1、第十章習題10-11 指出下列各微分方程的階數：(1) x(y)2-2yy+x=0; (2) (y)3+5(y)4-y5+x6=0;(3) +2y+x2y=0; (4) (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0 解: (1) 因為方程中未知函數y的最高階導數的階數為1,故該方程為一階微分方程.(2) 二階.(3) 三階.(4) 一階.2 驗證下列給定函數是其對應微分方程的解：(1) y=(x+C)e-x, y+y=e-x;(2) xy=C1ex+C2e-x, xy+2y-xy=0;(3) x=cos2t+C1cos3t+C2sin3t， x+9x=5cos2t;(4) =1， xyy+x(y

2、)2-yy=0 解: (1) 是微分方程的解.(2) 在方程兩邊對x求導有上方程兩邊對x求導有,即 即 所以所確定的函數是方程的解.(3) 所以 是微分方程的解. (4) 方程兩邊對x求導得 (1)式兩邊對x求導得 (2)式兩邊同乘以x得 (3)-(2)得 所以 是方程的解. 3 已知曲線的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標，求這曲線所滿足的微分方程 解: 設是曲線上任一點,則過該點的切線方程為,由已知時,得 即 為所滿足得微分方程.4 求通解為y=Cex+x的微分方程，這里C為任意常數 解: 由得,而由已知得 故通解為的微分方程為.習題10-21求下列微分方程的通解或在給定的初始條件下的特解

3、：(1) y； (2) xydx+dy=0;(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;(5)；(6) yy+xey=0,y(1)=0;(7) y=e2x-y， 解: (1) 原方程分離變量得 ,兩邊積分得 即 ,即, ,記,有 , 而當 即 時,顯然是方程的解,上式取時包含了,故方程的解為 (c為任意常數)(2) 分離變量得: ,兩邊積分得, ,可知 ,即 又 顯然是方程的解. 方程的通解為 (c為任意常數).(3) 分離變量得 , 兩邊積分得 ,即 從而 ,記 有 .(4) 分離變量得,兩邊積分得, 即 .(5) 原方程可化為:,

4、兩邊積分得 由 得 , 所以原方程滿足初始條件的特解為 即 .(6) 分離變量得 , 兩邊積分得 由 得 , 故原方程滿足初始條件的特解為 . (7) 分離變量得 ,兩邊積分得 , 由 得 ,所以,原方程滿足初始條件的特解為 . 2 物體冷卻速度與該物質和周圍介質的溫差成正比，具有溫度為T0的物體放在保持常溫為a的室內，求溫度T與時間t的關系. 解: 設t時刻物體的溫度為T,由題意有 (k為比例系數)分離變量得 ,兩邊積分得, ,得, 由題意有時,代入上式得, . (k為比例系數).3 求下列微分方程的通解或在給定條件下的特解：(1) xy-y-0；(2) y=+sin；(3) 3xy2dy(

5、2y3-x3)dx;(4) x2y+xy=y2， y(1)=1；(5) xy=y(lny-lnx), y(1)=1;(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0 解: (1) 原方程可化為 , 令 則 , 代入原方程得: 即 兩邊積分得 即 將代入得 .(2) 令,則 代入原方程得: 即 兩邊積分得 ,則 ,將代入得.(3) 原方程可化為 , 令 ,則 , 代入上式得, 兩邊積分得 , 即 ,將 代入得 .(4) 原方程可化為 , 令 , 則 ,代入上式得 , 即 , 兩邊積分得 即 將代入得 ,由 得 , , 即 所以原方程滿足初始條件的

6、特解為.(5) 原方程可化為 , 令 則 , 上方程可化為 即 兩邊積分得 即 亦即 將 代入得 由初始條件 得 故原方程滿足初始條件的特解為 .(6) 原方程可化為 解方程組 得 作變換 ,原方程化為 這是一個齊次方程,按齊次方程的解法: 令 , 方程可化為 兩邊積分可得,整理可得,將代入上式得將代入上式得(7)原方程可化為令,則,代入上方程得 即 即,積分得.將代入上式得,.4 求下列微分方程的通解或在給定初始條件下的特解：(1) y-y=sinx;(2) y-y=xnex；(3) (x-2y)dy+dx=0;(4) (1+xsiny)y-cosy=0；(5) y- =(x+1)ex, y

7、(0)=1;(6) y+，y(0)=;(7) y-=-lnx, y(1)=1;(8) y+2xy=(xsinx)·，y(0)=1;(9) y；(10) y 解: (1) 這是一階非齊次線性微分方程,(2) 這是一階非齊次線性微分方程,(3) 原方程可化為 ,這是一個關于的一階齊次線性微分方程,且 , 所以 (4) 原方程可化為 ,這是一個關于的一階非齊次線性微分方程,且 , 所以 (5) 這是一階非齊次線性微分方程且,所以 將初始條件 代入上式中得故,原方程滿足初始條件的特解是 . (6) 這是一階非齊次線性微分方程,且 ,所以 將初始條件代入上式得,所以原方程滿足初始條件的特解是.

8、 (7) 這是一階非齊次線性微分方程,且,所以 將初始條件 代入上式得 所以,原方程滿足初始條件的特解是 . (8) 這是一階非齊次線性微分方程,且,所以 將初始條件 代入上式得 ,故原方程滿足初始條件的特解是: . (9) 原方程可化為 ,這是 的伯努利方程,方程兩邊同除以,得 令 ,則上面方程化為 ,這是一階非齊次線性微分方程,且,其通解為將代入上式得原方程的通解為 . (10) 原方程可化為 ,這是關于的的伯努利方程,令,上述方程可化為這是關于y的一階非齊次線性微分方程,且,其通解為: 將代入上式得原方程的通解為.5 設函數f(x)在1,)上連續，若由曲線y=f(x)，直線x=1,x=t

9、(t1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為V(t)t2f(t)-f(1)試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件y(2) =的特解 解: 依題意有 ,兩邊同時對t求導有: 即 亦即 故 所滿足的微分方程是 , 該方程可化為 ,這是齊次方程.可求得該齊次方程的通解為: 將初始條件 代入上式得 ,所以,該微分方程滿足條件的特解是 .6 設某生物群體的出生率為常數a，由于擁擠及對食物的競爭的加劇等原因，死亡率與當時群體中的個體量成正比(比例系數為b0)如果t=0時生物個體總數為x0，求時刻t時的生物個體的總數(注： 將生物群體中的個體量當做時間t的連續可微變量看

10、待)解: 設時刻t時的生物個體的總數為x,依題意得 即 解得 又 時 ,代入上式得 ,故 .7 已知f(x)3x-3， 求f(x)解: 方程兩邊對x求導得 即 這是一階非齊次線性微分方程,其通解為 由已知 得 ,代入上式得 , 所以.8 已知某商品的成本CC(x)隨產量x的增加而增加，其增長率為C(x)，且產量為零時，固定成本C(0)C00求商品的生產成本函數C(x) 解: 由得,這是一階非齊次線性微分方程,且,其通解為 由初始條件代入上式得 .所以商品的生產成本函數.9 某公司對某種電器設備的使用費用進行考察，結果發現，隨該電路使用時間x的延長，它的保養維修費會加倍增長，因而平均單位時間的使

11、用費S也在增加，即S為x的函數S=S(x)，其變化率為，其中a,b均為正常數若當x=x0時SS0，試問：使用時間為多少時，其平均單位時間的使用費S最高? 解: 原方程 可化為 ,這是一階非齊次線性微分方程,且,其通解為,由已知時,代入上式得,又由得,令得唯一駐點,將代入得,由問題的實際意義知,最值存在,所以當是時間時,其平均單位時間的使用費S最高.習題10-31 求下列微分方程的通解：(1) =xex； (2) y=；(3) (1+x2)y+2xy=0； (4) y-(y)2=0；(5) +1=0； (6) yy-(y)2+(y)3=0解:（1）對方程兩端連續積分三次得這就是所求的通解. （2

12、）對方程兩端連續積分兩次得 這就是所求的通解.（3）令,則，于是原方程可化為 分離變量得，積分得 ,即.再積分得.（4）令，則，原方程可化為 ，即 兩邊積分得,即.亦即 再積分得 （5）令,則,原方程變為,即.兩邊積分得 即 .亦即即.積分得.從而 .這就是所求的通解.（6）令,則·p,代入原方程得.即若p=0,則是方程的解.若，分離變量得.積分得 即 .于是: 即.積分得 .2求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1) =lnx，y(1)=0, y(1)=-, y(1)=-1;(2) x2y+xy=1, y(1)=0, y(1)=1;(3) y+=1, y(0)=0, y(0)=1解

13、：（1）方程兩邊積分得：，由得，于是,上式兩邊再積分得 .由得，于是兩邊再積分得.由得.所以，原方程滿足初始條件的特解為.（2）令，則，原方程化為.即，這是一階非齊次線性方微分方程.,，其通解為即，由得，于是,從而 由得即 .（3）令，則，原方程可化為 ,由，即時，.顯然是上述方程的解，即，積分得,由得，所以，原方程滿足初始條件的特解為.3 已知某個二階非齊次線性微分方程有三個特解y1=x, y2=x+ex和y3=1+x+ex，求這個方程的通解解：因為是某二階非齊次線性微分方程的三個特解，則,是某對應的齊次微分方程的特解且常數，故和1是其對應的二階齊次線性微分方程的兩個線性無關的特解，故對應齊

14、次線性方程的通解為又是這個二階非齊次線性微分方程的特解，故這個方程的通解是.4 求下列齊次線性方程的通解或在給定條件下的特解：(1) y-4y+4y=0; (2) y-y-2y=0;(3) y+5y+6y=0, y(0)=1, y(0)=6;(4) y-2y-10y=0, y()=0, y()=解：（1）特征方程為，它有兩個相等的特征根,所以，所求的通解為. （2）特征方程為,它有兩個不相等的實特征根故所求的通解為.（3）特征方程為，它有兩個不相等的實特征根,故所求的通解為.由得,又由及得，解方程組 得 所以，原方程滿足初始條件的特解為. （4）特征方程為,它有兩個共軛復數根，,故方程的通解為

15、，由得,=0,故所求特解為:5 求下列非齊次線性微分方程的通解或給定初始條件下的特解：(1) y+3y-10y=144xe-2x;(2) y-6y+8y=8x2+4x-2;(3) y+y=cos3x, y()=4, y()=-1;(4) y-8y+16y=e4x, y(0)=0,y(0)=1解：（1）特征方程有兩個不相等的實數根,故對應齊次方程的通解為因為不是特征方程的根，故可特解為則 , 代入原方程可解得 .所以.所求通解為（2）特征方程有兩個不同的特征根,故對應齊次方程的通解為又因為不是特征方程的根，故可設特解為則,，代入原方程可解得,故. 所求通解為.（3）特征方程為，它有兩個共復數根，

16、故對應齊次方程的通解為考察方程，因為不是特征方程的根，故可設特解為則,代入方程,得,所以取的實部，即得到方程的特解.故原方程的通解為又 由初始條件得,故所求的特解為（4）特征方程有兩個相等的實根，故對應齊次方程的通解為:因為是特征方程的重根，故可設特解為將其代入方程得,故特解為所以原方程的特解為.又由及,得.所以，所求特解為.6 設對一切實數x,函數f(x)連續且滿足等式f(x)=x2+，且f(0)=2,求函數f(x)解：方程兩邊求導得，即，特征方程有兩個不同的實根,故對應齊次方程的通解為.因為不是特征方程的根，故可設特解為,代入原方程得，故特解為，所以方程的通解為.由已知得，又由題設得,及得

17、.解方程得所以滿足題設條件特解為即 .7 設二階常系數非齊次線性微分方程y+ay+by=aex的一個特解為y=e2x+(1+x)ex,試確定常數a,b,a并求該微分方程的通解解：將已給的特解代入原方程，得比較兩端同類項的系數，有解得.于是原方程為.其特征方程為,特征根為,對齊次方程的通解為.又因為是特征方程的單根，故設特解為,代方程，可解得A=1,故特解為所以該微分方程的通解為.8 設函數j(x)可微，且滿足j(x)=ex+，求j(x)解：由得,又兩邊求導得,即，從而再求導得,即可求得對應齊次方程的通解為,又因為不是特征方程 的根，故可設特解為將其代方程中可求得,故方程的通解為.又由及得,所以

18、，即.9 求方程y-y-2y=3e-x在x=0處與直線y=x相切的解解：特征方程有兩個實根,故對應的齊次方程的通解為,又因為是特征方程的單根，故可方程的特解為代入原方程可解得A=-1，故原方程的通解為由已知在處與直線相切，則，又將分別代入（1），（2）式中得可解得所以，所求的解為.10 設函數y(x)的二階導函數連續且y(0)=0,試由方程y(x)=1+確定此函數解：方程兩邊對x求導得,即它的特征方程有兩個相異的實根故方程（1）對應的齊次方程的通解是又是特征方程的單根，故方程（1）的特解可設為將其代入方程（1），可解得，從而特解為，方程（1）的通解為由得,又由及(2),(3)式可得 解得 故方

19、程（1）的滿足已知條件的特解為即由所給方程確定的函數為11 一質點徐徐地沉入液體，當沉入時，液體的反作用力與下沉的速度成正比例，求質點的運動規律解：由題設條件與牛頓第二定律有 (k為比例系數)即這是一個二階線性非齊次方程，它的特征方程有兩個不相等的實根，它對應的齊次方程的通解又因特征方程的單根，故可設特解為，代入方程（1）可得，故方程（1）的通解為且，又開始沉入時即t=0時，將其代入上兩式可解得，.因而有習題10-41 某公司辦公用品的月平均成本C與公司雇員人數x有如下關系：C=C2e-x-2C且C(0)=1,求C(x)解:方程可變形為:,這是的伯努利方程,令,方程可化為:,這是一階非齊次線性微分方程且,其通解為:(為了與成本區別,這里的任意常數用表