1、2.4等比數(shù)列了解教材新知把握熱點考向運用創(chuàng)新演練第二章數(shù)列第一課時等比數(shù)列考點一考點二考點三知識點一知識點二知識點三 調(diào)查下面幾個數(shù)列：調(diào)查下面幾個數(shù)列： (1)4，4,4，4， (2)關(guān)于在國際象棋棋盤各個格子里放麥粒的問題，關(guān)于在國際象棋棋盤各個格子里放麥粒的問題，由于每一個格子里的麥粒都是前一個格子里的麥粒數(shù)的由于每一個格子里的麥粒都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍，且共有倍，且共有64個格子，各個格子里的麥粒數(shù)依次是個格子，各個格子里的麥粒數(shù)依次是1,2,22,23，263， (3)某人年初投資某人年初投資10 000元，假設(shè)年收益率是元，假設(shè)年收益率是5%，那，那么按照復利，么按照復利

2、，5年內(nèi)各年末的本利和依次為年內(nèi)各年末的本利和依次為10 0001.05,10 0001.052，10 0001.055， 問題：以上數(shù)列有何共同特征？問題：以上數(shù)列有何共同特征？ 提示：每一個數(shù)列從第提示：每一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的項起，每一項與它前一項的比值都等于同一個常數(shù)比值都等于同一個常數(shù)定義定義表達式表達式 普通地，假設(shè)一個數(shù)列從第普通地，假設(shè)一個數(shù)列從第 項起，項起，每一項與它的前一項的比等每一項與它的前一項的比等于于 ，那么這個數(shù)列叫做等，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母通常用字母q表示表示(q ) q (

3、q為常數(shù)，為常數(shù)，q0)同一個常數(shù)同一個常數(shù)公比公比02問題：假設(shè)在問題：假設(shè)在a與與b之間插入一個數(shù)之間插入一個數(shù)G，使，使a，G，b成等成等比比數(shù)列，那么數(shù)列，那么G與與a，b有何關(guān)系？有何關(guān)系？ 等比數(shù)列等比數(shù)列 問題：假設(shè)數(shù)列問題：假設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，公比為為等比數(shù)列，公比為q，那么：，那么：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，由此他可以得出什么結(jié)論呢？，由此他可以得出什么結(jié)論呢？ 提示：提示：ana1qn1. 等比數(shù)列等比數(shù)列an的首項為的首項為a1，公比為，公比為q(q0)，那么，那么通項公式為：通項公式為：an .a1qn1 1對等比數(shù)列定

4、義的了解對等比數(shù)列定義的了解 (1)公比公比q0，這是必然的，也就是說，不存在公比，這是必然的，也就是說，不存在公比q0的等比數(shù)列，還可以了解為在等比數(shù)列中，不存在的等比數(shù)列，還可以了解為在等比數(shù)列中，不存在數(shù)值為數(shù)值為0的項的項 (2)每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)，是具每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)，是具有恣意性的，但須留意是從有恣意性的，但須留意是從“第第2項起項起 (3)每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)，強調(diào)每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)，強調(diào)的是的是“同一個同一個 (4)對于公比對于公比q，要留意它是每一項與它前一項的比，要留意它是每一項與它前一項的比，次序不能顛倒次序

5、不能顛倒 (5)各項不為零的常數(shù)數(shù)列，既是等差數(shù)列，又是等各項不為零的常數(shù)數(shù)列，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列比數(shù)列 2對等比中項的了解對等比中項的了解 (1)G是是a與與b的等比中項，那么的等比中項，那么a與與b的符號一樣，符的符號一樣，符號相反的兩個實數(shù)不存在等比中項號相反的兩個實數(shù)不存在等比中項G，即等比中項有兩個，且互為相反數(shù)，即等比中項有兩個，且互為相反數(shù) (2)當當G2ab時，時，G不一定是不一定是a與與b的等比中項例的等比中項例如如0250，但，但0,0,5不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列 3等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的通項公式 (1)知首項知首項a1和公比和公比q，可以確定一個等比數(shù)列，可

6、以確定一個等比數(shù)列 (2)在公式在公式ana1qn1中，有中，有an，a1，q，n四個四個量，知其中恣意三個量，可以求得第四個量量，知其中恣意三個量，可以求得第四個量第一課時等第一課時等 比比 數(shù)數(shù) 列列 例例1設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an滿足滿足a11，an2an130(n2)，試判別數(shù)列試判別數(shù)列an1能否是等比數(shù)列，并指出該數(shù)列的首項能否是等比數(shù)列，并指出該數(shù)列的首項 思緒點撥思緒點撥首先分清該數(shù)列的通項是什么，然后根據(jù)首先分清該數(shù)列的通項是什么，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進展判別等比數(shù)列的定義進展判別1在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a12，且對恣意自然數(shù)，且對恣意自然數(shù)n,3an1an0，那么，那么an_.

7、2本例題條件中本例題條件中“an2an130(n2)改為改為“an12an1，其他條件不變，試判別數(shù)列，其他條件不變，試判別數(shù)列an1能否能否為等比數(shù)列為等比數(shù)列例例2在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，(1)a42，a78，求，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求，求n.思緒點撥思緒點撥解答此題可將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于根本元素解答此題可將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于根本元素a1與與q的方程組，求出的方程組，求出a1和和q，再表示其他量，再表示其他量 一點通一點通等比數(shù)列根本量的求法等比數(shù)列根本量的求法 a1和和q是等比數(shù)列的根本量，只需求出這兩個根本量，是等比數(shù)列的根本量，只需求出這兩個根本量，其他量

8、便可求出來，法一是常規(guī)解法，先求其他量便可求出來，法一是常規(guī)解法，先求a1，q，再求，再求an，法二是運用通項公式及方程思想建立方程組求法二是運用通項公式及方程思想建立方程組求a1和和q，這也，這也是常見的方法是常見的方法3假設(shè)等比數(shù)列的前三項分別為假設(shè)等比數(shù)列的前三項分別為5，15,45，那么，那么第第5項項是是 ()A405B405C D解析：解析：a5a1q4，而，而a15，q3，a5405.答案：答案：A答案：答案：C 例例3(12分分)某工廠某工廠2021年年1月的消費總值為月的消費總值為a萬元，萬元，方案從方案從2021年年2月起，每月消費總值比上一個月增長月起，每月消費總值比上一

9、個月增長m%，那么到那么到2021年年8月底該廠的消費總值為多少萬元？月底該廠的消費總值為多少萬元？ 思緒點撥思緒點撥依題意，該廠自依題意，該廠自2021年年1月起，每月的消月起，每月的消費總值依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項公式，費總值依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項公式，利用通項公式得解利用通項公式得解 一點通一點通數(shù)列實踐運用題常與現(xiàn)實生活和消費實踐數(shù)列實踐運用題常與現(xiàn)實生活和消費實踐中的詳細事件相聯(lián)絡(luò)，建立數(shù)學模型是處理這類問題的中中的詳細事件相聯(lián)絡(luò)，建立數(shù)學模型是處理這類問題的中心，常用的方法有：心，常用的方法有： 構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然后構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，

10、然后用數(shù)列的通項公式或求和公式解；用數(shù)列的通項公式或求和公式解； 經(jīng)過歸納得到結(jié)論，經(jīng)過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解再用數(shù)列知識求解6一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開場時占據(jù)內(nèi)存一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開場時占據(jù)內(nèi)存2 KB，然后每，然后每3分鐘本身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原分鐘本身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原來的來的2倍，那么開機后倍，那么開機后_分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64 MB(1 MB210 KB)解析：由題意可得每解析：由題意可得每3分鐘病毒占的內(nèi)存容量構(gòu)成分鐘病毒占的內(nèi)存容量構(gòu)成一個等比數(shù)列，令病毒占據(jù)一個等比數(shù)列，令病毒占據(jù)64 MB時本身復制了時本身復制了n次，即次，即22n64210216，解得，解得n15，從而復制，從而復制的時間為的時間為15345分鐘分鐘答案：答案：457從盛滿從盛滿a(a1)升純酒精的容器里倒了升純酒精的容器里倒了1升然后添滿水搖升然后添滿水搖勻，再倒出勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續(xù)下去，升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續(xù)下去，問：第問：第n次操作后溶液的濃度是多少？當次操作后溶液的濃度是多少？當a2時，至少