1、第十一章 李亞普諾夫穩定性分析穩定性是對控制系統最基本，同時也是最重要的要求。經典控制理論和現代控制理論對于穩定性有不同的理解和定義，也存在較多的穩定性判據。經典控制理論中的勞斯判據和乃奎斯特穩定判據等，只適用于線性定常系統。本章介紹的李亞普諾夫（Lyapunov）穩定性的概念和穩定性判定定理，不僅適用于線性定常系統，而且還適用于線性時變系統和非線性系統，并且還是一些先進的控制系統設計方法的基礎。本章首先給出李亞普諾夫穩定性的定義，并在此基礎上討論了李亞普諾夫第一方法和第二方法在判定系統穩定性方面的有關結論，最后討論了線性定常系統的李亞普諾夫穩定性分析。11.1 李亞普諾夫關于穩定性的定義設系

2、統的狀態方程為 式中，是系統的n維狀態向量；是以狀態和時間t為變量的n維函數向量。假設在給定的初始條件下，式有唯一解，且其中分別為初始時刻和初始狀態向量。在式所描述的系統中，對所有t，如果總存在 則稱為系統的平衡狀態。可見若已知狀態方程，令所求出的解就是系統的平衡態。對于線性定常系統，當A為非奇異矩陣時，系統只有一個平衡狀態，即原點；當A為奇異矩陣時，系統有無窮多個平衡狀態?。對于非線性系統，可以有一個或多個平衡狀態。研究系統的穩定性就是研究平衡狀態的穩定性。由于任意一個平衡狀態都可以通過坐標變換轉移到原點，因此為了研究方便，研究系統的穩定性一律認為平衡狀態為系統原點。以平衡狀態為中心，半徑為

3、k的球域可用下式表示 式中稱為歐幾里德范數，其表達式為設是由滿足的所有點構成的一個球域；而是由所有滿足的點構成的一個球域，其中是給定的常數。分別為初始時刻和初始狀態向量。定義一 如果系統對于任意選定的，存在一個，使得當時，恒有，則稱系統的平衡狀態是穩定的。此定義說明，對于每一個球域，若存在一個球域，在的過程中，從球域出發的軌跡不離開球域，則稱此系統的平衡狀態在李亞普諾夫意義下是穩定的（如圖11-1(a)）。圖 11-1 系統的穩定性定義二 如果平衡狀態在李亞普諾夫意義下是穩定的，即從球域出發的每一條運動軌跡，當時，都不離開球域，且最后都能收斂于附近，即其中為任意選定的小量。則稱系統的平衡狀態是

4、漸近穩定的。圖 11-1 系統的穩定性漸近穩定性是個局部穩定的概念，圖11-1(b)中的球域是漸近穩定的范圍。定義三 對所有的狀態（狀態空間的所有點），如果由這些狀態出發的軌跡都具有漸近穩定性，則稱平衡狀態是大范圍漸近穩定的。即，如果狀態方程在任意初始條件下的解，當時都收斂于，則系統的平衡狀態稱為大范圍漸近穩定，見圖11-1(c)中的軌跡曲線(1)。圖 11-1 系統的穩定性大范圍穩定是全局性的穩定，其必要條件是在整個狀態空間中只有一個平衡狀態。對于線性系統如果平衡狀態是漸近穩定的，則必為大范圍漸近穩定的。對于非線性系統，一般能使平衡狀態為漸近穩定的球域是不大的，稱為小范圍漸近穩定。圖 11-

5、1 系統的穩定性定義四 如果從球域出發的軌跡，無論球域取得多么小，只要其中有一條軌跡脫離球域，則稱平衡狀態為不穩定的。見圖11-1(c)中的軌跡曲線(2)。11.2 李亞普諾夫第一方法李亞普諾夫第一方法又稱為間接法。它適用于線性定常系統和非線性不很嚴重的實際系統。對于非線性系統，首先要進行線性化，得到一個線性化模型，然后按線性系統穩定的條件分析穩定性。李亞普諾夫第一方法的主要結論如下：(1) 線性定常系統漸近穩定的充分必要條件是，系統矩陣A的所有特征值均具有負實部。(2) 若線性化系統的系統矩陣A的所有特征值均具有負實部，則實際系統就是漸近穩定的。線性化過程中忽略的高階導數項對系統的穩定性沒有

6、影響。(3) 如果系統矩陣A的特征值中，只要有一個實部為正的特征值，則實際系統就是不穩定的，并且與被忽略的高階導數項無關。(4) 如果系統矩陣A的特征值中，即使只有一個實部為零，其余的都具有負實部，那么實際系統的穩定性就不能由線性化模型的穩定性判定。這時系統的穩定性將與線性化過程中被忽略的高階導數項有關。為了判定原系統的穩定性，必須分析原始的非線性模型。 可見，李亞普諾夫第一方法是通過判定系統矩陣的特征值實部的符號來判定系統的穩定性，因此又稱為特征值判據。11.3 李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二法是基于：若系統的內部能量隨時間推移而衰減，則系統最終將達到靜止狀態這個思想而建立起來的穩定判據。

7、即如果系統有一個漸近穩定的平衡狀態，則當系統向平衡狀態附近運動時，系統儲存的能量隨時間的推移應逐漸衰減，到達系統平衡狀態處時，能量衰減到最小值。因此，如能找到系統的能量函數，只要能量函數對時間的導數是負的，則系統的平衡狀態就是漸近穩定的。由于系統的形式是多種多樣的，難于找到一種定義“能量函數”的統一形式和簡單方法。為克服這一困難，李亞普諾夫引入一個虛構的能量函數稱為李雅普諾夫函數，簡稱李氏函數。此函數量綱不一定是能量量綱，但反映能量關系。李氏函數是標量函數，用表示，必須是正定的，通常選用狀態變量的二次型函數作為李亞普諾夫函數。一、 標量函數的正定性和負定性李亞普諾夫穩定性定理是以標量函數的正定

8、和負定為基礎的。設是向量的標量函數，是狀態空間中包含原點的封閉有限區域。(1) 正定性如果對于所有域中非零的，有，且在處有，則稱標量函數在域內是正定的。例如，。只有時，；其他情況，所以是正定的。(2) 半正定性如果在域內，標量函數除在狀態空間原點和某些狀態處外，對于其他所有狀態均有，則稱是半正定的。例如，當或時，其余情況都有，因此是半正定的。(3) 負定性如果是正定的，則稱為負定的。(4) 半負定性 如果是半正定的，則稱為半負定的。(5) 不定性如果無論域取多么小，標量函數可正可負，則稱這類標量函數為不定的。例如，為不定的。因為對于一類狀態，在和時，分別為負數和正數。設為一個二次型函數，則其可

9、表示為式中，P為實對稱矩陣，即。根據線性代數知識，當P的順序主子式全大于零，即成立時，稱矩陣P是正定矩陣，并可以證明是正定的。如果P的所有主子行列式為非負時，則是半正定的。二、 李亞普諾夫穩定性定理李亞普諾夫第二法的基本思想是用能量變化的觀點分析系統的穩定性。若系統儲存的能量在運動過程中隨時間的推移逐漸減少，則系統穩定；反之，若系統在運動過程中，不斷從外界吸收能量，使其儲能越來越大，則系統就不能穩定。用一個大于零的標量函數表示系統的“能量”，稱為李亞普諾夫函數。用就可表示系統能量的變化率，并且當時，表明系統的能量在運動中隨時間的推移而減少；當時表明能量在運動過程中隨時間的推移而增加。李亞普諾夫

10、函數最簡單的形式為二次型，但也不一定都是二次型。任何一個標量函數，只要滿足李亞普諾夫穩定性判據所假設的條件，都可以作為李亞普諾夫函數。對于給定的系統，不是唯一的。所以，正確地確定李亞普諾夫函數是利用李亞普諾夫直接法的主要問題。李亞普諾夫直接法分析系統穩定性的判據可以敘述如下：定理11-1（李亞普諾夫穩定性定理）設系統狀態方程為，且 當選定（相當于系統受到擾動后的初始狀態），后(1) 若，則系統是漸近穩定的（如果隨著，有，則系統是大范圍漸近穩定的）；(2) 若，則系統是不穩定的；(3) 若，但不恒等于零（除了以外），則系統是漸近穩定的；但是若恒等于零，按照李亞普諾夫關于穩定性的定義，系統是穩定的

11、，但不是漸近穩定的。系統將保持在一個穩定的等幅振蕩狀態。 例11-1 設系統的狀態方程為試確定該系統的穩定性。解 先構造一個正定的能量函數，例如則有顯然，所以系統是漸近穩定的。而且選擇的確實是一個李亞普諾夫函數。需要指出的是，關于李亞普諾夫第二法的穩定判據只是充分條件，而不是必要條件。關于這一點可以解釋如下：構造一個能量函數，令，若，系統就是漸近穩定的；若，系統就是不穩定的，這個能量函數可以作為李亞普諾夫函數。如果構造的能量函數不滿足上述定理的假設條件（例如是不定的），那么就不能確定系統的穩定性，因為很可能是還沒有構成李亞普諾夫函數。此時，一方面可以繼續尋求合適的李亞普諾夫函數，另一方面應考慮

12、采用其他的方法確定系統的穩定性。例11-2 設系統的狀態方程為試判斷其穩定性。解 假設選擇能量函數為它是正定的，但是是不定的, 因此不能立刻判斷系統的穩定性. 繼續尋找李亞普諾夫函數，假設選它是正定的，而是一個半負定的標量函數，即，但是不恒等于零，因為對于的有和由狀態方程有可知，只要，即使，也不會等于零。即在時，不會恒等于零，則不恒等于零。根據定理11-1的條件（3）可確定系統是漸近穩定的。假設選取正定標量函數則有因此系統是漸近穩定的。另外，根據系統矩陣的特征值，由李亞普諾夫第一方法可知系統是漸近穩定的。(若線性化系統的系統矩陣A的所有特征值均具有負實部，則實際系統就是漸近穩定的)上述例子表明

13、，應用李亞普諾夫第二方法確定系統的穩定性，關鍵在于如何找到李亞普諾夫函數。但是李亞普諾夫穩定性理論并沒有提供構造李亞普諾夫函數的方法。上面的例子還說明，對于給定系統，如果存在李亞普諾夫函數，它不是唯一的。11.4 線性定常系統的李亞普諾夫穩定性分析李亞普諾夫第二方法是分析線性系統穩定性的有效方法，它不僅對于線性定常系統，而且對于線性時變系統及離散系統均能給出相應的穩定判據。本節將分別介紹線性定常連續系統和線性定常離散系統的李亞普諾夫穩定性分析。11.4.1 線性定常連續系統的李亞普諾夫穩定性分析設線性定常系統的狀態方程為 設所選取得李亞普諾夫函數為二次型函數，即其中，P為實對稱矩陣，x為列向量

14、。則有其中則有 如果能夠找到滿足式的正定矩陣P和Q，那么有，系統就是漸近穩定的。式是一個矩陣代數方程，稱為李亞普諾夫方程。根據上面的推導可知，判斷線性定常連續系統穩定性的步驟應該是：(1) 先假定一個正定的實對稱矩陣P，(2) 然后利用式計算Q，如果Q是正定的則表明系統是漸近穩定的。但是上述的計算步驟在實際使用中是比較麻煩的，所以在應用時通常是：(1) 先取一個正定的實對稱矩陣Q，而且為了簡便，常取QI，(2) 然后根據式()求出矩陣P（求解時可設P為對稱矩陣），(3) 最后判斷P是否為正定來確定系統的穩定性。因此有如下定理。定理11-2 線性定常連續系統漸近穩定的充分必要條件是：給定一個正定

15、對稱矩陣Q，存在一個正定對稱矩陣P，使其滿足李亞普諾夫方程，即式且標量函數是系統的一個李亞普諾夫函數。 例11-3 判斷系統的穩定性。解 選QI，設P為對稱矩陣。根據式有展開求解上述矩陣方程可得(待定系數方法)，因為矩陣P的各階主子行列式均大于零，所以P是正定的，從而給定的系統是漸近穩定的。 例11-4 判斷系統的穩定性。解 選QI，設P為對稱矩陣。根據式可求得因為矩陣P為非正定的，所以系統不穩定（P的一階主子行列式小于零，而二階主子行列式大于零，因此P是負定的）。上面的例子也可以用系數矩陣A的特征值來判斷系統的穩定性。11.4.2 線性定常離散系統的李亞普諾夫穩定性分析對于線性定常離散系統也

16、可以用李亞普諾夫第二方法分析其穩定性。設線性定常離散系統的狀態方程為 取正定二次型函數設對于離散系統，用代替連續系統中的，只要是負定的，系統就是漸近穩定的。令 則有Q矩陣正定意味著負定，即系統是漸近穩定。并稱為系統的一個李亞普諾夫函數，式稱為離散的李亞普諾夫方程。定理11-3 線性定常離散系統（）漸近穩定的充分必要條件是：給定一個正定對稱矩陣Q，存在一個正定對稱矩陣P，使其滿足離散的李亞普諾夫方程，即式。例11-5 線性定常離散系統的狀態方程為試分析系統的穩定性。解 選QI，設P為對稱矩陣。根據式可求得顯見，矩陣P是正定的。從而系統是漸近穩定的。小 結本章進一步討論了系統的穩定性問題，采用李亞普諾夫方法分析系統的穩定性。李亞普諾夫將判斷系統穩定性的方法分為兩類：第一方法（間接法）和第二方法（直接法）。本章就系統的穩定性問題研究了以下主要內容：1. 李亞普諾夫意義下穩定和漸近穩定的含義。研究系統的穩定性，實質上是研究系統平衡狀態的穩定性。在李亞普諾夫意義下，系統穩定和漸近穩定指的是系統在平衡點受到一定程度的擾動以后，恢復到平衡點的能力大小。工程上的穩定都指的是漸近穩定。2. 李亞普諾夫穩定性判據。李亞普諾夫第一方法是通過系統的特征根實部的