1、高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線設(shè)曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為邊梯形面積

2、為 A ,右下圖所示圖形面積為右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例1. 計(jì)算兩條拋物線計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍在第一象限所圍所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110AP274-1高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線xy2

3、2與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點(diǎn)得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42AP275-2高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法

4、得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng)當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式時(shí)得圓面積公式xxdP276-3高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用oyxababoyx一般地一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí)給出時(shí), 按按順時(shí)針?lè)较蝽槙r(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積21d)()(tttttA)(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )si

5、n(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa2高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線求由曲線)(r及及,射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間在區(qū)間,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上

6、曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為d)(212A 高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 從從 0 變變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停到到 2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . P277-4高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用ttadcos82042例例6. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線所圍圖形的所圍圖形的面積面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o d

7、d)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)2t令28a43212223aP277-5高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用oxya心形線心形線(外擺線的一種外擺線的一種)2222yxaxayx即即)cos1 ( ar點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停動(dòng)畫開(kāi)始或暫停 尖點(diǎn)尖點(diǎn):)0,0( 面積面積:223a 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng):a8參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線與圓與圓所圍圖形的面

8、積所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積所求面積)243(2122aa22245aa ar 2高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用a2sin2a例例8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2c

9、os21462ayox44答案答案:高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、平面曲線的弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)邊長(zhǎng) 0 時(shí)時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) , 即即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.( (證明略證明略) )ni 10lims則稱則稱高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)

10、用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(12(P170)22)(d)(ddyxs高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的

11、應(yīng)用(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得則得sd弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :(自己驗(yàn)證自己驗(yàn)證)高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用)ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng)求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh2

12、2chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂下垂懸鏈線懸鏈線方程為方程為高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例10. 求連續(xù)曲線求連續(xù)曲線段段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例11. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22si

13、ntdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2P283-13高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用d222aa例例12. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于相應(yīng)于 0 2 一段的弧長(zhǎng)一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式公式39)212a21ln2102)412ln(24122aaP284-13高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所

14、給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xyoabxyoab)(xfy 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周圍成的一周圍成的立體體積立體體積時(shí)時(shí),有有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有

15、2)(yyddcVxxoy)(yxcdy高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用ayxb例例13. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2xP279-7高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則則xyVad202t

16、tabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xyoa2例例14. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin1

17、6063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令P280-8高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用yxyoa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 計(jì)算過(guò)程計(jì)算過(guò)程高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用a2柱殼體積柱殼體積說(shuō)明說(shuō)明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱

18、面面積柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例15. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并并與底面交成與底面交成 角角,222Ry

19、x解解: 如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyxP281-9高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用oRxy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ?),(yx)(

20、yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22xx高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用ox1 2yBC3A例例16. 求曲線求曲線132xy與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限在第一象限 xxd)4(322122高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)

21、上的應(yīng)用xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取取側(cè)面積元素側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因?yàn)榈木€性主部的線性主部 .若光滑曲線

22、由參數(shù)方程若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出給出, 則它繞則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積不是薄片側(cè)面積S 的的 )(2ttttd)()(22S注意注意:側(cè)面積為側(cè)面積為高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xRyo例例19. 計(jì)算圓計(jì)算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .解解: 對(duì)曲線弧對(duì)曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺(tái)高當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí)時(shí), 得球的表面積

23、公式得球的表面積公式24RS1x2xozyx高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例20. 求由星形線求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用星形線星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種星形線是內(nèi)擺線的一種.t點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放

24、開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停大圓半徑大圓半徑 Ra小圓半徑小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何

25、學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)2)(2)(yxA 繞 y 軸 :)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 3124

26、1yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:解解: 利用對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用求側(cè)面積求側(cè)面積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對(duì)稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用高數(shù)同濟(jì)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用作業(yè)作業(yè) P279 2 , (3) ; 4; 5 (3) ; 8 (2)