1、三、傅立葉變換的基本性質三、傅立葉變換的基本性質1.線性線性2.奇偶性奇偶性3.對偶性對偶性4.尺度變換特性尺度變換特性5.時移特性時移特性6.頻移特性頻移特性7.微分特性微分特性8.積分特性積分特性9.帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理10.卷積定理卷積定理傅里葉變換使任一信號可以有兩種描述形式：時域描述和頻域描述。傅里葉變換使任一信號可以有兩種描述形式：時域描述和頻域描述。為了進一步了解信號的這兩種描述形式之間的相互關系，如為了進一步了解信號的這兩種描述形式之間的相互關系，如:信號的時域特性在頻域中如何對應信號的時域特性在頻域中如何對應，在頻域中的一些運算在時域中會引起什么效應在頻域中的一些運算在時

2、域中會引起什么效應，等等，等等，必須討論傅立葉變換的一些重要性質。必須討論傅立葉變換的一些重要性質。另外，很多性質對簡化傅立葉變換或反變換的求取也很有用另外，很多性質對簡化傅立葉變換或反變換的求取也很有用)()()()(2211XtxXtx)()()()(22112211XaXatxatxa1、線性（疊加性）、線性（疊加性）若:則:例：求例：求x(t)的傅立葉變換的傅立葉變換( )x t2212t22( ) ()() ()()x tu tu tu tu t()(/ 2)2()XSaSa已知矩形脈沖信號的傅立葉變換為：1()(/ 2)XE Sa利用線性性質可得：2、 奇偶性奇偶性無論無論x(t)

3、是實函數還是復函數是實函數還是復函數，都有下面結論：*( )()Fx tX ( )( )Fx tX 若:則:（2-85）的含義為：（2-85）時域共軛時域共軛對應對應頻域共軛并且反摺頻域共軛并且反摺證明：由傅立葉變換定義式證明：由傅立葉變換定義式dtetxXtj)()(dtetxdtetxXtjtj)()()(*取共軛取共軛*()( )( )j tXx t edtF x t以以代替代替對于對于x(t)是實函數的特殊情況，是實函數的特殊情況，則有下面結論：則有下面結論： 由于：*( )( )x tx t再根據（2-85）*( )()Fx tX 可以得：*( )()XX*( )()XX等價為：（2

4、-86）（2-86）的含義為：實函數的傅立葉變換具有共軛對稱性實函數的傅立葉變換具有共軛對稱性 由傅里葉變換的定義，有由傅里葉變換的定義，有( )( )( )cos( )sinj tXx tedtx ttdtjx ttdt顯然：頻譜函數的實部和虛部分別為顯然：頻譜函數的實部和虛部分別為 ：Re( )( )cosx ttdtIm( )( )sinx ttdt（2-87） 22arctanXRIIR 頻譜函數的幅度和相位分別為頻譜函數的幅度和相位分別為（2-88）下面討論，下面討論，當當 為：為：1）實函數）實函數 ；2）實偶函數；）實偶函數； 3）實奇函數）實奇函數的情況下，的情況下， 的奇偶、

5、虛實特性的奇偶、虛實特性( )x t( )X1）當）當 為為實實函數的情況下函數的情況下( )x tRe( )( )cosx ttdtIm( )( )sinx ttdt由：由：可知：可知：Re()Re( )Im()Im( ) 22arctanIXRIR 可知：可知： XX 由：由：即：當即：當 為實函數，為實函數， 其頻譜函數的其頻譜函數的實部為偶實部為偶函數函數 其頻譜函數的其頻譜函數的虛部為奇虛部為奇函數函數( )x t即：當即：當 為實函數，為實函數， 其頻譜函數的其頻譜函數的幅度為偶幅度為偶函數函數 其頻譜函數的其頻譜函數的相位為奇相位為奇函數函數( )x t2）當）當 為為實偶實偶函

6、數的情況下函數的情況下( )x tRe( )( )cosx ttdtIm( )( )sinx ttdt由：由：可知：可知：Im( )0偶奇( )Re( )X即：當即：當 為為實偶實偶函數，函數， 其頻譜函數為其頻譜函數為實函數實函數( )x t加上前面關于實函數情況的結論，綜合得到：加上前面關于實函數情況的結論，綜合得到：當當 為為實偶實偶函數，函數， 其頻譜函數為其頻譜函數為實偶函數實偶函數( )x t( )()tx tet 222()X0)( x(t)( )X0t0實偶函數實偶函數實偶函數實偶函數例：例：3）當）當 為為實奇實奇函數的情況下函數的情況下( )x tRe( )( )cosx

7、ttdtIm( )( )sinx ttdt由：由：可知：可知：Re( )0奇偶( )Im( )X即：當即：當 為為實奇實奇函數，函數， 其頻譜函數為其頻譜函數為虛函數虛函數( )x t加上前面關于實函數情況的結論，綜合得到：加上前面關于實函數情況的結論，綜合得到：當當 為為實奇實奇函數，函數， 其頻譜函數為其頻譜函數為虛奇函數虛奇函數( )x t(0)( )(0)atatetx tet222()jX x(t)0( )Xjt例：例：實奇函數實奇函數虛奇函數虛奇函數3、對偶性、對偶性若若 則則證明：由傅立葉反變換式證明：由傅立葉反變換式 Xtx)( )(2xtXdeXtxtj)(21)(deXtx

8、tj)(21)(dtetXxtj)(21)(自變量自變量t變成變成-t將將t和和互換互換2()( )j txX t edtdtetXxtj)(21)(含義：對 進行傅里葉變換，所得頻譜函數為 ( )X t2()x例：)(2)(t111( )x t( )Xtt例2-10 求取樣函數 的傅立葉變換sin( )tSa tt解：由式(2-62)可知，寬度為，幅度為E 的矩形脈沖信號 的傅立葉變換為 ( )()2F g tE Sa若取 , ，則1/ 2E 2 ( )( )F g tSa由對偶性，得： 11( )2( )0F Sa tgotherwise ( )g t( )( )XSa11( )Sa t2

9、( )gt1/211000t1014、尺度變換特性、尺度變換特性 ( )Fx tX aXaatx1)(若則證明略，（p48）含義：在時域上將信號 壓縮到 倍，則在頻域上其頻譜擴展 倍，同時幅度相應地減小到 倍。( )x t1/ aa1/ a也就是說，信號波形在時域的壓縮意味著在頻域中信號頻帶的展寬；反之，信號波形在時域的擴展，意味著頻域中信號頻帶的壓縮時域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮）時域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮） x(t/2)0t2(2 )X20(2 )xt04/4/t12()2X244壓縮擴展110圖2-50表示了單位矩形脈沖信號尺度變換( )前后的時域波形及其頻譜

10、。3a 2-505、時移特性、時移特性 ( )Fx tX 00()j tFx tteX 若若:則則:信號在時域中沿時間軸右移（或左移）信號在時域中沿時間軸右移（或左移） 則在頻域中，信號的幅度頻譜不變，而相位頻譜產生則在頻域中，信號的幅度頻譜不變，而相位頻譜產生 (或或 )的變化。的變化。(2-92)式（式（2-92）的含義為：）的含義為：0t0t0t例例2-11 求圖求圖2-46(a)表示的信號的頻譜。表示的信號的頻譜。解解: (a) 可看成是可看成是(b)和和(c)所示的信號的組合所示的信號的組合(a) (b) (c) 12155( )()()222x tx tx t的頻譜函數分別為：的頻

11、譜函數分別為：12( ),( )x tx t1( )()2XSa23( )3()2XSa由線性和時移特性，有由線性和時移特性，有:55522212113( )( )( )()3()2222jjjXeXeXeSaSa例：求三脈沖信號的頻譜例：求三脈沖信號的頻譜( )( )()()x tg tg tTg tT()()(1)()(12 cos)()(12 cos)2jTjTXGeeGTESaT求如下三脈沖信號的頻譜函數 為P36頁的標準矩形脈沖信號( )g t解：解：6、頻移特性、頻移特性000 ( )( )()jtjtjtF x t ex t eedtX00 ( )()jtF x t eX Xtx

12、)(00)(Xetxtj若若:則則:證明：由傅立葉變換定義證明：由傅立葉變換定義同理有同理有 (2-94)(2-94)的含義為：的含義為：在時域將信號乘以因子在時域將信號乘以因子 ，對應于在頻域將原信號的頻，對應于在頻域將原信號的頻譜右移譜右移 ，即往高頻段平移，即往高頻段平移tje000在時域將信號乘以因子在時域將信號乘以因子 ，對應于在頻域將原信號的頻，對應于在頻域將原信號的頻譜左移譜左移 ，即往低頻段平移，即往低頻段平移0jte00頻譜搬移頻譜搬移這種頻譜搬移，就是通信工程中常用的幅度調制技術的理論本質這種頻譜搬移，就是通信工程中常用的幅度調制技術的理論本質 幅度調制技術簡稱調幅技術，即

13、：將幅度調制技術簡稱調幅技術，即：將被調制信號被調制信號 乘以正弦乘以正弦信號信號 (常稱常稱載波信號載波信號)，得到，得到調制信號：調制信號：0cost( )x t0( )cosx tt0001 ( )cos()()2F x ttXX其頻譜函數為：其頻譜函數為：原頻譜原頻譜 一分為二，各向左、右移動一分為二，各向左、右移動 ，在，在移動過程中幅度譜的形式保持不變。移動過程中幅度譜的形式保持不變。()X0舉例說明其體現在頻譜圖上的效果舉例說明其體現在頻譜圖上的效果( )()2GSa00()()( )()()2222XSaSa 為什么要對信號進行調制？為什么要對信號進行調制？ Xtx)( Xjd

14、ttxdnnn)(7、微分特性若若:則則:證明：由傅立葉反變換定義證明：由傅立葉反變換定義deXtxtj)(21)(兩邊對兩邊對t求導，有：求導，有：( )1( )2j tdx tXjeddt 以此類推，有：以此類推，有： Xjdttxdnnn)( )( )dx tFjXdt所以有：所以有：例：求三角脈沖的頻譜例：求三角脈沖的頻譜( )x t220t方法一：代入定義計算方法一：代入定義計算方法二：利用微分性質計算方法二：利用微分性質計算( )x t220t( )dx tdt2222t0微分1144( )()4jjdx tFSaeedt()2 sin()44Saj( )( )dx tFjXdt根

15、據微分性質根據微分性質:所以有所以有:21( )()2 sin()()4424XSajSaj 2/ 4408、積分特性若若:則則: Xtx)( )( )(0) ( )tXxdXj 如果如果 ，則有，則有: 00X ( )( )tXxdj 證明證明: p53 自己閱讀自己閱讀例：求斜平信號的頻譜例：求斜平信號的頻譜20000 (0)( )(0)1 ()tx tttt 10t 可以看成矩形脈沖可以看成矩形脈沖 的積分的積分2( )x t1( )x t10t01t1( )x t2( )x t0t積分由標準矩形脈沖信號的頻譜和時移性質，可得由標準矩形脈沖信號的頻譜和時移性質，可得 的頻譜為的頻譜為1(

16、 )x t0000221001( )()()22ttjjttXtSaeSaet由積分性質，可得由積分性質，可得 的頻譜為的頻譜為2( )x t121( )( )(0) ( )XXXj 1(0)1X又因為：又因為：所以得：所以得：00221( )()( )2tjtXSaej 9、帕斯瓦爾定理、帕斯瓦爾定理( )( )x tX dXdttx22)(21)(若若:則則:帕斯瓦爾公式表明，對帕斯瓦爾公式表明，對 在整個頻率范圍內積分，可以在整個頻率范圍內積分，可以得到信號的總能量。得到信號的總能量。 式式(2-100)為有限能量信號的帕斯瓦爾公式為有限能量信號的帕斯瓦爾公式 (2-100)2( )X

17、因此，因此， 反映了信號的能量相對于頻率的分布，稱為能反映了信號的能量相對于頻率的分布，稱為能量密度譜，簡稱量密度譜，簡稱能譜能譜，即：，即：2( )( )EX 2( )X 10、卷積定理、卷積定理（1） 時域卷積定理時域卷積定理若若:則則:1122( )( )( )( )x tXx tX)()()()(2121XXtxtx時域卷積定理表明，兩個信號在時域的卷積積分，對應了頻域中該兩信號頻譜的乘積，由此可以把時域的卷積運算轉換為頻域的乘法運算，簡化了運算過程 例：求兩個矩形脈沖卷積后的頻譜1( )x t2( )x t/ 4 / 4 2/ / 4 / 4 2/ 矩形脈沖的表達式為矩形脈沖的表達式為 122/ 4( )( )0/ 4tx tx tt 它們所對應的頻譜為它們所對應的頻譜為 122()()()()2222XXSaSa 2212( )( )( )()()2222RXXSaSa 由時域卷積定理有：由時域卷積定理有：兩個矩形脈沖卷積后的結果為：兩個矩形脈沖卷積后的結果為：121221/ 2( )( )*( )( )()0/ 2ttr tx tx txx tdt / 2 / 2 1( )r t圖圖2-55說明了說明了該例中，各種時該例中，各種時域曲線、頻譜曲域