1、 9期 孫玉寶等: 基于前向后向算子分裂的稀疏性正則化圖像超分辨率算法 1237 (a 目標函數值比率的衰減圖形 (a The plot of ratio of objective function value (b 目標解相對誤差的衰減圖形 (b The plot of relative error Fig 4 圖 4 針對兩幅不同圖像 (Women、 Infrared person, 本文前向后向數值算法的收斂性圖形 The plots of ratio of objective function value and relative error as a function of iter

2、ation number (Women, Infrared person 表1 Table 1 Image Women Women Infrared person Infrared person SRSR 與 TVSR 算法性能與運行時間的定量比較 The reconstruction results and run-time of SRSR and TVSR algorithms Algorithm TVSR SRSR TVSR SRSR Iteration 400 20 400 20 Time (s 530.9844 37.1406 512.9688 37.1094 PSNR 29.529

3、1 32.5781 31.8422 36.2771 ReErr 0.0035 0.0018 0.0102 0.0037 4 結論與展望 利用圖像在框架下的稀疏表示模型, 本文提出 了稀疏性正則化的圖像超分辨模型 (SRSR, 能夠有 效保持超分率重建圖像的幾何結構, 同時采用前向 后向的算法子分裂法能夠有效降低數值算法的復雜 度. 然而, 圖像是復雜信號, 單一框架 (字典 并不能 稀疏表示其中的多種結構成份, 從而不利于 SR 重 建, 因此字典中應包含多種結構類型的子字典, 但多 個子字典級聯組合而成的多成份字典并不存在相應 的快速分解與重構算法, 如何解決此矛盾是一個關 鍵, 作者已經在

4、著手于該算法的研究, 將在隨后的論 文中作進一步探討. 附錄 A 定理 1 的證明 證明. 令 = l2 (I, ei iI 為 l2 (I 的標準正交基, 則 變分模型 (8 可改寫為 1 min 2 m m f1 = U U , 其中 = k=1 Hk (Hk gk . 記模型 (7 解的集合為 S. 由凸分析理論中算子運算的基本 性質11 , 可作如下推導: S 0 (f1 + f2 ( = f2 ( + f1 ( f1 ( f2 ( ( f1 ( f2 ( = prox,f2 ( f1 ( = prox,f2 ( (U U ( (iI = prox,f2 (i i iI 由文獻 8 中

5、例 2.19 (ii, 上式可進一步表示為: (iI = (prox,i (i i iI , 記 T = prox, f2 (I , 上述公 式表明 (i iI 為變分模型 (8 的解當且僅當 = T , 由此 第二個命題也自然成立. 從而, 命題得證. Hk U k=1 2 gk 2 + iI i ( , ei 附錄 B 定理 2 的證明 m 2 證明. 記 Tk = Hk U , f1 = 1 k=1 Tk gk 2 , 2 f2 = iI i (i , 由問題假設 Tk 為有界線性算子, 因此 m f1 0 (H, 并且可微, f1 = k=1 Tk (Tk gk , 其中 根 據 模

6、型 (8 對 函 數 的 i iI 的 假 設, 由 文 獻 8 中 例 2.19 (i, 可 知 f2 = iI i ( , ei 0 (R. 由 于 Hk 1kK : H H , U : H 皆 為 線 性 有 界 算 子, 0 (R 且 為 有 限 函 數, 則 f1 0 (R, 并 且 1238 自 動 化 學 報 36 卷 Tk 為 Tk 的共軛算子. 根據 Lipschitz 連續的定義: f1 (x f2 (y = m k=1 m k=1 m k=1 Tk Tk (x y 12 Chen H G. Forward-Backward Splitting Techniques: Th

7、eory and Applications Ph. D. dissertation, University of Washington, USA, 1994 13 Combettes P L. Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators. Optimization, 2004, 53(5-6: 475504 Tk Tk (x y Tk Tk xy , (x, y H2 因 此, f1 為 Lipschitz 連 續, 且 Lipschitz 常 數 為 = m k=1 Tk Tk

8、 . 進一步, 由文獻 12 中引理 2.10.2, (f1 1 是模數為 1/ 的強單調算子. 令算子 T1 = f1 , T2 = f2 , 式 (13 即為前向后向后算子分裂算法應用于算子 T1 , T2 時 的不動點迭代公式. 由問題假設, 依據文獻 13 中推論 6.5, 滿足其收斂性條件, 從而序列 k 能夠收斂于凸變分問題 (7 的某一最優解. 孫玉寶 南京理工大學博士研究生. 主 要研究方向為圖像建模與稀疏表示, 圖 像壓縮與通信. E-mail: syb8692833 (SUN Yu-Bao Ph. D. candidate at the School of Computer

9、 Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology. His research interest covers image modeling and sparse representation, image compression and communication. 費 選 南京理工大學博士研究生. 主要 研究方向為圖像壓縮與質量評價, 分布 式信源編碼. E-mail: feixuan (FEI Xuan Ph. D. candidate at the School of Computer Scienc

10、e and Technology, Nanjing University of Science and Technology. His research interest covers image compression and quality assessment, and distributed source coding. 韋志輝 教授, 博士. 主要研究方向為圖 像處理, 圖像建模, 小波分析, 多尺度變 換理論, 數字水印, 編碼與壓縮. 本文通 信作者. E-mail: gswei (WEI Zhi-Hui Professor, Ph. D. His research intere

11、st covers image processing, image modeling, wavelet analysis, multi-scale analysis, digital watermark, and image coding and compressing. Corresponding author of this paper. 肖 亮 副教授, 博士. 主要研究方向為 變分偏微分方程在圖像處理中的應用, 圖像建模, 模式識別, 運動估計與跟蹤, 虛擬現實與系統仿真. E-mail: xtxiaoliang (XIAO Liang Associate professor, Ph.

12、 D. His research interest covers variational partial dierential equations application in image processing, image modeling, pattern recognition, motion estimation and tracking, virtual reality and system simulation. References 1 Ng M K, Bose N K. Mathematical analysis of superresolution methodology.

13、IEEE Signal Processing Magazine, 2003, 20(3: 6274 2 Rudin L I, Osher S, Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1992, 60(1-4: 259268 3 Capel D, Zisserman A. Super-resolution enhancement of text image sequences. In: Proceedings of the 15th I

14、nternational Conference on Pattern Recognition. Washington D. C., USA: IEEE, 2000. 600605 4 Ng M K, Shen H F, Lam E Y, Zhang L P. A total variation regularization based super-resolution reconstruction algorithm for digital video. EURASIP Journal on Applied in Signal Processing, 2007, 2007: 116 5 Pro

15、tter M, Elad M. Image sequence denoising via sparse and redundant representations. IEEE Transactions on Image Processing, 2009, 18(1: 2735 6 Chaux C, Combettes P L, Pesquet J C, Wajs V R. A variational formulation for frame-based inverse problems. Inverse Problems, 2007, 23(6: 14951518 7 Lian Qiu-Sh

16、eng, Chen Shu-Zhen. Image reconstruction for compressed sensing based on the combined sparse image representation. Acta Automatica Sinica, 2010, 36(3: 385391 (練秋生, 陳書貞. 基于混合基稀疏圖像表示的壓縮傳感圖像重構. 自動化學報, 2010, 36(3: 385391 8 Combettes P L, Wajs V R. Signal recovery by proximal forward-backward splitting. Multiscale Modeling and Simulation, 2006, 4(4: 11681200 9 Candcs E J, Donoho D L. New tight frames of curvelets and optimal representation of objects with piecewise C 2 singularities. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2004, 57(2: 219266 10 Elad M, Hel-O