1、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1. 零點(diǎn)問(wèn)題，在掌握二分法的解題步驟基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)分析轉(zhuǎn)化，能夠把與之有關(guān)的問(wèn)題化歸為方程零點(diǎn)問(wèn)題2. 函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要抓住常見(jiàn)函數(shù)模型的訓(xùn)練，如冪指對(duì)模型，二次函數(shù)模型，數(shù)列模型，分段函數(shù)模型等，解答的重點(diǎn)是在信息整理和建模上3. 掌握解函數(shù)應(yīng)用題的方法與步驟：(1) 正確地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型(建模)；(2) 用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，確定最佳的解題方案，進(jìn)行計(jì)算與推理(解模)；(3) 把計(jì)算或推理得到的結(jié)果代回到實(shí)際問(wèn)題中去解釋實(shí)際問(wèn)題，即對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)作答(檢驗(yàn)、作答)1. 函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)為x0，則不小于x0的最小整數(shù)為_(kāi)2.關(guān)于x的

2、方程x有負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_3.某工廠(chǎng)的產(chǎn)值月平均增長(zhǎng)率為p，則年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)4.某人在2009年初貸款 m萬(wàn)元，年利率為x，從次年初開(kāi)始償還，每年償還的金額都是n萬(wàn)元，到2012年初恰好還清，則n的值是_【例1】已知直線(xiàn)ymx(mR)與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【例2】某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為 800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留 1 m 寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？【例3】 2014年青奧會(huì)水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目將在J地舉行截至2010年底，投資集團(tuán)

3、B在J地共投資100百萬(wàn)元用于房地產(chǎn)和水上運(yùn)動(dòng)兩個(gè)項(xiàng)目的開(kāi)發(fā)經(jīng)調(diào)研，從2011年初到2014年底的四年間，B集團(tuán)預(yù)期可從三個(gè)方面獲得利潤(rùn)：一是房地產(chǎn)項(xiàng)目，四年獲得的利潤(rùn)的值為該項(xiàng)目投資額(單位：百萬(wàn)元)的20%；二是水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，四年獲得的利潤(rùn)的值為該項(xiàng)目投資額(單位：百萬(wàn)元)的算術(shù)平方根；三是旅游業(yè)，四年可獲得利潤(rùn)10百萬(wàn)元(1) B集團(tuán)的投資應(yīng)如何分配，才能使這四年總的預(yù)期利潤(rùn)最大？(2) 假設(shè)從2012年起，J地政府每年都要向B集團(tuán)征收資源占用費(fèi)，2012年征收2百萬(wàn)元，以后每年征收的金額比上一年增加10%.若B集團(tuán)投資成功的標(biāo)準(zhǔn)是：從2011年初到2014年底，這四年總的預(yù)期利潤(rùn)中值(

4、預(yù)期最大利潤(rùn)與最小利潤(rùn)的平均數(shù))不低于總投資額的18%，問(wèn)B集團(tuán)投資是否成功？【例4】 已知函數(shù)f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在區(qū)間t，t1上的最大值h(t)；(2) 是否存在實(shí)數(shù)m，使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由1. (2010·浙江)已知x0是函數(shù)f(x)2x 的一個(gè)零點(diǎn)若x1(1，x0)，x2(x0，)，則f(x1)f(x2)_0.(填“>”或“<”)2.(2011·北京)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))

5、已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品時(shí)用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是_3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累計(jì)銷(xiāo)售額達(dá)3 860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷(xiāo)售額為500萬(wàn)元，七月份銷(xiāo)售額比六月份遞增x%，八月份銷(xiāo)售額比七月份遞增x%，九、十月份銷(xiāo)售總額與七、八月份銷(xiāo)售總額相等，若一月至十月份銷(xiāo)售總額至少達(dá)7 000萬(wàn)元，則x 的最小值為_(kāi)4.(2011·重慶)設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2kx20在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，則mk的最小值為_(kāi)5.(2011·山東)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩

6、端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元(1) 寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2) 求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.6.(2011·福建)某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1) 求a的值；(2) 若該商品的成本為3元/千克，

7、試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大(2011·湖南)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v(v>0)，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(cR)E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：(1) P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc|×S成正比，比例系數(shù)為；(2) 其他面的淋雨量之和，其值為，記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d100，面積S時(shí)(1) 寫(xiě)出y的表達(dá)式；(2) 設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少解析：(1) 由題意知，E

8、移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為|vc|，(2分)故y(3|vc|10). (6分)(2) 由(1)知，當(dāng)0<vc時(shí)，y(3c3v10)15當(dāng)c<v10時(shí)，y(3v3c10)15.故y( 8分) 當(dāng)0<c時(shí)，y是關(guān)于v的減函數(shù)故當(dāng)v10時(shí)，ymin20. (10分) 當(dāng)<c5時(shí)，在(0，c上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關(guān)于v的增函數(shù)；故當(dāng)vc時(shí)，ymin. (12分)第4講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1. 下列命題正確的是_(填所有正確命題的序號(hào)) 若f(x)f(2x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)； 若f(x)f(2x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)； 若yf(

9、x1)是奇函數(shù)，則yf(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)； 若yf(x1)是偶函數(shù)，則yf(x)關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)【答案】2. 已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線(xiàn)y2x平行，且yg(x)在x1處取得最小值m1(m0)設(shè)函數(shù)f(x).(1) 若曲線(xiàn)yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2) k(kR)取何值時(shí)，函數(shù)yf(x)kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)解： (1) 設(shè)g(x)ax2bxc，a0則g(x)2axb；又g(x)的圖象與直線(xiàn)y2x平行， 2a2， a1.又g(x)在x1時(shí)取最小值， 1， b2. g(1)abc12cm1， cm. f(x)x2.設(shè)P(x0，y0)，

10、則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m. 22m2， m1或m1.(2) 由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.(*)當(dāng)k1時(shí)，方程(*)有一解x，函數(shù)yf(x)kx有一零點(diǎn)x；當(dāng)k1時(shí)，方程(*)有兩解44m(1k)0.若m0，k1，函數(shù)yf(x)kx有兩個(gè)零點(diǎn)x；若m0，k1，函數(shù)yf(x)kx有兩個(gè)零點(diǎn)x；當(dāng)k1時(shí)，方程(*)有一解44m(1k)0，k1， 函數(shù)yf(x)kx有一零點(diǎn)x.基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 1解析：f(0)0，f(1)0，x0(0,1)2. 解析：由1，得a5.3. (1p)1214. 解析：m(1x)3n(1x)2n(1x)n.n.例題選講例1解：作出

11、函數(shù)f(x)的圖象，可見(jiàn)要使直線(xiàn)ymx(mR)與函數(shù)f(x)的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，只要yx21(x0)與直線(xiàn)ymx(mR)有兩個(gè)交點(diǎn)，即x21mx有兩個(gè)不等的正根，x22mx20有兩個(gè)不等的正根， 解得m.變式訓(xùn)練(2011·北京)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_【答案】(0,1)解析：f(x)(x2)單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1，f(x)(x1)3(x2)單調(diào)遞增且值域?yàn)?，1)，f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1)例2解：設(shè)溫室的長(zhǎng)為x m，則寬為 m由已知得蔬菜的種植面積為S m2：S(x2)8004x88

12、084648(當(dāng)且僅當(dāng)x即x20時(shí)，取“”)答：當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)分別為20 m，40 m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是648 m2.變式訓(xùn)練某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400 m的操場(chǎng)如圖所示，操場(chǎng)的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬？解：設(shè)中間區(qū)域矩形的長(zhǎng)、寬分別為x m、y m，中間的矩形區(qū)域面積為S m2.則半圓的周長(zhǎng)為 m，因?yàn)椴賵?chǎng)周長(zhǎng)為400 m，所以2x2×400，即2xy400. Sxy·(2x)·(y)·2，由解得當(dāng)時(shí)等號(hào)成立答：設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)為100 m，寬約

13、為(63.7)m時(shí)，面積最大例3解：(1) 設(shè)B集團(tuán)用于水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的投資為x百萬(wàn)元，四年的總利潤(rùn)為y百萬(wàn)元，由題意，y0.2(100x)100.2x30，x0,100即y0.2(2.5)231.25，0,10所以當(dāng)2.5，即x6.25時(shí)，ymax31.25.答：B集團(tuán)在水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目投資6.25百萬(wàn)元，所獲得的利潤(rùn)最大，為31.25百萬(wàn)元(2) 由(1)知，在上繳資源占用費(fèi)前，ymax31.25，ymin20.由題意，從2012年到2014年，B集團(tuán)需上繳J地政府資源占用費(fèi)共為2(11.111.12)6.62百萬(wàn)元所以B集團(tuán)這四年的預(yù)期利潤(rùn)中值為6.6219.005.由于19.005%18%，

14、所以B集團(tuán)投資能成功答：B集團(tuán)在J地投資能成功注：若水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的利潤(rùn)改為該項(xiàng)目投資額的算術(shù)平方根的k(k0)倍，如何討論？例4解：(1) f(x)x28x(x4)216.當(dāng)t14，即t3時(shí)，f(x)在t，t1上單調(diào)遞增h(t)f(t1)(t1)28(t1)t26t7；當(dāng)t4t1，即3t4時(shí)，h(t)f(4)16；當(dāng)t4時(shí)，f(x)在t，t1上單調(diào)遞減，h(t)f(t)t28t.綜上，h(t)(2) 函數(shù)yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)(x)g(x)f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn) (x)x28x6lnxm， (x)2x8(x0)，當(dāng)x(0,1

15、)時(shí)，(x)0，(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1,3)時(shí)，(x)0，(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(3，)時(shí)，(x)0，(x)是增函數(shù)；當(dāng)x1或x3時(shí)，(x)0. (x)極大值(1)m7，(x)極小值(3)m6ln315. 當(dāng)x充分接近0時(shí)，(x)0，當(dāng)x充分大時(shí)，(x)0. 要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須即7m156ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7,156ln3)高考回顧1. 解析：f(x)在(1，)單調(diào)遞增，f(x0)0，f(x1)0，f(x2)0.2. 60,16解析：由條件可知，xA時(shí)所用時(shí)間為常數(shù)，所以組裝

16、第4件產(chǎn)品用時(shí)必然滿(mǎn)足第一個(gè)分段函數(shù)，即f(4)30c60，f(A)15A16.3. 20解析：3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，x20.4. 13解析： 設(shè)f(x)mx2kx2，則方程mx2kx20在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根等價(jià)于因?yàn)閒(0)2，所以f(1)mk20，故拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，于是m0,0k2m，令m1，則由k28m0，得k3，則m，所以m至少為2，但k28m0，故k至少為5，又m，所以m至少為3，又由mk252，所以m至少為4，依次類(lèi)推，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m6，k7時(shí)，m，k首次滿(mǎn)足所有條件，故mk的最小值為13.5. 解：(1) 因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以r3r2l，解得lr，由于l2r，因此0<r2，所以建造費(fèi)用y2rl×34r2c2r××34r2c，因此y8r24cr2，定義域?yàn)?0,2(2) y16r8cr，由于c>3，所以c2>0，當(dāng)r3時(shí)r，令m，則m>0，所以y(rm)(r2mrm2)當(dāng)0<m<2即c>時(shí)，當(dāng)rm時(shí)，y0；當(dāng)r(0，m)時(shí)，y<0；當(dāng)r(m,2)時(shí)，y>0，所以rm是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，當(dāng)m2，即3<c時(shí)，當(dāng)r(0,2)時(shí)，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)綜