1、用思維演繹真知，追求“思考的深度，理解的寬度，演繹的縝密”數學教育之化境【案例1】 冷靜從合情思考問 題：要購買一塊綢布，寬為1米，長為a米, 用來剪出三塊矩形旗幟. 要 求: 1.裁剪截出矩形旗幟的長與寬的比與原綢布的長與寬的比相同. 2.盡可能少的出現廢料.3.畫出所有可能的裁剪示意圖，并求（寫）出相應的a 值（命題時可以保留根號，也可以提出近似的要求）友情提示：請認真閱讀下面的例題，并掌握它。解方程：，解 答： ， 方案1方案2方案3方案4思考與分析：方案1： , 方案2： , 方案3：， 方案4：.若提出近似的要求：比如結果保留到個位，或0，那么上面的示意圖和答案分別要作什么樣的變更？

2、， ， 啟 迪：如果我們能幫助學生在初中階段形成“冷靜從容，合情思考”品質，（幫助學生在高中達到“思考的深度，理解的寬度，演繹的縝密”之境界），這恐怕是大部分數學教師所追求的吧。【案例2】 “方程”與“算術”的對弈問 題：某人在一條河流中逆流而上，在A處遺失了攜帶的物品（可漂流），在繼續前進30分鐘后發現遺失物品，即刻順流而下去追趕物品，在離A處3千米的B處追上物品，求水流速度.思考與分析：（算術方法）：w人在靜水中游速.v水速人離開物品的速度是w- v + v = w 人追趕物品的速度是w + v v = w人離開物品的時間=人追趕物品的時間物品漂浮了1小時.v=3千米/時（方程方法）：AC

3、= AB=3 BC= 啟 迪：“算術方法”是“巧勁”需要學生聰慧；“方程方法”是“鈍勁”需要學生踏實.“算術方法”難想，但解決問題的過程比較巧；“方程方法”合情合理，但有可能方程難解甚至暫時解不了.【案例3】 操作與思考 問 題：已知如圖，BAC=100°，B=60°，CD平分ACB，EAC=20°，求DEB的度數思考與分析：按題意畫出精確地符合條件的圖形，那么DEB的度數可用量角器測量知道是20°，從而，可AED=20°.即該題只要證DE是AEB的角平分線就可以了.啟 迪：學生的思維狀態如果滯留在“純幾何計算”的范疇里，就難以想到通過證明DE

4、是AEB的角平分線來解決問題的思路了。但是我們平時的幾何教學中,重視動手，學生有“量一量”的意識，恐怕會給我們帶來欣喜的。【案例4】 拓寬知識放飛思維問 題：如圖，RtABC中，AC=BC=3，RtEDC中，EC=CD=2. 繞點C順時針旋轉ECD 60°，得到ECD，過點C作CMDE于M交AE于N.求MN的長. 思考與分析：（解析法）點E點D可求，直線ED可求，CMDE.則CM的斜率可求，則直線CM可求，點M可求，直線AE可求，則點N可求.利用兩點之間距離公式求出MN的長圖1圖2啟 迪：面向全體學生，不僅僅是，提醒我們不要拋棄一個差生，我們同樣不要漠視了一大批優生的學習潛質，在合適

5、的時候做一點合適的知識拓寬，恐怕在數學教學實踐中，百分之九十的老師都是這樣做的吧，但是，我還是要友情提示一下：把思維發展放在第一位，知識拓寬只是順勢而為。【案例5】 追溯、變式、引申 問 題： 如圖，給出四個不同形態的“n角星”，分別解答下面問題。（在同一平面內，有任意三點都不在同一直線上的n個點，將每間隔k個點的兩點，順次連接起來而形成的圖形，我們姑且稱其為“n角星”）（1） 在圖1中，求：；（2） 在圖2中，求：；（3）在圖3中，求：（4）圖4是順次連接每間隔k個點的兩點形成的“n角星” 求： 寫出n、k必須滿足的條件思考與分析：（略）啟 迪：請反思一下問題（1）的求解的路徑請反思一下問題

6、（2）提出的思考的方向與問題（1）的方向有什么變化？問題（1）是在設置好的情景中按要求解決問題，我們學會用不同的方式來解決（一題多解）。問題（2）的提出，是研究問題的視角變化，我們要學會提出問題（一題多變）請思考問題（3）和（4）是如何在前面兩個問題的基礎上進行的變化（變式與引申）【案例5】深入淺出 搭建進步的階梯問 題：（1）線段AB上有一點C，AB=3，BC=1， 求AC長？ （2）A、B、C是直線上 l 的三點，AB=3, BC=1,求AC長？ （3）A、B、C是直線上 l 的三點，且 AB=a, BC=b,求AC長？ 思考與分析：（略）啟 迪：讓每個孩子都會去學數學，讓每個孩子都不怕學數學，讓每個孩子都學好數學。簡單的問題，同樣有濃濃的數學味。【案例6】 尊重學生 尊重真理問 題：如圖，已知經過原點的拋物線y=-2x2+4x與x軸的另一交點為A，現將它向右平移m(m>0)個單位，所得拋物線與x軸交與C、D兩點，與原拋物線交與點P.（1）求點A的坐標，并判斷PCA存在時它的形狀（不要求說理）（2）在x軸上是否存在兩條相等的線段，若存在，請一一找出，并寫出它們的長度（可用含m的式子表示）；若不存在，請說明理由；（3）CDP的面積為S，求S關于m的關系式。思考與分析：點A的坐標是（2，0），PCA是等腰三角形， 存在。 OC