1、單擺測量重力加速度實驗的誤差分析吉恒（云南省通海縣第二中學，云南，玉溪 652701 ）單擺實驗是普通物理的基本實驗之一，同時也是必做實驗之一。其原理簡單、易 懂，原則上只要在同一地點進行實驗，都應得到相同結果，但在實際操作過程中一些不 可避免的因素會影響實驗結果的精確度。為提高實驗的精確度，減小各種不可避免因素給實驗結果帶來的影響，本文從以下幾方面著手對此實驗進行分析 和研究。首先，對擺角進行分析，因為隨擺角大小的變化，擺遵循的運動規律是不一樣的。 在實驗原理中，一般是把它理想化地當作簡諧運動來處理，讓其滿足簡諧運動的運動方 程，然后來求解其周期公式，事實上這是有條件限制的。因此本文采用了增

2、維精細積分 的方法來討論單擺在什么樣的擺角情況下才能夠做線性動力學分析，也就是單擺滿足簡 諧運動運動規律的擺角范圍。其次，單擺擺長的測量也是引起實驗誤差的原因之一 O本文就單擺擺長的不同測量 方法帶來的B類標準不確定度（由實驗儀器的精確度引進）進行計算、分析、比較，以 選取最佳測量方法。1 .單擺測量重力加速度的實驗原理如圖1所示，單擺就是用一根不可伸長的輕線懸掛一個小球 使其可繞擺的支點0 做擺動，當小球作擺角很小的擺動時就是一個單擺。設小球的質量為m,其質心到支點。的距離為1 （擺長）。建立自然坐標系，根據受力分析，作用在小球上的切向力的大小為mg sin，方向總指向平衡點o,(1)mg圖

3、1單擺受力分析當很小時，有sin，此時切向力的大小近似為mg法向，繩的張力和重力的分力相平衡。根據牛頓第二運動定律，質點動力學方程為：ma t mg因at d*，代入上式得2 g_dti上式即為單擺的運動微分方程O(1)對上式移項得到若令則有dt2其解為A cos ot式中A與是待定常數。由于單擺運動的周期性，應有A cos o t TA cos ot oT又因余弦函數的周期為2，故oT2將式（2）代入得T2.g（4）g或g4?片（5）T2實驗時，若只測量一個時間周期，則測量誤差相對較大 > 因此一般采用測量連續 擺動n個周期的時間t,此時（5）式變為：（6）以上為基本實驗原理，理想情況

4、（即忽略復擺，空氣阻力，空氣浮力等因素對實驗 的影響）下只要在同一地點進行實驗，都應得到相同結果，但在實際操作過程中一些不 可避免的因素會影響實驗結果的精度。2實驗改進2.1擺角范圍討論在上述實驗原理中，談到當擺角很小時，可將sin近似為處理，但未確切說明到底 要多?。煌瑫r對角增大了又是怎樣的情況也沒有考慮進來。因此，若要建立單擺模型， 讓單擺擺動起來，擺角范圍的大小就是首要解決的問題。記則單擺非線性動力學方程變為:9-.psinl(8)根據增維思想通過一維變量式1和x 0的引入，可將式(8)寫成矩陣形的齊次狀態方程：0S 二(9)sin10 g sinI0于是式(8)簡寫為VHV其解為eHt

5、Vg(10)根據矩陣分析理論其中 Vo為初始狀態向量，V%任意時刻的狀態向量為得解的遞推表達式，將時間軸等分為N段，即t°tit2,M Jn時間步長為ttjitj則由tj時刻的狀態向量Vj 可求tj 1時刻的狀態向量Vj 1。即Ht.(11)Viie Vi其中指數矩陣骯采用高精度、高效率的精細積分法。以上是采用高精度、高效率的增維精細積分推導出的求解單擺非線性動力擺角和擺 速（取擺角初始速度都為零）的迭推公式。通過單擺線性動力響應與非線性動力響應的對 比分析，得出了能簡化為線性動力問題的最大擺角值及最大擺角和擺長對非線性動力問 題擺角相位、擺速相位的變化規律，即當初始擺角小于o10。

6、時，采用非線性動力方程求解的擺角時程曲線、擺角速度時程曲線分別與同一問題線性動力方程求得的擺角時程曲線、擺角速度時程曲線幾乎完全重合達到同一周期兩者間的相位差很小，可以忽略不計。但是當初始擺角超過010。后，隨著初始擺角的增大，采用非線性動力方程求得的擺角、擺角速度達到某一平衡位置所需的時間分別比采用線性動力方程所得的擺角、擺角速度達到同一周期平衡位置所需的時間越來越長。因此，當初始擺角大于。10后 > 不能采用簡 化的線f生動力方程來求解單擺動力響應，否則所得結果與實際存在較大的差距 >而應采 用非線性動力方程求解。所以，若要采用簡諧運動方程來求解單擺周期公式，實驗中單擺 的擺角

7、應該小于10。，誤差也才能因此而減小o換言之，只有在單擺擺動的角度小于10。的情況下，單擺的微分方程才可表示為式（1）的形式，才可求解得1'1T 2 j-（2）Ng相應地，重力加速度的表達式為g42l2o此即為實驗原理中介紹的周期公式T和重力加速度公式的來由。2.2擺長的測量方法選擇在測量擺長的過程中，方法選擇的不同，誤差的來源以及傳遞就不同，引起 的誤差大也就 不一樣。在選用的長度測量工具都為米尺和游標卡尺的情況下（即儀器的精確度等級相同，其極限誤差值相同），測量方法對由實驗儀器引入的B類標準 不確定度U （b）的影響是不同的。實驗中用毫米刻度的米尺測量擺線長度，用游標卡尺測量擺球直徑，其中米尺的極限誤差為厶=0.1mm，游標卡尺的極限誤差二002mn擺長的測量方法般如下二種如圖2所示，h為支點到擺球上端的距離，匕為支點到擺球下端的距離，D為擺球的直徑方法1 ：方法2 ：1 11 h 12其B類標準不確定度為：U B J（麗）111 %）2IhI4'2dB類標準不確定度為：圖2單擺擺長（°.1）2（002）20.0954mm32 . 3方法3 :1 12%B類標準不確定度為： 顯然， 選擇第一種測量方法由實