1、惠州市2013屆高三第二次調研考試 數 學 (理科） 本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 參考公式：錐體的體積公式,其中是錐體的底面積，為錐體的高一

2、、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1. 已知復數 (為虛數單位），則復數在復平面上所對應的點位于 （ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2集合，若，則實數的值為（ ）A或 B C或 D 3. 等差數列的前項和為，且，則公差等于（ ）A1 B. C. D. 4. 已知向量，且，則等于（ ）A B C D 5. “”是“”的（ ）A充分不必要條件 B既不充分也不必要條件C充要條件 D. 必要不充分條件 6若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）A2B2C4D47某工廠從2004年開始，近八年以來生產某種產品的情況是

3、：前四年年產量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的產量與時間的函數圖像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot8已知函數，若有，則的取值范圍為（ ）A B C D二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分每小題5分，滿分30分）（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答9函數的定義域為 10. 的展開式中的常數項為 11已知正方體中，、分別為、的中點，那么異面直線與所成角的余弦值為_12.如圖所示的算法流程圖中, 若則的值等于 . 13已知變量滿足約束條件若目標函數僅在點處取得最小值, 則實數的取值范圍為 （二）選做題：第1

4、4、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分。14（坐標系與參數方程選做題）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標方程為，它與曲線（為參數）相交于兩點和，則=_.15.（幾何證明選講選做題）如圖，從圓外一點引圓的切線和割線，已知，圓的半徑為，則圓心到的距離為 三、解答題：（本大題共6小題，滿分80分須寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟）16（本小題滿分12分）已知向量,且，為銳角. （1）求角的大小； （2）求函數的值域.17（本題滿分12分）某商場準備在節日期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從3種服裝

5、商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動。 （1）試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率； （2）商場對選出的商品采用有獎促銷，即在該商品現價的基礎上價格提高180元，同時允許顧客每購買1件促銷商品有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都可獲得獎金100元，假設顧客每次抽獎時中獎與否是等可能的，試分析此種有獎促銷方案對商場是否有利。18.（本小題滿分14分） 如圖，在三棱柱中，側棱底面,，為的中點, . (1) 求證：平面； (2) 若四棱錐的體積為, 求二面角的正切值.19（本小題滿分14分）已知直線與橢圓相交于、兩點，是線段上的一點，且點在直線上.（1）求橢圓的離心

6、率；（2）若橢圓的焦點關于直線 的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.20（本小題滿分14分）設為數列的前項和，對任意的，都有(為正常數)（1）求證：數列是等比數列；（2）數列滿足，求數列的通項公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和21（本小題滿分14分）已知函數是奇函數，且圖像在點 處的切線斜率為3（為自然對數的底數）（1）求實數、的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；（3）當時，證明：惠州市2013屆高三第二次調研考試數學（理科）參考答案與評分標準一選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分題號12345678答案 1【解析】1.提示:因為,所以對應的點在復平面的第二象限. 故選

7、2【解析】由可知或,故選3【解析】且，.故選4【解析】由，得，即，所以，故選5【解析】注意的正負號.故選6.【解析】橢圓的右焦點為，即，故選7【解析】前四年年產量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨的變大而變小，后四年年產量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，,故選8.【解析】由題可知，若有，則，即，解得。故選二填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只選做一題9 10 11 12 13 14 159【解析】根據二次根式和對數函數有意義的條件，得 。 10【解析】的展開式中的常數項即。11【解析】連接，則,所以與所成的角即為異面直線所成的角，設邊長為，則，在三角形中

8、.12【解析】，由數形結合可知，當時, 所以有13【解析】目標函數可變為直線，斜率為，僅在點處取得最小值,只須14【解析】直線的普通方程為，曲線的普通方程15【解析】先用切割線定理求出的長度,然后距離三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分分）解：（1）由題意得2分 ， 4分由為銳角 ， 得, 6分（2）由（1）可得 7分所以 9分因為，則，當時，有最大值. 當時，有最小值， 11分故所求函數的值域是. 12分17（本小題滿分12分）解：（1）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品，一共有種不同的選法，選出的3種商品中

9、，沒有日用商品的選法有種，2分所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為 4分（2）顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量，其所有可能的取值為0，100，200，300。（單元：元） 6分表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎，所以，7分同理可得 , 9分于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是 11分故促銷方案對商場有利。 12分18（本小題滿分14分）（1）證明: 連接,設與相交于點,連接, 四邊形是平行四邊形,點為的中點. 為的中點，為的中位線, . 2分,. 4分(2)解: 依題意知， , 作，垂足為，則， 6分設，在中，四棱錐的體積 。 8分依題意得，即. 9分(以下求二面角

10、的正切值提供兩種解法)解法1:,，. 10分取的中點，連接，則,且.作，垂足為，連接，由于，且，. 又,. 12分由,得,得,在中, .二面角的正切值為. 14分解法2: ,， 平面， . 10分以點為坐標原點,分別以所在直線為軸, 軸和軸,建立空間直角坐標系. 則,. , 設平面的法向量為, 由及,得 令,得. 故平面的一個法向量為, 11分 又平面的一個法向量為, . 12分 . 13分 . 二面角的正切值為. 14分19（本小題滿分14分）解：設、兩點的坐標分別為，（1）由知是的中點， 1分 由 得：4分 ， 5分點的坐標為又點在直線上： 6分 7分（2）由（1）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為，設關于直線 的對稱點為，8分則有解得： 11分由已知， ， . 13分所求的橢圓的方程為 14分20（本小題滿分14分）（1）證明：當時，解得1分當時，即2分又為常數，且，3分數列是首項為1，公比為的等比數列4分（2）解： 5分，即7分是首項為，公差為1的等差數列8分，即9分（3）解：由（2）知，則所以， 10分即， 11分則， 12分得，13分故14分21（本小題滿分14分）解：（1）