1、第十一章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性是對(duì)控制系統(tǒng)最基本，同時(shí)也是最重要的要求。經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論對(duì)于穩(wěn)定性有不同的理解和定義，也存在較多的穩(wěn)定性判據(jù)。經(jīng)典控制理論中的勞斯判據(jù)和乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等，只適用于線性定常系統(tǒng)。本章介紹的李亞普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定性判定定理，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，并且還是一些先進(jìn)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)。本章首先給出李亞普諾夫穩(wěn)定性的定義，并在此基礎(chǔ)上討論了李亞普諾夫第一方法和第二方法在判定系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的有關(guān)結(jié)論，最后討論了線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析。11.1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義設(shè)系

2、統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中，是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；是以狀態(tài)和時(shí)間t為變量的n維函數(shù)向量。假設(shè)在給定的初始條件下，式有唯一解，且其中分別為初始時(shí)刻和初始狀態(tài)向量。在式所描述的系統(tǒng)中，對(duì)所有t，如果總存在 則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。可見若已知狀態(tài)方程，令所求出的解就是系統(tǒng)的平衡態(tài)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，即原點(diǎn)；當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)?。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可以有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。由于任意一個(gè)平衡狀態(tài)都可以通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，因此為了研究方便，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性一律認(rèn)為平衡狀態(tài)為系統(tǒng)原點(diǎn)。以平衡狀態(tài)為中心，半徑為

3、k的球域可用下式表示 式中稱為歐幾里德范數(shù)，其表達(dá)式為設(shè)是由滿足的所有點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)球域；而是由所有滿足的點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)球域，其中是給定的常數(shù)。分別為初始時(shí)刻和初始狀態(tài)向量。定義一 如果系統(tǒng)對(duì)于任意選定的，存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，恒有，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。此定義說明，對(duì)于每一個(gè)球域，若存在一個(gè)球域，在的過程中，從球域出發(fā)的軌跡不離開球域，則稱此系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的（如圖11-1(a)）。圖 11-1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義二 如果平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的，即從球域出發(fā)的每一條運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)時(shí)，都不離開球域，且最后都能收斂于附近，即其中為任意選定的小量。則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是

4、漸近穩(wěn)定的。圖 11-1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性是個(gè)局部穩(wěn)定的概念，圖11-1(b)中的球域是漸近穩(wěn)定的范圍。定義三 對(duì)所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間的所有點(diǎn)），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。即，如果狀態(tài)方程在任意初始條件下的解，當(dāng)時(shí)都收斂于，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)稱為大范圍漸近穩(wěn)定，見圖11-1(c)中的軌跡曲線(1)。圖 11-1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性大范圍穩(wěn)定是全局性的穩(wěn)定，其必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于線性系統(tǒng)如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則必為大范圍漸近穩(wěn)定的。對(duì)于非線性系統(tǒng)，一般能使平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的球域是不大的，稱為小范圍漸近穩(wěn)定。圖 11-

5、1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義四 如果從球域出發(fā)的軌跡，無(wú)論球域取得多么小，只要其中有一條軌跡脫離球域，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。見圖11-1(c)中的軌跡曲線(2)。11.2 李亞普諾夫第一方法李亞普諾夫第一方法又稱為間接法。它適用于線性定常系統(tǒng)和非線性不很嚴(yán)重的實(shí)際系統(tǒng)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，首先要進(jìn)行線性化，得到一個(gè)線性化模型，然后按線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件分析穩(wěn)定性。李亞普諾夫第一方法的主要結(jié)論如下：(1) 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。(2) 若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。線性化過程中忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有

6、影響。(3) 如果系統(tǒng)矩陣A的特征值中，只要有一個(gè)實(shí)部為正的特征值，則實(shí)際系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，并且與被忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。(4) 如果系統(tǒng)矩陣A的特征值中，即使只有一個(gè)實(shí)部為零，其余的都具有負(fù)實(shí)部，那么實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不能由線性化模型的穩(wěn)定性判定。這時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將與線性化過程中被忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)有關(guān)。為了判定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須分析原始的非線性模型。 可見，李亞普諾夫第一方法是通過判定系統(tǒng)矩陣的特征值實(shí)部的符號(hào)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此又稱為特征值判據(jù)。11.3 李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二法是基于：若系統(tǒng)的內(nèi)部能量隨時(shí)間推移而衰減，則系統(tǒng)最終將達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)這個(gè)思想而建立起來(lái)的穩(wěn)定判據(jù)。

7、即如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當(dāng)系統(tǒng)向平衡狀態(tài)附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移應(yīng)逐漸衰減，到達(dá)系統(tǒng)平衡狀態(tài)處時(shí)，能量衰減到最小值。因此，如能找到系統(tǒng)的能量函數(shù)，只要能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)就是漸近穩(wěn)定的。由于系統(tǒng)的形式是多種多樣的，難于找到一種定義“能量函數(shù)”的統(tǒng)一形式和簡(jiǎn)單方法。為克服這一困難，李亞普諾夫引入一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)稱為李雅普諾夫函數(shù)，簡(jiǎn)稱李氏函數(shù)。此函數(shù)量綱不一定是能量量綱，但反映能量關(guān)系。李氏函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，用表示，必須是正定的，通常選用狀態(tài)變量的二次型函數(shù)作為李亞普諾夫函數(shù)。一、 標(biāo)量函數(shù)的正定性和負(fù)定性李亞普諾夫穩(wěn)定性定理是以標(biāo)量函數(shù)的正定

8、和負(fù)定為基礎(chǔ)的。設(shè)是向量的標(biāo)量函數(shù)，是狀態(tài)空間中包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域。(1) 正定性如果對(duì)于所有域中非零的，有，且在處有，則稱標(biāo)量函數(shù)在域內(nèi)是正定的。例如，。只有時(shí)，；其他情況，所以是正定的。(2) 半正定性如果在域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)除在狀態(tài)空間原點(diǎn)和某些狀態(tài)處外，對(duì)于其他所有狀態(tài)均有，則稱是半正定的。例如，當(dāng)或時(shí)，其余情況都有，因此是半正定的。(3) 負(fù)定性如果是正定的，則稱為負(fù)定的。(4) 半負(fù)定性 如果是半正定的，則稱為半負(fù)定的。(5) 不定性如果無(wú)論域取多么小，標(biāo)量函數(shù)可正可負(fù)，則稱這類標(biāo)量函數(shù)為不定的。例如，為不定的。因?yàn)閷?duì)于一類狀態(tài)，在和時(shí)，分別為負(fù)數(shù)和正數(shù)。設(shè)為一個(gè)二次型函數(shù)，則其可

9、表示為式中，P為實(shí)對(duì)稱矩陣，即。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，當(dāng)P的順序主子式全大于零，即成立時(shí)，稱矩陣P是正定矩陣，并可以證明是正定的。如果P的所有主子行列式為非負(fù)時(shí)，則是半正定的。二、 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫第二法的基本思想是用能量變化的觀點(diǎn)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量在運(yùn)動(dòng)過程中隨時(shí)間的推移逐漸減少，則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，若系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，不斷從外界吸收能量，使其儲(chǔ)能越來(lái)越大，則系統(tǒng)就不能穩(wěn)定。用一個(gè)大于零的標(biāo)量函數(shù)表示系統(tǒng)的“能量”，稱為李亞普諾夫函數(shù)。用就可表示系統(tǒng)能量的變化率，并且當(dāng)時(shí)，表明系統(tǒng)的能量在運(yùn)動(dòng)中隨時(shí)間的推移而減少；當(dāng)時(shí)表明能量在運(yùn)動(dòng)過程中隨時(shí)間的推移而增加。李亞普諾夫

10、函數(shù)最簡(jiǎn)單的形式為二次型，但也不一定都是二次型。任何一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，只要滿足李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)所假設(shè)的條件，都可以作為李亞普諾夫函數(shù)。對(duì)于給定的系統(tǒng)，不是唯一的。所以，正確地確定李亞普諾夫函數(shù)是利用李亞普諾夫直接法的主要問題。李亞普諾夫直接法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)可以敘述如下：定理11-1（李亞普諾夫穩(wěn)定性定理）設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，且 當(dāng)選定（相當(dāng)于系統(tǒng)受到擾動(dòng)后的初始狀態(tài)），后(1) 若，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（如果隨著，有，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的）；(2) 若，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；(3) 若，但不恒等于零（除了以外），則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；但是若恒等于零，按照李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義，系統(tǒng)是穩(wěn)定的

11、，但不是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)將保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)。 例11-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 先構(gòu)造一個(gè)正定的能量函數(shù)，例如則有顯然，所以系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。而且選擇的確實(shí)是一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)。需要指出的是，關(guān)于李亞普諾夫第二法的穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件，而不是必要條件。關(guān)于這一點(diǎn)可以解釋如下：構(gòu)造一個(gè)能量函數(shù)，令，若，系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的；若，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，這個(gè)能量函數(shù)可以作為李亞普諾夫函數(shù)。如果構(gòu)造的能量函數(shù)不滿足上述定理的假設(shè)條件（例如是不定的），那么就不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因?yàn)楹芸赡苁沁€沒有構(gòu)成李亞普諾夫函數(shù)。此時(shí)，一方面可以繼續(xù)尋求合適的李亞普諾夫函數(shù)，另一方面應(yīng)考慮

12、采用其他的方法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例11-2 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷其穩(wěn)定性。解 假設(shè)選擇能量函數(shù)為它是正定的，但是是不定的, 因此不能立刻判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 繼續(xù)尋找李亞普諾夫函數(shù)，假設(shè)選它是正定的，而是一個(gè)半負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，即，但是不恒等于零，因?yàn)閷?duì)于的有和由狀態(tài)方程有可知，只要，即使，也不會(huì)等于零。即在時(shí)，不會(huì)恒等于零，則不恒等于零。根據(jù)定理11-1的條件（3）可確定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。假設(shè)選取正定標(biāo)量函數(shù)則有因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。另外，根據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征值，由李亞普諾夫第一方法可知系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。(若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的)上述例子表明

13、，應(yīng)用李亞普諾夫第二方法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于如何找到李亞普諾夫函數(shù)。但是李亞普諾夫穩(wěn)定性理論并沒有提供構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的方法。上面的例子還說明，對(duì)于給定系統(tǒng)，如果存在李亞普諾夫函數(shù)，它不是唯一的。11.4 線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫第二方法是分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效方法，它不僅對(duì)于線性定常系統(tǒng)，而且對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)及離散系統(tǒng)均能給出相應(yīng)的穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)將分別介紹線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析。11.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 設(shè)所選取得李亞普諾夫函數(shù)為二次型函數(shù)，即其中，P為實(shí)對(duì)稱矩陣，x為列向量

14、。則有其中則有 如果能夠找到滿足式的正定矩陣P和Q，那么有，系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。式是一個(gè)矩陣代數(shù)方程，稱為李亞普諾夫方程。根據(jù)上面的推導(dǎo)可知，判斷線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟應(yīng)該是：(1) 先假定一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱矩陣P，(2) 然后利用式計(jì)算Q，如果Q是正定的則表明系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但是上述的計(jì)算步驟在實(shí)際使用中是比較麻煩的，所以在應(yīng)用時(shí)通常是：(1) 先取一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱矩陣Q，而且為了簡(jiǎn)便，常取QI，(2) 然后根據(jù)式()求出矩陣P（求解時(shí)可設(shè)P為對(duì)稱矩陣），(3) 最后判斷P是否為正定來(lái)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此有如下定理。定理11-2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個(gè)正定

15、對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，使其滿足李亞普諾夫方程，即式且標(biāo)量函數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)。 例11-3 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 選QI，設(shè)P為對(duì)稱矩陣。根據(jù)式有展開求解上述矩陣方程可得(待定系數(shù)方法)，因?yàn)榫仃嘝的各階主子行列式均大于零，所以P是正定的，從而給定的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 例11-4 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 選QI，設(shè)P為對(duì)稱矩陣。根據(jù)式可求得因?yàn)榫仃嘝為非正定的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定（P的一階主子行列式小于零，而二階主子行列式大于零，因此P是負(fù)定的）。上面的例子也可以用系數(shù)矩陣A的特征值來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。11.4.2 線性定常離散系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)也

16、可以用李亞普諾夫第二方法分析其穩(wěn)定性。設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 取正定二次型函數(shù)設(shè)對(duì)于離散系統(tǒng)，用代替連續(xù)系統(tǒng)中的，只要是負(fù)定的，系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。令 則有Q矩陣正定意味著負(fù)定，即系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。并稱為系統(tǒng)的一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)，式稱為離散的李亞普諾夫方程。定理11-3 線性定常離散系統(tǒng)（）漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，使其滿足離散的李亞普諾夫方程，即式。例11-5 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 選QI，設(shè)P為對(duì)稱矩陣。根據(jù)式可求得顯見，矩陣P是正定的。從而系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。小 結(jié)本章進(jìn)一步討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，采用李亞普諾夫方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫?qū)⑴袛嘞到y(tǒng)穩(wěn)定性的方法分為兩類：第一方法（間接法）和第二方法（直接法）。本章就系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題研究了以下主要內(nèi)容：1. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的含義。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實(shí)質(zhì)上是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。在李亞普諾夫意義下，系統(tǒng)穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定指的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)受到一定程度的擾動(dòng)以后，恢復(fù)到平衡點(diǎn)的能力大小。工程上的穩(wěn)定都指的是漸近穩(wěn)定。2. 李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。李亞普諾夫第一方法是通過系統(tǒng)的特征根實(shí)部的