1、教學設計：直線的斜率江蘇省南菁高級中學 鄒小東教學目的1、了解解析幾何這門學科及其研究方法；2、理解直線的斜率，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率的計算公式；3、理解直線的傾斜角的概念，知道直線的傾斜角的范圍；4、掌握直線的斜率和直線的傾斜角之間的關系；5、使學生感受直線的方向與直線的斜率之間的對應關系，從而體會研究直線的方向的變化規律，只要研究其斜率的變化規律。教學重點 直線的斜率教學難點 直線的斜率公式的理解 教學方法講解法、發現法、討論法教具準備木板課程內容分析本節課是在學生學習了函數，對一些基本初等函數的圖象和性質已掌握的前提下，解析幾何的第一節課，教師應向學生展

2、示在平面直角坐標系下，數和形的關系，從而揭示解析幾何的研究方法和解決的問題，為今后的學習奠定基礎。建議在教學過程中從學生熟悉的一次函數的圖象著手，導出解析幾何這門學科，從解析幾何的研究方法和平面內確定一條直線的條件，啟發學生探索和發現刻畫直線傾斜程度的量。本節課的重點是直線的斜率，由兩點確定一條直線聯想能否用兩點的坐標來表示，結合學生熟悉的坡度的定義，揭示如何用兩點的坐標表示，以及表示的合理性。對直線斜率公式的應用，要注意公式成立的條件和公式的正用、逆用，特別要說明斜率不存在時，直線存在（讓學生體驗此時直線的位置，以加深印象），在逆用時強調斜率是一比值，由它能知道直線在坐標系中的位置（體現數和

3、形的結合，讓學生利用圖象發現并歸納），若再有一點即知直線上另一點的坐標（啟發學生利用斜率公式進行求解，提醒注意不唯一）。直線的傾斜角是從幾何的角度來刻畫直線在坐標系中的傾斜度，如何定義直線的傾斜角？對特殊的直線傾斜角又怎樣規定？對照圖形予以說明，進而明確直線的傾斜角的范圍。關于直線的傾斜角和斜率的關系，要滲透分類討論的數學方法。考慮到學生對誘導公式和正切函數的單調性還不知道，故應附以說明和借助計算機或計算器的定量計算，讓學生有所了解。教學過程一、問題情景情景1：畫出一條直線問題1：對所畫圖形你知道多少？二、學生活動學生進行思考、聯想、討論由學生說出或經啟發得到：是一次函數圖象。進而設問：能否知

4、道是哪個一次函數？是否需要什么條件？學生回答并求出函數解析式，就函數解析式與其圖象的關系教師指出：直角坐標系的建立架起了“數”與“形”的橋梁。解析幾何這門學隨之而產生。（學科介紹：解析幾何的創始人笛卡爾是17世紀法國偉大的數學家，它是用代數的方法來研究幾何問題的學科。因此同學們在學習這門學科的過程中，務必耐心細致地進行計算，確保運算的準確。）問2：怎樣才能畫出一條直線？學生回答并演示（過兩點；過一點及確定的方向）觀察：直線的方向與直線在坐標系傾斜度的關系問3：我們熟悉的坡度是怎樣確定的？利用木板進行演示，讓學生有一個感性認識，體驗坡度是由什么來確定的。揭示：（坡度=）問4：如果給你直線上兩點，

5、你能用它們的坐標來刻畫其傾斜度嗎？由學生討論引出課題：直線的斜率三、建構數學直線的斜率定義：已知兩點P（x1,y1）Q(x2,y2),如果x1x2,那么直線PQ的斜率為： yQ(x2,y2)P(x1,y1)y2y1x1oxylP(x1,y1)Q(x2,y2)x2-x1y2-y1oy2y1x1x2深化對定義理解:斜率是直線傾斜程度的數量化，是一比值；斜率公式與兩點的順序有關嗎？為什么？對于不垂直于x軸的直線，其斜率是否唯一確定？與x軸垂直的直線，其斜率又是怎樣呢？四、數學運用例1：直線l1、l2、l3都經過點P（3，2），又l1、l2、l3分別經過點Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-

6、3，2），試計算直線l1、l2、l3的斜率。變：點Q1（m，-1），求l1的斜率；若此時l1的斜率為2，求m的值。點評：本例意在鞏固斜率公式，變式可加深認識公式成立的條件；k0,k=0,k0,k不存在時，直線的形狀，讓學生通過畫圖體驗數形結合； 探索函數y=kx+b中的k的幾何意義：設點P（x1,y1）和點Q（x2,y2）（x1x2）為函數y=kx+b圖象上任意兩點。則 從而 知：k為直線的斜率。為今后研究直線的方程與一次函數的關系奠定基礎。例2：經過點（3，2）畫直線，使直線的斜率分別為：；分析：關鍵是確定直線上另一個點點評：一般可利用斜率公式根據斜率k和已知點P（x1,y1）而得到另一個點

7、Q（x2,y2）（不唯一）由得以求進一步深化對斜率的理解，特別是公式中的x與y可正可負的認識。情景2：過一點畫出許多直線，在直角坐標系觀察各條直線的位置。問題2：反映直線傾斜程度的量除了斜率外，還可以用什么來表示？學生觀察并進行討論，引出：直線的傾斜角定義：（分與x軸相交的直線和與x軸重合或平行的直線兩種情況）范圍：例3：設直線l1過定點A，其傾斜角為a，若將l1繞點A逆時針方向旋轉45°，得到直線l2,求l2的傾斜角q。點評：通過畫圖形加深對傾斜角定義的理解，結合圖形確定對傾斜角進行分類的標準，從中體會分類討論的思想方法。y直線的斜率和直線的傾斜角的關系BxoANaxBNAqqaa

8、 分直線的傾斜角為銳角（見圖）和直線的傾斜角為鈍角（見圖）啟發學生利用斜率的定義發現：（注：）點評：都是刻畫直線傾斜程度的量，直線的傾斜角側重于幾何直觀形象，而直線的斜率側重于用數來刻畫直線的方向；直線的傾斜角a是角，且0°a180°，而斜率k是實數，且kR當a90°時，k=tana；當a=90°時，k不存在；當a=0°時，k=0；當a為銳角時，k0且k隨a的增大而增大；當a為鈍角時，k0且k隨a的增大而增大。（通過計算機、計算器的計算讓學生感知）練習判斷下列命題的真假： 若兩條直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等； 若兩條直線的斜率相等，則它們的傾斜角也一定相等； 若兩條直線的傾斜角不等，則它們中傾斜角大的，其斜率也