqrq000444xq+qzylrrr+O 若若觀察距離遠大于間距觀察距離遠大于間距 l ，則可認為則可認為

13、 , , ，那么，那么/rree/rreecoslrr2cos2cos2rlrlrrrxq+qzylrrr+O式中式中l 的方向規定由的方向規定由負負電荷指向電荷指向正正電荷。電荷。2200cos()44rqqllrre求得求得乘積乘積 q l 稱為電偶極子的稱為電偶極子的電矩電矩，以，以 p 表示，即表示，即qpl2200cos44prrrep那么電偶極子產生的那么電偶極子產生的電位電位可用電矩可用電矩 p 表示為表示為 3300cossin24rpprrEee已知已知 ，求得電偶極子的，求得電偶極子的電場強度電場強度為為 E可見電偶極子的可見電偶極子的 ， ，而且兩者均與方位，而且兩者均與

14、方位角角 有關。有關。21r31Er電偶極子的電場線和等位線電偶極子的電場線和等位線 例例3 設半徑為設半徑為a，電荷體密度為，電荷體密度為 的的無限長無限長圓柱圓柱帶電體位于真空，計算該帶電體位于真空，計算該帶電圓柱帶電圓柱內外的電場強度。內外的電場強度。 xzyaLS1 選取選取圓柱圓柱坐標系，由于場量與坐標系，由于場量與 z 坐標無關，且坐標無關，且上下對稱上下對稱，因此電，因此電場強度一定場強度一定垂直垂直于于 z 軸。再考慮到軸。再考慮到圓柱結構具有圓柱結構具有旋轉對稱旋轉對稱的特點，場的特點，場強一定與角度強一定與角度 無關。無關。 因此，可以利用因此，可以利用高斯定律高斯定律求解

15、。求解。 取半徑為取半徑為 r ，長度為，長度為 L 的圓的圓柱面與其上下端面構成柱面與其上下端面構成高斯面高斯面。應用高斯定律，得應用高斯定律，得 0dSqESxzyaLS1 因電場強度方向處處與圓柱側面因電場強度方向處處與圓柱側面S1的外法線方向的外法線方向一致一致，而與上下端面的外法線方向，而與上下端面的外法線方向垂直垂直，因此上式，因此上式左端的面積分為左端的面積分為11 ddd2SSSE SESrLEES 當當 r a 時，則電量時，則電量q 為為 , , 求得求得電場強度為電場強度為 Laq2202rareE a2 可以認為是可以認為是單位長度單位長度內的電荷量。那么，內的電荷量。

16、那么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為a2 的線電荷產生的電場。的線電荷產生的電場。02lrreE因此線密度為因此線密度為 的的無限長線電荷無限長線電荷的電場強度為的電場強度為l 由上可見，對于無限長圓柱體分布電荷，利用由上可見，對于無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計算其電場強度是十分高斯定律計算其電場強度是十分簡便簡便的。若根據電的。若根據電荷分布直接積分計算電位或電場強度，顯然荷分布直接積分計算電位或電場強度，顯然不易不易。 xzyr21rOrrzdzrzere),2,(zrP 例例4 求長度為求長度為L，線密度為，線密度為 的均勻的均勻線分布

17、線分布電荷電荷的電場強度。的電場強度。l 令圓柱坐標系的令圓柱坐標系的 z 軸與線軸與線電荷的長度方位一致，且中點電荷的長度方位一致，且中點為坐標原點。由于結構為坐標原點。由于結構旋轉對旋轉對稱稱，場強與方位角，場強與方位角 無關。無關。 因為電場強度的方向無法因為電場強度的方向無法判斷，判斷，不能不能應用高斯定律，必應用高斯定律，必須直接求積。須直接求積。 因場量與因場量與 無關，為了方無關，為了方便起見，可令觀察點便起見，可令觀察點P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 2 23 02d4LLllrrE|rr |xzyr21rOrrzdzrzere),2,(zrP考慮到考慮到2|c

18、sccsc (cossin )cotdcsc dzrrrazz rzr ee r -r |rr21 222 0cossincsc d4cscarzarreelE求得求得21210(sinsin)(coscos)4lzrree當長度當長度 L 時，時，1 0，2 ，則，則00242lrrreelE此結果與此結果與例例3 完全相同。完全相同。 3. 電位與等位面電位與等位面 電位的物理意義是電位的物理意義是單位正單位正電荷在電荷在電場力電場力的作用的作用下，自該點沿下，自該點沿任一條任一條路徑移至無限遠處過程中電場路徑移至無限遠處過程中電場力作的力作的功功。 這里所說的電位實際上是該點與無限遠處之

19、間這里所說的電位實際上是該點與無限遠處之間的電位差，或者說是以的電位差，或者說是以無限遠無限遠處作為處作為參考點參考點的電位。的電位。任取一點任取一點可以作為電位參考點。可以作為電位參考點。 當電荷分布在當電荷分布在有限有限區域時，通常選擇無限遠處區域時，通常選擇無限遠處作為電位參考點，因為此時無限遠處的電位為作為電位參考點，因為此時無限遠處的電位為零零。qW電位的數學表示電位的數學表示式中式中q 為電荷量，為電荷量，W 為電場力將電荷為電場力將電荷 q 推到無限遠推到無限遠處所作的功。處所作的功。 電位的參考點不同，某點電位的值也不同。但電位的參考點不同，某點電位的值也不同。但是，任意兩點之間的電位差與電位參考點無關，因是，任意兩點之間的電位差與電位參考點無關，因此此電位參考點的選擇不會影響電場強度的值電位參考點的